2021-2022学年冀教版九年级数学上册26.4解直角三角形的应用 题型分类训练（word版含答案）

2021-2022学年冀教版九年级数学上册《26.4解直角三角形的应用》题型分类训练（附答案）
一．解直角三角形的应用
1．根据道路管理规定，在广州某段笔直公路上行驶的车辆，限速40千米/时；已知交警测速点M到该公路A点的距离为10米，∠MAB＝45°，∠MBA＝37°（如图所示），现有一辆汽车由A往B方向匀速行驶，测得此车从A点行驶到B点所用的时间为2秒．
（1）求测速点M到该公路的距离．
（2）通过计算判断此车是否超速．（数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
二．解直角三角形的应用-坡度坡角问题
2．如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC＝5m，则坡面AB的长是（　　）
A．10m B．m C．15m D．m
3．江堤的横断面如图，堤高BC＝10米，迎水坡AB的坡比是1：，则堤脚AC的长是（　　）
A．20米 B．20米 C．米 D．10米
4．如图，一小型水库堤坝的横断面为直角梯形，坝顶BC宽6m，坝高14m，斜坡CD的坡度i＝1：2，则坝底AD的长为（　　）
A．13m B．34m C．（6+）m D．40m
5．如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan∠BAC＝，则此斜坡的水平距离AC为（　　）
A．75m B．50m C．30m D．12m
6．如图，水坝的横断面是梯形ABCD，背水坡AB的坡角∠BAD＝60°，坡长AB＝20m，为加强水坝强度，将坝底从A处向后水平延伸到E处，使新的背水坡的坡度为1：2，求AE的长度（结果精确到1米．参考数据：≈1.414，≈1.732）
7．为方便市民低碳生活绿色出行，市政府计划改造如图所示的人行天桥：天桥的高是10米，原坡面倾斜角∠CAB＝45°．
（1）若新坡面倾斜角∠CDB＝28°，则新坡面的长CD长是多少？（精确到0.1米）
（2）若新坡角顶点D前留3米的人行道，要使离原坡角顶点A处10米的建筑物不拆除，新坡面的倾斜角∠CDB度数的最小值是多少？（精确到1°）
8．如图，有一段斜坡BC长为10米，坡角∠CBD＝12°，为方便残疾人的轮椅车通行，现准备把坡角降为5°．
（1）求坡高CD；
（2）求斜坡新起点A到原起点B的距离（精确到0.1米）．
参考数据：sin12°≈0.21，cos12°≈0.98，tan5°≈0.09．
9．如图，天星山山脚下西端A处与东端B处相距800（1+）米，小军和小明同时分别从A处和B处向山顶C匀速行走．已知山的西端的坡角是45°，东端的坡角是30°，小军的行走速度为米/秒．若小明与小军同时到达山顶C处，则小明的行走速度是多少？
三．解直角三角形的应用-仰角俯角问题
10．如图，在热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，热气球C的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（　　）
A．200米 B．200米 C．220米 D．米
11．如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC约为　 　米．（精确到1米，参考数据：≈1.73）
12．如图，楼房BD的前方竖立着旗杆AC．小亮在B处观察旗杆顶端C的仰角为45°，在D处观察旗杆顶端C的俯角为30°，楼高BD为20米．
（1）求∠BCD的度数；
（2）求旗杆AC的高度．
13．如图，在电线杆CD上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面所成的角∠CED＝60°，在离电线杆6米的B处安置高为1.5米的测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，求拉线CE的长（结果保留小数点后一位，参考数据：≈1.41，≈1.73）．
14．如图所示，小明在大楼30米高（即PH＝30米）的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15°，山脚B处的俯角为60°，已知该山坡的坡度i（即tan∠ABC）为1：，点P、H、B、C、A在同一个平面上．点H、B、C在同一条直线上，且PH⊥HC．
