【学练培优】4.1 数列的概念与简单表示法

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【学练培优】4.1 数列的概念与简单表示法
知识储备
知识点一　数列及其有关概念
思考1　数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗？
【答案】不是.顺序不一样.
思考2　根据你对于数列的定义的理解，看看能不能回答下面的问题：
(1)按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项，……，排在第n位的数称为这个数列的第n项.
(2) 数列的一般形式可以写成a1，a2，…，an，…，简记为{an}.
思考3　数列的记法和集合有些相似，那么数列与集合的区别在哪儿？
【答案】数列中的数讲究顺序，集合中的元素具有无序性；数列中可以出现相同的数，集合中的元素具有互异性.
知识点二　通项公式
思考1　数列1,2,3,4，…的第100项是多少？你是如何猜的？
【答案】100.由前四项与它们的序号相同，猜第n项an＝n，从而第100项应为100.
思考2　上例中的an＝n当序号n取不同的值，就可得到不同的项，所以可以把an＝n当作数列1,2,3,4，…的项的通用公式，这个公式就叫通项公式.你能把通项公式推广到一般数列吗？
【答案】如果数列{an}的第n项an与序号n之间的关系可以用一个式子an＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
思考3　数列的通项公式an＝f(n)与函数解析式y＝f(x)有什么异同？
【答案】如图，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})为定义域的函数an＝f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.
不同之处是定义域，数列中的n必须是从1开始且连续的正整数，函数的定义域可以是任意非空数集.
知识点三　数列的分类
(1)按项数分类，项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列.
(2)按项的增减趋势分类，从第二项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第二项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；各项相等的数列叫做常数列；从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列.
知识点四　递推公式
思考1　(1)已知数列{an}的首项a1＝1，且有an＝3an－1＋2(n>1)，则a4＝________.
(2) 已知数列{an}中，a1＝a2＝1，且有an＋2＝an＋an＋1(n∈N*)，则a4＝________.
【答案】(1)53 (2)3
思考2　上例是一种给出数列的方法，叫递推公式.你能概括一下什么叫递推公式吗？
【答案】如果数列{an}的第1项或前几项已知，并且数列{an}的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式.
思考3　我们已经知道通项公式和递推公式都能给出数列.那么通项公式和递推公式有什么不同？
【答案】通项公式和递推公式都是给出数列的方法.已知数列的通项公式，可以直接求出任意一项；已知递推公式，要求某一项，则必须依次求出该项前面所有的项.
知识点五　数列的表示方法
思考1　以数列2,4,6,8,10,12，…为例，你能用几种方法表示这个数列？
【答案】(1)解析法、列表法、图象法.
数列可以用通项公式、图象、列表等方法来表示.
(2)对数列2,4,6,8,10,12，…可用以下几种方法表示：
①通项公式法：an＝2n.
②递推公式法：
③列表法：
n 1 2 3 … k …
an 2 4 6 … 2k …
④图象法
：
思考2　归纳一下数列的表示方法.
【答案】数列的表示方法有通项公式法、图象法、列表法、递推公式法.
能力检测
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、单选题
1．下列说法正确的是(　　)
A．数列1,3,5,7与数集{1,3,5,7}是一样的
B．数列1,2,3与数列3,2,1是相同的
C．数列是递增数列
D．数列是摆动数列
【答案】D
【解析】数列是有序的，而数集是无序的，所以A，B不正确；选项C中的数列是递减数列；选项D中的数列是摆动数列．
2．已知数列，，，…，，则0.96是该数列的(　　)
A．第20项　　　　　　　 B．第22项
C．第24项 D．第26项
【答案】C
【解析】由＝0.96，解得n＝24.
3．在数列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55中，x等于(　　)
A．11　　　　B．12　　　　C．13　　　　D．14
【答案】C
【解析】观察数列可知，后一项是前两项的和，故x＝5＋8＝13.
4．已知数列{an}的通项公式an＝log(n＋1)(n＋2)，则它的前30项之积是(　　)
A. B．5
C．6 D．
【答案】B
【解析】a1·a2·a3·…·a30＝log23×log34×log45×…×log3132＝log232＝log225＝5.
5．已知递减数列{an}中，an＝kn(k为常数)，则实数k的取值范围是(　　 )
A．R B．(0，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－∞，0]
【答案】C
【解析】an＋1－an＝k(n＋1)－kn＝k<0.
6．数列{an}中，an＝－n2＋11n，则此数列最大项是(　　 )
A．第4项 B．第6项
C．第5项 D．第5项和第6项
【答案】D
【解析】an＝－n2＋11n＝－＋，
∵n∈N＋，∴当n＝5或n＝6时，an取最大值．故选D.
7．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：
第一步：构造数列1，，，，…，.①
第二步：将数列①的各项乘n，得到数列(记为)a1，a2，a3，…，an.
则n≥2时，a1a2＋a2a3＋…＋an－1an＝(　　)
A．n2 B．(n－1)2
C．n(n－1) D．n(n＋1)
【答案】C
【解析】由题意得ak＝.k≥2时，ak－1ak＝.∴n≥2时，a1a2＋a2a3＋…＋an－1an＝n2＝n2＝n(n－1)．故选C.
8．由1,3,5，…，2n－1，…构成数列{an}，数列{bn}满足b1＝2，当n≥2时，bn＝a，则b6的值是(　　)
A．9 B．17
C．33 D．65
【答案】C
【解析】∵bn＝a，∴b2＝a＝a2＝3，b3＝a＝a3＝5，b4＝a＝a5＝9，b5＝a＝a9＝17，b6＝a＝a17＝33.
