2021-2022学年数学人教A版（2019）必修第一册第三章函数的概念与性质复习讲义

函数及其性质复习讲义
【基础知识】
一、函数的概念
设是两个非空的数集，如果按照某种对应法则，对于集合中的每一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从到的一个函数，通常记为
在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合称为函数的值域。
函数的三要素：定义域、值域和对应法则
二、函数的性质
（一）函数的单调性
（1）设函数y f(x)的定义域为D， 区间I D。 同向为增，反向为减
如果对于区间I上任意两点x1及x2， 当x1 如果对于区间I上任意两点x1及x2， 当x1 f(x2)，则称函数f(x)在区间I上是单调减少的。
单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。
（2）证明方法和步骤：
设元：设是给定区间上任意两个值，且；
作差：；
变形：（如因式分解、配方等）；
定号：即；根据定义下结论。
（3）二次函数的单调性：对函数，
当时函数在对称轴的左侧单调减小，右侧单调增加；
当时函数在对称轴的左侧单调增加，右侧单调减小。
（4）复合函数的单调性：“同增异减”。
（5）单调性与导数：在区间内，若总有，则为增函数；反之，若在区间内为增函数，则，请注意两者的区别所在。
（6）函数的单调性的应用：判断函数的单调性；比较大小；解不等式；求最值（值域）。
（二）函数的奇偶性
（1）设函数f(x)的定义域D关于原点对称(即若xD， 则xD)。
如果对于任一xD， 有f(x) f(x)，则称f(x)为偶函数。
如果对于任一xD， 有f(x) f(x)，则称f(x)为奇函数。
举例： yx2， ycos x 都是偶函数。 yx3， ysin x都是奇函数， ysin xcos x是非奇非偶函数。
（2）函数是奇函数或偶函数的一个必须具备的必要的条件是：这个函数的定义域是关于原点对称的实数。
可知，如果一个函数的定义域不关于原点对称，那么这个函数就不具有奇偶性。
（3）确定函数奇偶性的方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性）：
①定义法：
②利用函数奇偶性定义的等价形式：或（）。
③图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于轴对称。
④赋值法
（4）函数奇偶性的性质：
(5)函数奇偶性的性质及应用
①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.
②如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数.
③若为偶函数，则.
④若奇函数定义域中含有0，则必有.故是为奇函数的既不充分也不必要条件。
⑤复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.
（三）函数的周期性
（1） 对于函数，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有都成立，那么就把函数叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。
周期函数的图形特点： 在函数的定义域内， 每个长度为T的区间上， 函数的图形有相同的形状。
（2）常见结论 (约定a>0)
① ，则的周期T=a；
②，或或，或,则的周期T=2a
【基本题型】
一、求定义域 根据解析式要求：如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零，对数中且，三角形中, 最大角，最小角等。
如
1．函数的定义域为（　 　）
A． B． C． D．
2．函数的定义域 。
3. 函数的定义域为
4. 函数的定义域为
5．函数的定义域为
二、求值域
（1）基本函数的值域
常见函数的值域：
一次函数的值域为R.
二次函数，当时为，当时为.
反比例函数的值域为.
指数函数的值域为.
对数函数的值域为R.
正，余弦函数的值域为，正，余切函数的值域为R.