（1）山坡坡角（即∠ABC）的度数等于　 　度；
（2）求山坡A、B两点间的距离（结果精确到0.1米）．
（参考数据：≈1.414，≈1.732）
15．热气球的探测器显示，从热气球底部a处看一栋高楼顶部的俯角为30°，看这栋楼底部俯角为60°，热气球a处与地面距离为420米，求这栋楼的高度．
16．兰州市城市规划期间，欲拆除黄河岸边的一根电线杆AB（如图），已知距电线杆AB水平距离14米处是河岸，即BD＝14米，该河岸的坡面CD的坡角∠CDF的正切值为2，岸高CF为2米，在坡顶C处测得杆顶A的仰角为30°，D、E之间是宽2米的人行道，请你通过计算说明在拆除电线杆AB时，为确保安全，是否将此人行道封上？（在地面上以点B为圆心，以AB长为半径的圆形区域为危险区域）
四．解直角三角形的应用-方向角问题
17．王英同学从A地沿北偏西60°方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时王英同学离A地（　　）
A．m B．100m C．150m D．m
18．某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向，且相距20海里．客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行小时到达B处，那么tan∠ABP＝（　　）
A． B．2 C． D．
19．如图，在东西方向的海岸线l上有一长为1千米的码头MN，在码头西端M的正西方向30 千米处有一观察站O．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于O的北偏西30°方向，且与O相距千米的A处；经过40分钟，又测得该轮船位于O的正北方向，且与O相距20千米的B处．
（1）求该轮船航行的速度；
（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由．（参考数据：，）
20．由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达A处时，测得小岛B位于它的北偏东30°方向，且与航母相距80海里再航行一段时间后到达C处，测得小岛B位于它的西北方向，求此时航母与小岛的距离BC的长．
21．如图，港口B位于港口A的南偏东37°方向，灯塔C恰好在AB的中点处．一艘海轮位于港口A的正南方向，港口B的正西方向的D处，它沿正北方向航行5km到达E处，测得灯塔C在北偏东45°方向上，这时，E处距离港口A有多远？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
22．钓鱼岛自古就是中国的领土，我国有关部门已对钓鱼岛及其附属岛屿开展常态化监视监测．M、N为钓鱼岛上东西海岸线上的两点，MN之间的距离约为3.6km，某日，我国一艘海监船从A点沿正北方向巡航，在A点测得岛屿的西端点N在点A的北偏东35°方向；海监船继续航行4km后到达B点，测得岛屿的东端点M在点B的北偏东60°方向，求点M距离海监船航线的最短距离（结果精确到0.1km，tan35°≈0.7）．
23．如图，一般捕鱼船在A处发出求救信号，位于A处正西方向的B处有一艘救援艇决定前去救援，但两船之间有大片暗礁，无法直线到达．救援艇决定马上调整方向，先向北偏东60°方向以每小时30海里的速度航行，同时捕鱼船向正北低速航行．30分钟后，捕鱼船到达距离A处1.5海里的D处，此时救援艇在C处测得D处在南偏东53°的方向上．
（1）求C、D两点的距离；
（2）捕鱼船继续低速向北航行，救援艇决定再次调整航向，沿CE方向前去救援，并且捕鱼船和救援艇同时到达到E处，若两船航速不变，求∠ECD的正弦值．（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈）
24．如图，在某中学教学楼A西南方向510米的C处，有一辆货车以60km/h的速度沿北偏东60°方向的道路CF行驶、
（1）若货车以60km/h的速度行驶时其噪声污染半径为100米，试问教学楼是否受到货车噪声的影响？
（2）假设货车以60km/h的以上速度行驶时，其行驶速度每增加10km/h时其噪声污染半径约增大15米，要使教学楼不受货车的噪声影响，在此路段应该限速多少？（精确到10km/h）