二、多选题
9．(多选)一个无穷数列{an}的前三项是1,2,3，下列可以作为其通项公式的是(　　)
A．an＝n
B．an＝n3－6n2－12n－6
C．an＝n2－n＋1
D．an＝
【答案】AD
【解析】对于A，若an＝n，则a1＝1，a2＝2，a3＝3，符合题意；对于B，若an＝n3－6n2－12n＋6，则a1＝－11，不符合题意；对于C，若an＝n2－n＋1，当n＝3时，a3＝4≠3，不符合题意；对于D，若an＝，则a1＝1，a2＝2，a3＝3，符合题意．故选A、D.
10．(多选)数列{Fn}：1,1,2,3,5,8,13,21,34，…称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入的，故又称为“兔子数列”．该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和．记数列{Fn}的前n项和为Sn，则下列结论正确的是(　　)
A．S5＝F7－1 B．S5＝S6－1
C．S2 019＝F2 021－1 D．S2 019＝F2 020－1
【答案】AC
【解析】根据题意有Fn＝Fn－1＋Fn－2(n≥3)，所以S3＝F1＋F2＋F3＝1＋F1＋F2＋F3－1＝F3＋F2＋F3－1＝F4＋F3－1＝F5－1，S4＝F4＋S3＝F4＋F5－1＝F6－1，S5＝F5＋S4＝F5＋F6－1＝F7－1，…，所以S2 019＝F2 021－1.故选A、C.
11．已知数列的前4项为2，0，2，0，则该数列的通项公式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】因为数列的前4项为2，0，2，0，
选项A：不符合题设；
选项B：
，符合题设；
选项C：，
不符合题设；
选项D：
，符合题设.故选：BD.
12．“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦……”大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，从第一项起依次为0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……．记大衍数列为，其前n项和为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】根据数列前项依次是，
则奇数项为：，，，，，，
偶数项为：，，，，，，
所以通项公式为，
对于A， ，故A错误；
对于B，
，故B正确；
对于C，
，
由，
所以，故C正确；
对于D，
，故D正确.
故选：BCD
三、填空题
13．已知数列{an}的通项公式an＝19－2n，则使an>0成立的最大正整数n的值为________．
【答案】9
【解析】由an＝19－2n>0，得n<.∵n∈N*，∴n≤9.
14．已知数列{an}的通项公式an＝，则an·an＋1·an＋2＝________.
【答案】
【解析】an·an＋1·an＋2＝··＝.
15.数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＋Sn－1＝2n－1(n≥2)，且S2＝3，则a1＋a3的值为________．
【答案】-1
【解析】∵Sn＋Sn－1＝2n－1(n≥2)，令n＝2，
得S2＋S1＝3，由S2＝3得a1＝S1＝0，
令n＝3，得S3＋S2＝5，所以S3＝2，
则a3＝S3－S2＝－1，所以a1＋a3＝0＋(－1)＝－1.
16.如图(1)是第七届国际数学教育大会(简称ICME 7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图(2)的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图(2)中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为an＝________.
【答案】
【解析】因为OA1＝1，OA2＝，OA3＝，…，OAn＝，…，所以a1＝1，a2＝，a3＝，…，an＝.
四、解答题
17．已知数列的前项和，
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前多少项和最大．
【解析】（1）当时，；当时，；
所以：；
（2）因为；
所以前16项的和最大．
18．在数列中，.
（1）-107是不是该数列中的某一项？若是，其为第几项？
（2）求数列中的最大项.
【解析】（1）令，
解得或（舍去）.所以
（2），
由于，所以最大项为
19．数列{an}满足a1= 1 ,an+1 +2anan+1- an =0.
（1）写出数列的前5项；
（2）由（1）写出数列{an}的一个通项公式；
（3）实数是否为这个数列中的一项？若是,应为第几项？
【答案】(1)见解析（2）（3）50
【解析】（1）由已知可得，，，，.
（2）由（1）可得数列的每一项的分子均为1，分母分别为1，3，5，7，9，…，所以它的一个通项公式为.
（3）令，解得，故是这个数列的第项.
20．已知数列.
(1)求这个数列的第10项；
(2)是不是该数列中的项，为什么？
(3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；
(4)在区间内有无数列中的项？若有，是第几项？若没有，说明理由．
【解析】(1)设an＝f(n)＝
＝＝.
令n＝10，得第10项a10＝f(10)＝.
(2)令＝，得9n＝300.
此方程无正整数解，所以不是该数列中的项．
(3)证明：∵an＝＝1－，
且n∈N*，∴0<1－<1，
∴0(4)令∴∴
∴当且仅当n＝2时，上式成立，故在区间内有数列中的项，且只有一项为a2＝.
21．已知函数f(x)＝x－.数列{an}满足f(an)＝－2n，且an>0.求数列{an}的通项公式．
【解析】∵f(x)＝x－，∴f(an)＝an－，
∵f(an)＝－2n.∴an－＝－2n，即＋2nan－1＝0.
∴an＝－n±.∵an>0，∴an＝－n.
22．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，则这个数列是否存在最大项？若存在，请求出最大项；若不存在，请说明理由．
【解析】存在最大项．理由：a1＝，a2＝＝1，a3＝＝，a4＝＝1，a5＝＝，….∵当n≥3时，＝2<1，
∴an＋1又∵a1∴当n＝3时，a3＝为这个数列的最大项．
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