对勾函数 的值域
（2）二次函数的值域：（二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系），
如
1.函数的值域为
2.求函数的值域
3.求函数（）
（3）换元法――通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，运用换元法时，要特别要注意新元的范围。
如
1.函数的值域为
2．函数的值域 ；
3.函数的值域为_____。
(4).单调性法――利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性，
如
1.函数的值域＝
2..函数的值域
三、分段函数 分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数，它是一类较特殊的函数。在求分段函数的值时，一定首先要判断属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集。
如：
1．已知，若，则的值是（ ）
A． B．或 C．，或 D．
2.设函数则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．设则的值为（ ）
A． B． C． D． B 。
4．函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
5.设函数，则的解是___ ；
四.求函数解析式的常用方法：
（1）待定系数法――已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种：一般式：；顶点式：；零点式：，要会根据已知条件的特点，灵活地选用二次函数的表达形式）。
如
1.已知是一次函数，且满足，求；
2．若二次函数的图象与x轴交于，且函数的最大值为，
则这个二次函数的表达式是 。
(2)代换（配凑）法――已知形如的表达式，求的表达式。
如：
1.已知，求；
2.若，则函数=_____
（3）方程的思想――已知条件是含有及另外一个函数的等式，可抓住等式的特征对等式的进行赋值，从而得到关于及另外一个函数的方程组。
如
已知，求的解析式
2.已知是奇函数，是偶函数，且+= ,则= 。
3.已知满足，求。
五、函数的奇偶性
1.已知是偶函数，定义域为.则____，
2．已知函数为偶函数，则的值是（ ）
A. B. C. D.
3．设是定义在上的一个函数，则函数在上一定是（ ）
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数。
4．已知其中为常数，若，则的值等于( )
A． B． C． D．
5．若函数在上是奇函数,则的解析式为________.
6.若为奇函数，则实数＝___.
7..若是奇函数，则 ．
六、函数的单调性 ：求单调区间时，一是勿忘定义域，二是在多个单调区间之间不一定能添加符号“”和“或”只能用“和”；三是单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示．
1．下列函数中,在区间上是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．若函数 在区间（－∞，4] 上是减函数，那么实数的取值范围是____；
4.若函数是偶函数，则的递减区间是 .
5.函数的单调递增区间是_______。
6．函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
7．函数的值域为_________。
8．若函数在上是减函数，则的取值范围为_______。
9.已知奇函数是定义在上的减函数,若，求实数的取值范围。
10．设是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是（ ）
A． B．
C． D．
函数及其性质复习讲义答案
【基础知识】
一、函数的概念
设是两个非空的数集，如果按照某种对应法则，对于集合中的每一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从到的一个函数，通常记为
在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合称为函数的值域。
函数的三要素：定义域、值域和对应法则
二、函数的性质
（一）函数的单调性
（1）设函数y f(x)的定义域为D， 区间I D。 同向为增，反向为减
如果对于区间I上任意两点x1及x2， 当x1 如果对于区间I上任意两点x1及x2， 当x1 f(x2)，则称函数f(x)在区间I上是单调减少的。
单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。
（2）证明方法和步骤：
设元：设是给定区间上任意两个值，且；
作差：；
变形：（如因式分解、配方等）；
定号：即；根据定义下结论。
（3）二次函数的单调性：对函数，
当时函数在对称轴的左侧单调减小，右侧单调增加；
当时函数在对称轴的左侧单调增加，右侧单调减小。
（4）复合函数的单调性：“同增异减”。
（5）单调性与导数：在区间内，若总有，则为增函数；反之，若在区间内为增函数，则，请注意两者的区别所在。
（6）函数的单调性的应用：判断函数的单调性；比较大小；解不等式；求最值（值域）。
（二）函数的奇偶性
（1）设函数f(x)的定义域D关于原点对称(即若xD， 则xD)。
如果对于任一xD， 有f(x) f(x)，则称f(x)为偶函数。
如果对于任一xD， 有f(x) f(x)，则称f(x)为奇函数。
举例： yx2， ycos x 都是偶函数。 yx3， ysin x都是奇函数， ysin xcos x是非奇非偶函数。
（2）函数是奇函数或偶函数的一个必须具备的必要的条件是：这个函数的定义域是关于原点对称的实数。
可知，如果一个函数的定义域不关于原点对称，那么这个函数就不具有奇偶性。
（3）确定函数奇偶性的方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性）：
①定义法：
②利用函数奇偶性定义的等价形式：或（）。
③图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于轴对称。
④赋值法
（4）函数奇偶性的性质：
(5)函数奇偶性的性质及应用
①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.
②如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数.
③若为偶函数，则.
④若奇函数定义域中含有0，则必有.故是为奇函数的既不充分也不必要条件。
⑤复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.