25．一条船在海面上自西向东沿直线航行，在A处测得航标C在北偏东60°方向上，前进100米到达B处，又测得航标C在北偏东45°方向上．
（1）请根据以上描述，画出图形．
（2）已知以航标C为圆心，120米为半径的圆形区域内有浅滩，若这条船继续前进，是否有被浅滩阻碍的危险？为什么？
26．如图，A，B，C三个粮仓的位置如图所示，A粮仓在B粮仓北偏东26°，180千米处；C粮仓在B粮仓的正东方，A粮仓的正南方．已知A，B两个粮仓原有存粮共450吨，根据灾情需要，现从A粮仓运出该粮仓存粮的支援C粮仓，从B粮仓运出该粮仓存粮的支援C粮仓，这时A，B两处粮仓的存粮吨数相等．（sin26°＝0.44，cos26°＝0.90，tan26°＝0.49）
（1）A，B两处粮仓原有存粮各多少吨？
（2）C粮仓至少需要支援200吨粮食，问此调拨计划能满足C粮仓的需求吗？
（3）由于气象条件恶劣，从B处出发到C处的车队来回都限速以每小时35公里的速度匀速行驶，而司机小王的汽车油箱的油量最多可行驶4小时，那么小王在途中是否需要加油才能安全地回到B地？请你说明理由．
27．如图，台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，已知台风移动的速度为30千米/时，受影响区域的半径为200千米，B市位于点P的北偏东75°方向上，距离点P点320千米处．
（1）说明本次台风会影响B市；
（2）求这次台风影响B市的时间．
参考答案
一．解直角三角形的应用
1．解：（1）过M作MN⊥AB，
在Rt△AMN中，AM＝10，∠MAN＝45°，
∴sin∠MAN＝，即，
解得：MN＝10，
则测速点M到该公路的距离为10米；
（2）由（1）知：AN＝MN＝10米，
在Rt△MNB中，∠MBN＝37°，
由tan∠MBN＝，得：，
解得：BN＝13（米），
∴AB＝AN+NB＝10+13≈23.3（米），
∴汽车从A到B的平均速度为23.3÷2＝11.65（米/秒），
∵11.65米/秒＝41.94千米/时＞40千米/时，
∴此车超速
二．解直角三角形的应用-坡度坡角问题
2．解：河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，
即tan∠BAC＝＝＝，
∴∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC＝2×5＝10m，
故选：A．
3．解：根据题意得：＝1：，
解得：AC＝BC＝10（米）．
故选：D．
4．解：过点C作CE⊥AD于点E，
∵BC＝6m，坝高为14m，
∴AE＝6m，CE＝14m，
∵斜坡CD的坡度i＝1：2，
∴CE：DE＝1：2，
∴DE＝28m，
则AD＝AE+DE＝6+28＝34（m）．
故选：B．
5．解：∵∠BCA＝90°，tan∠BAC＝，BC＝30m，
∴tan∠BAC＝，
解得，AC＝75，
故选：A．
6．解：作BH⊥AD于H，
在Rt△ABH中，sin∠BAH＝，
则BH＝AB sin∠BAH＝20×＝10，AH＝AB＝10，
在Rt△EBH中，BE的坡度为1：2，BH＝10，
∴EH＝20，
∴AE＝EH﹣AH＝20﹣10≈25（米），
答：AE的长度约为25米．
7．（1）在Rt△BCD中，
∵BC＝10，∠CDB＝28°，
∴CD＝＝≈21.3（米），
答：新坡面的长为21.3米
（2）∵∠CAB＝45°，
∴AB＝CB＝10，
又建筑物离原坡角顶点A处10米，即建筑物离天桥底点B的距离为20米，
当DB取最大值时，∠CDB达最小值，
要使建筑物不被拆掉DB的最大值为20﹣3＝17，
则tan∠CDB＝＝≈0.588，
∴∠CDB≈31°．
答：若新坡角顶点D前留3米的人行道，要使离原坡角顶点A处10米的建筑物不拆除，新坡面的倾斜角的最小值是31°．
8．解：（1）在Rt△BCD中，CD＝BCsin12°≈10×0.21＝2.1米．
（2）在Rt△BCD中，BD＝BCcos12°≈10×0.98＝9.8米；
在Rt△ACD中，米，
AB＝AD﹣BD≈23.33﹣9.8＝13.53≈13.5米．
答：坡高2.1米，斜坡新起点与原起点的距离为13.5米．
9．解：过点C作CD⊥AB于点D，设AD＝x米，小明的行走速度是a米/秒，
