【学练培优】4.2 等差数列

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【学练培优】4.2 等差数列
知识储备
知识点一　等差数列的概念
思考1　给出以下三个数列：
(1)0,5,10,15,20.
(2)4,4,4,4，….
(3)18,15.5,13,10.5,8,5.5.
它们有什么共同的特征？
【答案】从第2项起，每项与它的前一项的差是同一个常数.
思考2　你能从上面几个具体例子中抽象出一般等差数列的定义吗？
【答案】如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，可正可负可为零.
知识点二　等差中项的概念
思考1　观察如下的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列：
(1)2,4；(2)－1,5；(3)a，b；(4)0,0.
【答案】插入的数分别为3,2，，0.
思考2　如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫做x和y的等差中项，试用x，y表示A.
【答案】∵x，A，y组成等差数列，
∴A－x＝y－A，∴2A＝x＋y，
∴A＝.
知识点三　等差数列的通项公式
思考1　对于等差数列2,4,6,8，…，有a2－a1＝2，即a2＝a1＋2；a3－a2＝2，即a3＝a2＋d＝a1＋2×2；a4－a3＝2，即a4＝a3＋d＝a1＋3×2.
试猜想an＝a1＋(　　)×2.
【答案】n－1
思考2　若一个等差数列{an}，首项是a1，公差为d，你能用a1和d表示an吗？
【答案】an＝a1＋(n－1)d.
知识点四　等差数列通项公式的推广
思考1　已知等差数列{an}的首项a1和公差d能表示出通项an＝a1＋(n－1)d，如果已知第m项am和公差d，又如何表示通项an
【答案】设等差数列的首项为a1，则am＝a1＋(m－1)d，
变形得a1＝am－(m－1)d，
则an＝a1＋(n－1)d＝am－(m－1)d＋(n－1)d
＝am＋(n－m)d.
思考2　由思考1可得d＝，d＝，你能联系直线的斜率解释一下这两个式子的几何意义吗？
【答案】等差数列通项公式可变形为an＝dn＋(a1－d)，其图象为一条直线上孤立的一系列点，(1，a1)，(n，an)，(m，am)都是这条直线上的点.d为直线的斜率，故两点(1，a1)，(n，an)连线的斜率d＝.当两点为(n，an)，(m，am)时，有d＝.
知识点五　等差数列的性质
思考1　还记得高斯怎么计算1＋2＋3＋…＋100的吗？
【答案】利用1＋100＝2＋99＝….
思考2　推广到一般的等差数列，你有什么猜想？
【答案】在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和.即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝….
注意到上式中的序号1＋n＝2＋(n－1)＝…，
有：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.特别地，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap.
知识点六　由等差数列衍生的新数列
思考　利用等差数列的定义，尝试证明下列结论：
若{an}、{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有
数列 结论
{c＋an} 公差为d的等差数列(c为任一常数)
{c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数)
{an＋an＋k} 公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N*)
{pan＋qbn} 公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数)
　此处以{an＋an＋k}为例.
(an＋1＋an＋k＋1)－(an＋an＋k)＝an＋1－an＋an＋k＋1－an＋k＝2d.
∴{an＋an＋k}是公差为2d的等差数列.
能力检测
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、单选题
1．在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于(　　)
A．9　　　　　　　　　 B．10
C．11 D．12
【答案】B
【解析】∵，∴.∴n＝10，故选B.
2．数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是(　　)
A．－2 B．－1
C．0 D．1
【答案】B
【解析】等差数列前n项和Sn的形式为Sn＝an2＋bn，∴λ＝－1.
3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若，且A，B，C三点共线(该直线不过点O)，则S200等于(　　)
A．100 B．101
C．200 D．201
【答案】A
【解析】由A，B，C三点共线得a1＋a200＝1，
∴S200＝(a1＋a200)＝100.
4．若数列{an}的前n项和为Sn＝n2－4n＋2，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|等于(　　)
A．15 B．35
C．66 D．100
【答案】C
【解析】易得an＝
|a1|＝1，|a2|＝1，|a3|＝1，
令an＞0则2n－5＞0，∴n≥3.
∴|a1|＋|a2|＋…＋|a10|
＝1＋1＋a3＋…＋a10
＝2＋(S10－S2)
＝2＋[(102－4×10＋2)－(22－4×2＋2)]＝66.
