2021-2022学年数学人教A版（2019）必修第一册3.4 函数的应用（一）教学设计（表格式）

课题 3.4 函数的应用（一）
教材分析 客观世界中的各种各样的运动变化现象均可表现为变量间的对应关系，这种关系常常可用函数模型来描述，并且通过研究函数模型就可以把我相应的运动变化规律.
课程目标 1、能够找出简单实际问题中的函数关系式，初步体会应用一次函数、二次函数、分段函数模型解决实际问题； 2、感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会一次函数、二次函数、分段函数模型在数学和其他学科中的重要性．
数学学科素养 1.数学抽象：总结函数模型； 2.逻辑推理：找出简单实际问题中的函数关系式，根据题干信息写出分段函数； 3.数学运算：结合函数图象或其单调性来求最值. ； 4.数据分析：二次函数通过对称轴和定义域区间求最优问题； 5.数学建模：在具体问题情境中，运用数形结合思想，将自然语言用数学表达式表示出来。
教学重难点 重点：运用一次函数、二次函数、分段函数模型的处理实际问题； 难点：运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题．
课前准备 多媒体
教学 环节 时间 安排 教师活动 学生活动 设计 意图 批注
2min 35min 3min 一、复习回顾，情景导入 1.一次函数的表达式是什么？ 2.二次函数的表达式是什么？ 3.反比例函数的表达式是什么？ 4.分段函数模型的表达形式是什么？分段函数的定义域如何求解？ 5.幂函数的定义是什么？ 6.我们学习了这么多的函数，必然为生活服务，那么，怎样使用这些函数解决实际问题呢？ 二、探索新知 探究一 探究利用所学函数解决实际问题 通过上面的问题，我们可以结合这些所学的函数来解决实际问题，那么： 1．常见的数学模型有哪些 (1)一次函数模型:f(x)=kx+b(k,b为常数,k≠0); (2 )反比例函数模型:f(x)=+b(k,b为常数,k≠0); (3)二次函数模型:f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0); (4)分段函数模型:这个模型实则是以上两种或多种模型的综合,因此应用也十分广泛. （5）幂函数模型： 2.解答函数实际应用问题时,一般要分哪四步进行 第一步:分析、联想、转化、抽象; 第二步:建立函数模型,把实际应用问题转化为数学问题; 第三步:解答数学问题,求得结果; 第四步:把数学结果转译成具体问题的结论,做出解答. 而这四步中,最为关键的是把第二步处理好.只要把函数模型建立妥当,所有的问题即可在此基础上迎刃而解. 题型一 一次函数与二次函数模型的应用 解题技巧：（一、二次函数模型应用） 1.一次函数模型的应用 利用一次函数求最值,常转化为求解不等式ax+b≥0(或≤0).解答时,注意系数a的正负,也可以结合函数图象或其单调性来求最值. 2.二次函数模型的应用 构建二次函数模型解决最优问题时,可以利用配方法、判别式法、换元法、讨论函数的单调性等方法求最值,也可以根据函数图象的对称轴与函数定义域的对应区间之间的位置关系讨论求解,但一定要注意自变量的取值范围. 例1.重庆朝天门批发市场某服装店试销一种成本为每件元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于成本的.经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合函数，且时，；时，. （1）求函数的解析式； （2）若该服装店获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式；销售单价定为多少元时，服装店可获得最大利润，最大利润是多少元？ 【答案】（1）；（2），销售价定为每件元时，可获得最大利润是元. 【详解】 （1）因为 ，所以， 由题意得：，解得：， 所以函数的解析式为：， （2）由题意知： 利润为， 因为， 所以当x=75时，取得最大值，最大值是. 所以利润与销售单价之间的关系式为， 销售价定为每件元时，可获得最大利润是元. 变式训练：某商店试销一种成本单价为40元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于80元/件，经试销调查，发现销售量（件）与销售单价（元/件）可近似看作一次函数的关系．设商店获得的利润（利润销售总收入总成本）为元． （1）试用销售单价表示利润； （2）试问销售单价定为多少时，该商店可获得最大利润？最大利润是多少？此时的销售量是多少？ 【答案】（1）；（2）当销售单价为70元/件时，可获得最大利润900元，此时销售量是30件． 【分析】 （1）由利润销售总收入总成本可得答案； （2）对于配方法即可求得最大值． 【详解】 （1） . （2）， ∴当销售单价为70元/件时，可获得最大利润900元，此时销售量是30件． 题型二 分段函数模型的应用 解题技巧：(分段函数注意事项）) 1.分段函数的“段”一定要分得合理,不重不漏. 2.分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集. 3.分段函数的值域求法:逐段求函数值的范围,最后比较再下结论. 例2.创新是一个民族的灵魂，国家大力提倡大学毕业生自主创业，以创业带动就业，有利于培养大学生的创新精神.小李同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本5万元，每年生产x万件，需另投入流动成本C(x)万元，在年产量不足8万件时，(万元)；在年产量不小于8万件时，(万元).每件产品售价为10元，经分析，生产的产品当年能全部售完. （1）写出年利润P(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式(年利润=年销售收入-固定成本-流动成本). （2）年产量为多少万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）；（2）当年产量为8万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润为万元. 【详解】 解：（1）因为每件产品售价为10元，所以x万件产品销售收入为10x万元. 依题意得，当0板书 3.4 函数的应用（一） 函数模型 例1 例2 例3 解决实际问题的基本步骤