∵∠A＝45°，CD⊥AB，
∴AD＝CD＝x米，
∴AC＝x．
在Rt△BCD中，
∵∠B＝30°，
∴BC＝＝＝2x，
∵小军的行走速度为米/秒．若小明与小军同时到达山顶C处，
∴＝，解得a＝1米/秒．
答：小明的行走速度是1米/秒．
三．解直角三角形的应用-仰角俯角问题
10．解：∵在热气球C处测得地面B点的俯角为45°，
∴BD＝CD＝100米，
∵在热气球C处测得地面A点的俯角为30°，
∴AC＝2×100＝200米，
∴AD＝＝100米，
∴AB＝AD+BD＝100+100＝100（1+）米，
故选：D．
11．解：由题意可得：tan30°＝＝＝，
解得：BD＝30（m），
tan60°＝＝＝，
解得：DC＝90（m），
故该建筑物的高度为：BC＝BD+DC＝120≈208（m），
故答案为：208．
12．解：（1）过点C作CE⊥BD于E，则DF∥CE，AB∥CE
∵DF∥CE
∴∠ECD＝∠CDF＝30°
同理∠ECB＝∠ABC＝45°
∴∠BCD＝∠ECD+∠ECB＝75°．
（2）在Rt△ECD中，∠ECD＝30°
∵
∴
同理BE＝CE
∵BD＝BE+DE
∴，
答：（1）∠BCD为75°；
（2）旗杆AC的高度CE为米．
13．解：过点A作AH⊥CD，垂足为H，
由题意可知四边形ABDH为矩形，∠CAH＝30°，
∴AB＝DH＝1.5（米），BD＝AH＝6（米），
在Rt△ACH中，tan∠CAH＝，
∴CH＝AH tan∠CAH，
∴CH＝AH tan∠CAH＝6tan30°＝6×（米），
∵DH＝1.5（米），
∴CD＝（2+1.5）（米），
在Rt△CDE中，
∵∠CED＝60°，sin∠CED＝，
∴CE＝＝4+≈5.7（米），
答：拉线CE的长约为5.7米．
14．解：（1）过A作AD⊥BC于D，
∵山坡的坡度i（即tan∠ABC）为1：，
∴∠ABC＝30°，
故答案为：30；
（2）由题意得，∠PBH＝60°，∠APB＝45°，
∵∠ABC＝30°，
∴∠ABP＝90°，
∴△PBA是等腰直角三角形，
∴PB＝＝＝＝20，
∵AB＝PB＝20＝34.6，
答：山坡A、B两点间的距离是34.6米．
15．解：过A作AE⊥BC，交CB的延长线于点E，
在Rt△ACD中，
∵∠CAD＝30°，AD＝420米，
∴CD＝AD tan30°＝420×＝140（米），
∴AE＝CD＝140米．
在Rt△ABE中，
∵∠BAE＝30°，AE＝140米，
∴BE＝AE tan30°＝140×＝140（米），
∴BC＝AD﹣BE＝420﹣140＝280（米），
答：这栋楼的高度为280米．
16．解：由tan∠CDF＝＝2，CF＝2米，
∴DF＝1米，BG＝2米；
∵BD＝14米，
∴BF＝GC＝15米；
在Rt△AGC中，由tan30°＝，
∴AG＝15×＝≈5×1.732＝8.660米；
∴AB＝8.660+2＝10.66米；
而BE＝BD﹣ED＝12米，
∴BE＞AB；
因此不需要封人行道．
四．解直角三角形的应用-方向角问题
17．解：AD＝AB sin60°＝50；
BD＝AB cos60°＝50，∴CD＝150．
∴AC＝＝100．
故选：D．
18．解：∵灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向，且相距20海里．
∴PA＝20海里，
∵客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行小时到达B处，
∴∠APB＝90°，BP＝60×＝40海里，
∴tan∠ABP＝＝＝．
故选：A．
19．解（1）过点A作AC⊥OB于点C．由题意，得
OA＝千米，OB＝20千米，∠AOC＝30°．
∴（千米）．
∵在Rt△AOC中，OC＝OA cos∠AOC＝＝30（千米）．
∴BC＝OC﹣OB＝30﹣20＝10（千米）．
∴在Rt△ABC中，＝＝20（千米）．
∴轮船航行的速度为：（千米/时）．
（2）如果该轮船不改变航向继续航行，不能行至码头MN靠岸．
理由：延长AB交l于点D．
∵AB＝OB＝20（千米），∠AOC＝30°．
∴∠OAB＝∠AOC＝30°，∴∠OBD＝∠OAB+∠AOC＝60°．
∴在Rt△BOD中，OD＝OB tan∠OBD＝20×tan60°＝（千米）．
∵＞30+1，
∴该轮船不改变航向继续航行，不能行至码头MN靠岸．