5．设数列{an}是等差数列，若a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示{an}的前n项和，则使Sn达到最大值的n是(　　)
A．18 B．19
C．20 D．21
【答案】C
【解析】∵a1＋a3＋a5＝105＝3a3，
∴a3＝35，
∵a2＋a4＋a6＝99＝3a4，
∴a4＝33，
∴d＝a4－a3＝－2，
∴an＝a3＋(n－3)d＝41－2n，
令an＞0，∴41－2n＞0，
∴n＜，
∴n≤20.
6.设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m等于(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
【答案】C
【解析】am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，所以公差d＝am＋1－am＝1，由Sm＝＝0，得a1＝－2，所以am＝－2＋(m－1)·1＝2，解得m＝5，故选C.
7．现有200根相同的钢管，把它们堆成一个正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为(　　)
A．9 B．10
C．19 D．29
【答案】B
【解析】钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n＝.
当n＝19时，S19＝190.当n＝20时，S20＝210＞200.∴n＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．
8．已知命题：“在等差数列{an}中，若4a2＋a10＋a(　)＝24，则S11为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为(　　)
A．15 B．24
C．18 D．28
【答案】C
【解析】设括号内的数为n，则4a2＋a10＋a(n)＝24，
即6a1＋(n＋12)d＝24.
又因为S11＝11a1＋55d＝11(a1＋5d)为定值，
所以a1＋5d为定值．
所以＝5，解得n＝18.
二、多选题
9．设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d.已知a3＝12，S12>0，a7<0，则(　　)
A．a6>0
B．－C．Sn<0时，n的最小值为13
D．数列中最小项为第7项
【答案】ABCD
【解析】依题意得a3＝a1＋2d＝12，a1＝12－2d，S12＝×12＝6(a6＋a7)．
而a7<0，所以a6>0，a1>0，d<0，A选项正确．
且
解得－由于S13＝×13＝13a7<0，而S12>0，所以Sn<0时，n的最小值为13.由上述分析可知，n∈[1,6]时，an>0，n≥7时，an<0；当n∈[1,12]时，Sn>0，当n≥13时，Sn<0.所以当n∈[7,12]时，an<0，Sn>0，<0，且当n∈[7,12]时，|an|为递增数列，Sn为正数且为递减数列，所以数列中最小项为第7项．故选A、B、C、D.
10.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S7＝a4，则(　　)
A．a1＋a3＝0 B．a3＋a5＝0
C．S3＝S4 D．S4＝S5
【答案】BC
【解析】由S7＝＝7a4＝a4，得a4＝0，所以a3＋a5＝2a4＝0，S3＝S4，故选B、C.
11．等差数列是递增数列，满足，前项和为，下列选项正确的是（ ）
A． B．
C．当时最小 D．时的最小值为
【答案】ABD
【解析】由题意，设等差数列的公差为，
因为，可得，解得，
又由等差数列是递增数列，可知，则，故A、B正确；
因为，
由可知，当或4时最小，故C错误，
令，解得或，即时的最小值为8，故D正确．
故选：ABD．
12．在等差数列中每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列.若是数列的项，则k的值可能为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】ABD
【解析】由题意得：插入个数，则，，，所以等差数列中的项在新的等差数列中间隔排列，且角标是以1为首项，k+1为公差的等差数列，所以，
因为是数列的项，
所以令，
当时，解得，
当时，解得，
当时，解得，
故k的值可能为1,3,7，故选：ABD
三、填空题
13．已知等差数列{an}中，Sn为其前n项和，已知S3＝9，a4＋a5＋a6＝7，则S9－S6＝________.
【答案】5
【解析】∵S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，而S3＝9，S6－S3＝a4＋a5＋a6＝7，∴S9－S6＝5.
14．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5＜ak＜8，则k＝________.
【答案】8
【解析】∵an＝
∴an＝2n－10.由5＜2k－10＜8，得7.5＜k＜9，又k∈N*，∴k＝8.
15．若数列{an}是等差数列，首项a1<0，a203＋a204>0，a203·a204<0，则使前n项和Sn<0的最大自然数n是________．
【答案】405
【解析】由a203＋a204>0知a1＋a406>0，即S406>0，又由a1<0且a203·a204<0，知a203<0，a204>0，所以公差d>0，则数列{an}的前203项都是负数，那么2a203＝a1＋a405<0，所以S405<0，所以使前n项和Sn<0的最大自然数n＝405.