（三）函数的周期性
（1） 对于函数，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有都成立，那么就把函数叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。
周期函数的图形特点： 在函数的定义域内， 每个长度为T的区间上， 函数的图形有相同的形状。
（2）常见结论 (约定a>0)
① ，则的周期T=a；
②，或或，或,则的周期T=2a
【基本题型】
一、求定义域 根据解析式要求：如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零，对数中且，三角形中, 最大角，最小角等。
如
1．函数的定义域为（　D 　）
A． B． C． D．
2．函数的定义域 。
3. 函数的定义域为
4. 函数的定义域为
5．函数的定义域为
二、求值域
（1）基本函数的值域
常见函数的值域：
一次函数的值域为R.
二次函数，当时为，当时为.
反比例函数的值域为.
指数函数的值域为.
对数函数的值域为R.
正，余弦函数的值域为，正，余切函数的值域为R.
对勾函数 的值域
（2）二次函数的值域：（二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系），
如
1.函数的值域为
（配方法），∴的值域为
2.求函数的值域（答：[4,8]）；
3.求函数（）
（3）换元法――通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，运用换元法时，要特别要注意新元的范围。
如
1.函数的值域为
2．函数的值域 ；
3.函数的值域为_____（答：）（令，。
(4).单调性法――利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性，
如
1.函数的值域＝
2..函数的值域
三、分段函数 分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数，它是一类较特殊的函数。在求分段函数的值时，一定首先要判断属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集。
如：
1．已知，若，则的值是（ D ）
A． B．或 C．，或 D．
2.设函数则的值为（ A ）
A． B． C． D．
3．设则的值为（ B ）
A． B． C． D． B 。
4．函数的值域是（ C ）
A． B． C． D．
5.设函数，则的解是___ （答：）；
四.求函数解析式的常用方法：
（1）待定系数法――已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种：一般式：；顶点式：；零点式：，要会根据已知条件的特点，灵活地选用二次函数的表达形式）。
如
1.已知是一次函数，且满足，求；
解；设，
则，∴，，
∴。
2．若二次函数的图象与x轴交于，且函数的最大值为，
则这个二次函数的表达式是 。
设，对称轴，
当时，
(2)代换（配凑）法――已知形如的表达式，求的表达式。
如：
1.已知，求；
解：∵，∴（或）。
2.若，则函数=_____（答：）；
（3）方程的思想――已知条件是含有及另外一个函数的等式，可抓住等式的特征对等式的进行赋值，从而得到关于及另外一个函数的方程组。
如
1.已知，求的解析式（答：）；
2.已知是奇函数，是偶函数，且+= ,则= （答：）。
3.已知满足，求。
解： ①，
把①中的换成，得 ②，①②得，∴。
五、函数的奇偶性
1.已知是偶函数，定义域为.则____， 0
2．已知函数为偶函数，则的值是（ B ）
A. B. C. D.
3．设是定义在上的一个函数，则函数在上一定是（ A ）
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数。
4．已知其中为常数，若，则的值等于( D )
A． B． C． D．
5．若函数在上是奇函数,则的解析式为________.
6.若为奇函数，则实数＝____（答：1）.
7..若是奇函数，则 ．
解析 解法1
六、函数的单调性 ：求单调区间时，一是勿忘定义域，二是在多个单调区间之间不一定能添加符号“”和“或”只能用“和”；三是单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示．
1．下列函数中,在区间上是增函数的是（ A ）
A． B． C． D．
2．若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（ D ）
A． B．
C． D．
3．若函数 在区间（－∞，4] 上是减函数，那么实数的取值范围是______(答：）)；
4.若函数是偶函数，则的递减区间是 .
5.函数的单调递增区间是________(答：（1,2）)。
6．函数的值域为（ C ）
A． B． C． D．
7．函数的值域为____________。
8．若函数在上是减函数，则的取值范围为__________。
9.已知奇函数是定义在上的减函数,若，求实数的取值范围。（答：）
10．设是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是（ D ）
A． B．
C． D．15