20．解：过点B作BD⊥AC于点D，
由题意，得：∠BAD＝60°，∠BCD＝45°，AB＝80，
在Rt△ADB中，∠BAD＝60°，
∴BD＝AB＝40（海里），
在Rt△BCD中，∠BCD＝45°，
∴BD＝CD＝40（海里），
∴BC＝BD＝40（海里），
答：BC的距离是40海里．
21．解：如图作CH⊥AD于H．设CH＝xkm，
在Rt△ACH中，∠A＝37°，∵tan37°＝，
∴AH＝＝，
在Rt△CEH中，∵∠CEH＝45°，
∴CH＝EH＝x，
∵CH⊥AD，BD⊥AD，
∴CH∥BD，
∴＝，
∵AC＝CB，
∴AH＝HD，
∴＝x+5，
∴x＝≈15，
∴AE＝AH+HE＝+15≈35km，
∴E处距离港口A有35km．
22．解：如图，延长MN交AB于K．设KN＝x，KB＝y，
在Rt△MBK中，tan60°＝，
∴x+3.6＝y①
在Rt△ANK中，tan35°＝，
∴x＝0.7（4+y） ②，
由①②可得x＝7.1（km），
∴MK＝7.1+3.6＝10.7（km），
答：点M距离海监船航线的最短距离为10.7km．
23．解：（1）过点C、D分别作CG⊥AB，DF⊥CG，垂足分别为G，F，
∵在Rt△CGB中，∠CBG＝90°﹣60°＝30°，
∴CG＝BC＝×（30×）＝7.5海里，
∵∠DAG＝90°，
∴四边形ADFG是矩形，
∴GF＝AD＝1.5海里，
∴CF＝CG﹣GF＝7.5﹣1.5＝6海里，
在Rt△CDF中，∠CFD＝90°，
∵∠DCF＝53°，
∴COS∠DCF＝，
∴CD＝＝＝10（海里）．
答：CD两点的距离是10海里；
（2）如图，设渔政船调整方向后t小时能与捕渔船相会合，
由题意知CE＝30t，DE＝1.5×2×t＝3t，∠EDC＝53°，
过点E作EH⊥CD于点H，则∠EHD＝∠CHE＝90°，
∴sin∠EDH＝，
∴EH＝EDsin53°＝3t×0.8＝2.4t，
∴在Rt△EHC中，sin∠ECD＝＝＝0.08．
答：∠ECD的正弦值是0.08．
24．解：（1）A教学楼不受货车的噪声影响．
作AH⊥CF于H，则∠ACH＝15°，
在Rt△ACH中，∵AC＝510，
∴AH＝AC×sin15°＝510×0.26＝132（米）．
∵132＞100，
∴A教学楼不受大货车的噪声影响．
（2）设在此路段应该限速xkm/h，由题意有：，
解得：x＜81，因此在此路段应该限速80km/h．
（只要能用数学知识说明在此路段应该限速80km/h即可给满分）
25．解：（1）
（2）答：这条船继续前进，没有被浅滩阻碍的危险．
作CD⊥直线AB于点D，
由已知可得∠CAD＝30°，∠CBD＝45°，
AB＝100米．
设CD＝x米．
在Rt△ACD中，tan∠CAD＝，
∴AD＝，
在Rt△CBD中，∵∠CBD＝45°，
∴BD＝CD＝x，
∵AD﹣BD＝AB，
∴，
解得，
∴这条船继续前进没有被浅滩阻碍的危险．
26．解：
（1）设A，B两处粮仓原有存粮x，y吨
根据题意得：
解得：x＝270，y＝180．
答：A，B两处粮仓原有存粮分别是270，180吨．
（2）A粮仓支援C粮仓的粮食是×270＝162（吨），
B粮仓支援C粮仓的粮食是×180＝72（吨），
A，B两粮仓合计共支援C粮仓粮食为162+72＝234（吨）．
∵234＞200，
∴此次调拨能满足C粮仓需求．
（3）根据题意知：∠A＝26°，AB＝180千米，∠ACB＝90°．
在Rt△ABC中，sin∠BAC＝，
∴BC＝AB sin∠BAC＝180×0.44＝79.2．
∵此车最多可行驶4×35＝140（千米）＜2×79.2，
∴小王途中须加油才能安全回到B地．
27．（1）如图所示：
∵台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，B市位于点P的北偏东75°方向上，
∴∠QPG＝45°，∠NPB＝75°，∠BPG＝15°，
∴∠BPQ＝30°
作BH⊥PQ于点H，在Rt△BHP中，由条件知，PB＝320，
得 BH＝320sin30°＝160＜200，
∴本次台风会影响B市．
（2）如图，若台风中心移动到P1时，台风开始影响B市，台风中心移动到P2时，台风影响结束．由（1）得BH＝160，由条件得BP1＝BP2＝200，
∴P1P2＝2＝240，
∴台风影响的时间t＝＝8（小时）．