16. 已知等差数列{an}的公差d>0，前n项和为Sn，且a2a3＝45，S4＝28.
(1)则数列{an}的通项公式为an＝________；
(2)若bn＝ (c为非零常数)，且数列{bn}也是等差数列，则c＝________.
【答案】(1)4n－3　(2)－
【解析】(1)∵S4＝28，∴＝28，a1＋a4＝14，a2＋a3＝14，
又∵a2a3＝45，公差d>0，
∴a2∴解得
∴an＝4n－3.
(2)由(1)，知Sn＝2n2－n，∴bn＝＝，
∴b1＝，b2＝，b3＝.
又∵{bn}也是等差数列，
∴b1＋b3＝2b2，
即2×＝＋，
解得c＝－ (c＝0舍去)．
四、解答题
17．若等差数列{an}的首项a1＝13，d＝－4，记Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.
【解析】∵a1＝13，d＝－4，∴an＝17－4n.
当n≤4时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋an
＝na1＋d＝13n＋×(－4)
＝15n－2n2；
当n≥5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝(a1＋a2＋a3＋a4)－(a5＋a6＋…＋an)
＝S4－(Sn－S4)＝2S4－Sn
＝2×－(15n－2n2)
＝2n2－15n＋56.
∴Tn＝
18．在等差数列{an}中，a10＝23，a25＝－22.
(1)数列{an}前多少项和最大？
(2)求{|an|}的前n项和Sn.
【解析】(1)由得
∴an＝a1＋(n－1)d＝－3n＋53.
令an>0，得n<，
∴当n≤17，n∈N*时，an>0；
当n≥18，n∈N*时，an<0，
∴{an}的前17项和最大．
(2)当n≤17，n∈N*时，
|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝na1＋d＝－n2＋n.
当n≥18，n∈N*时，
|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋a17－a18－a19－…－an
＝2(a1＋a2＋…＋a17)－(a1＋a2＋…＋an)
＝2
＝n2－n＋884.
∴Sn＝
19．已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{an}为等差数列，a1＝12，d＝－2.
(1)求Sn，并画出{Sn}(1≤n≤13)的图象；
(2)分别求{Sn}单调递增、单调递减的n的取值范围，并求{Sn}的最大(或最小)的项；
(3){Sn}有多少项大于零？
【解析】(1)Sn＝na1＋ d＝12n＋×(－2)＝－n2＋13n.图象如图．
(2)Sn＝－n2＋13n＝－＋，n∈N*，
∴当n＝6或n＝7时，Sn最大；当1≤n≤6时，{Sn}单调递增；当n≥7时，{Sn}单调递减．{Sn}有最大值，最大项是S6，S7，S6＝S7＝42.
(3)由图象得{Sn} 中有12项大于零．
20．已知等差数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n，求a2＋a3－a4＋a5＋a6.
【解析】∵Sn＝n2－2n，
∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝n2－2n－[(n－1)2－2(n－1)]
＝n2－2n－(n－1)2＋2(n－1)＝2n－3，
∴a2＋a3－a4＋a5＋a6
＝(a2＋a6)＋(a3＋a5)－a4
＝2a4＋2a4－a4＝3a4
＝3×(2×4－3)＝15.
21．设Sn是数列{an}的前n项和且n∈N*，所有项an＞0，且Sn＝a＋an－.
(1)证明：{an}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
【解析】(1)证明：当n＝1时，a1＝S1＝a＋a1－，解得a1＝3或a1＝－1(舍去)．当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝(a＋2an－3)－(a＋2an－1－3)．
所以4an＝a－a＋2an－2an－1，
即(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0，
因为an＋an－1＞0，所以an－an－1＝2(n≥2)．所以数列{an}是以 3为首项，2为公差的等差数列．
(2)由(1)知an＝3＋2(n－1)＝2n＋1.
22．求等差数列{4n＋1}(1≤n≤200)与{6m－3}(1≤m≤200)的公共项之和．
【解析】由4n＋1＝6m－3(m，n∈N*且1≤m≤200,1≤n≤200)，可得(t∈N*且≤t≤67)．
则等差数列{4n＋1}(1≤n≤200)，{6m－3}(1≤m≤200)的公共项按从小到大的顺序组成的数列是等差数列{4(3t－1)＋1}(t∈N*且≤t≤67)，即{12t－3}(t∈N*且≤t≤67)，各项之和为67×9＋×12＝27 135.
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