【学练培优】4.3 等比数列

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【学练培优】4.3 等比数列
知识储备
知识点一　等比数列的概念
思考1　观察下列4个数列，归纳它们的共同特点.
①1,2,4,8,16，…；
②1，，，，，…；
③1,1,1,1，…；
④－1,1，－1,1，…
【答案】从第2项起，每项与它的前一项的比是同一个常数.
思考2　类比等差数列，归纳出等比数列的概念和特点.
(1)文字定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0).
(2)递推公式形式的定义＝q(n>1).(或＝q，n∈N*)
(3)等比数列各项均不能为0；故只有非零常数列才是等比数列.
知识点二　等比中项的概念
思考1　在2,8之间插入一个数，使之成等比数列.这样的实数有几个？
【答案】设这个数为G.则，G2＝16，G＝±4.这样的数有2个.
思考2　对比等差中项与等比中项的异同，完成表格
对比项 等差中项 等比中项
定义 若a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项 若a，G，b成等比数列，则G叫做a与b的等比中项
定义式 A－a＝b－A
公式 A＝ G＝±
个数 a与b的等差中项唯一 a与b的等比中项有两个，且互为相反数
备注 任意两个数a与b都有等差中项 只有当ab＞0时，a与b才有等比中项
知识点三　等比数列的通项公式
思考　类比等差数列通项公式的推导过程，推导首项为a1，公比为q的等比数列的通项公式.
【答案】根据等比数列的定义得：
＝q，＝q，＝q，…，＝q(n≥2).
将上面n－1个等式的左、右两边分别相乘，
得···…·＝qn－1，化简得＝qn－1，即an＝a1qn－1(n≥2).
当n＝1时，上面的等式也成立.
∴an＝a1qn－1(n∈N*).
知识点四　等比数列通项公式的推广
思考1　我们曾经把等差数列的通项公式做过如下变形： an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d.
等比数列也有类似变形吗？
【答案】在等比数列中，由通项公式an＝a1qn－1，得＝＝qn－m，所以an＝am·qn－m(n，m∈N*).
思考2　我们知道等差数列的通项公式可以变形为an＝dn＋a1－d，其单调性由公差的正负确定；你能用等比数列的通项公式研究其单调性吗？
【答案】设等比数列{an}的首项为a1，公比为q.
则an＋1－an＝a1qn－a1qn－1＝a1qn－1(q－1)，差的正负由a1，q，q－1的正负共同决定.
当或时，{an}是递增数列；
当或时，{an}是递减数列；
q＜0时，{an}是摆动数列，
q＝1时，{an}是常数列.
知识点五　由等比数列衍生的等比数列
思考1　等比数列{an}的前4项为1,2,4,8，下列判断正确的是：
(1){3an}是等比数列；
(2){3＋an}是等比数列；
(3){}是等比数列；(4){a2n}是等比数列.
【答案】由定义可判断出(1)，(3)，(4)正确.
思考2　试把思考1推广到一般的等比数列.
【答案】(1)在等比数列{an}中按序号从小到大取出若干项：ak1，ak2，ak3，…，akn，…，若k1，k2，k3，…，kn，…成等差数列，那么ak1，ak2，ak3，…，akn，…是等比数列.
(2)如果{an}，{bn}均为等比数列，那么数列{}，{an·bn}，{}，{|an|}仍是等比数列.
知识点六　等比数列的性质
思考1　在等比数列{an}中，a＝a1a9是否成立？a＝a3a7是否成立？a＝an－2an＋2(n>2)是否成立？
【答案】∵a5＝a1q4，a9＝a1q8，
∴a1a9＝aq8＝(a1q4)2＝a，a＝a1a9成立.
同理a＝a3a7成立，a＝an－2·an＋2也成立.
思考2　由思考1你能得到等比数列更一般的结论吗？该结论如何证明？
【答案】一般地，在等比数列{an}中，若m＋n＝s＋t，则有am·an＝as·at(m，n，s，t∈N*).
若m＋n＝2k，则am·an＝a(m，n，k∈N*).
证明：∵am＝a1qm－1，an＝a1qn－1，
∴am·an＝aqm＋n－2，
同理，as·at＝aqs＋t－2，
∵m＋n＝s＋t，∴am·an＝as·at.
若m＋n＝2k，则am·an＝a.
知识点七　等比数列的前n项和公式的推导
思考1　对于S64＝1＋2＋4＋8＋…＋262＋263，用2乘以等式的两边可得2S64＝2＋4＋8＋…＋262＋263＋264，对这两个式子作怎样的运算能解出S64
【答案】比较两式易知，两式相减能消去同类项，解出S64，即S64＝＝264－1≈1.84×1019.
思考2　类比思考1中求和的方法，如何求等比数列{an}的前n项和Sn
【答案】设等比数列{an}的首项是a1，公比是q，前n项和为Sn.
Sn写成：Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1.①
则qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn.②
由①－②得：(1－q)Sn＝a1－a1qn.
当q≠1时，Sn＝.
当q＝1时，由于a1＝a2＝…＝an，所以Sn＝na1.
思考3　等比数列前n项和公式：
Sn＝
知识点八　等比数列的前n项和公式的应用
思考1　怎样求等比数列前8项的和：
(1)若已知前三项，，，用哪个公式比较合适？
(2)若已知a1＝27，a9＝，q＝－.用哪个公式比较合适？
【答案】(1)用Sn＝；(2)用Sn＝.
思考2　一般地，使用等比数列求和公式时需注意什么？
【答案】(1) 一定不要忽略q＝1的情况；
(2) 知道首项a1、公比q和项数n，可以用；知道首尾两项a1、an和q，可以用；
(3) 在通项公式和前n项和公式中共出现了5个量：a1，n，q，an，Sn.知道其中任意三个，可求其余.
知识点九　等比数列前n项和公式的函数特征
思考1　若数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，那么数列{an}是不是等比数列？
若数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1－1呢？
【答案】当Sn＝2n－1时，an＝
＝n∈N*，是等比数列；
当Sn＝2n＋1－1时，
an＝＝不是等比数列.
思考2　对于一般的等比数列，前n项和有什么特征？
【答案】当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是Sn＝＝.设A＝，则上式可以写为Sn＝A(qn－1).
当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函数.
知识点十　错位相减法
思考1　在上一节，我们是如何求公比不为1的等比数列{an}的前n项和Sn＝a1＋a2＋…＋an的？
【答案】在等式两端乘以公比，两式会出现大量的公共项，通过相减消去即可.
思考2　如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{anbn}的前n项和时，上述方法还能不能用？
【答案】 能用.
Sn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn，①
qSn＝a1b1q＋a2b2q＋…＋anbnq
＝a1b2＋a2b3＋…＋anbn＋1，②
①－②：(1－q)Sn＝a1b1＋(a2－a1)b2＋(a3－a2)b3＋…＋(an－an－1)bn－anbn＋1，
＝a1b1＋d(b2＋b3＋…＋bn)－anbn＋1
＝a1b1＋d－anbn＋1，
∴Sn＝
能力检测
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、单选题
1．等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于(　　)
A．－24　　　　　　　　　　 B．0
C．12 D．24
【答案】A
【解析】由题意知(3x＋3)2＝x(6x＋6)，即x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24.
2．在正项等比数列{an}中，an＋1A. D．
C. D．
【答案】D
【解析】公比为q，则由等比数列{an}各项为正数且an＋1∴a5＝，a4＋a6＝＋q＝5.
解得q＝，∴＝＝＝.
3．已知各项均为正数的等比数列{an}中，lg(a3a8a13)＝6，则a1·a15的值为(　　)
A．100 B．－100
C．10 000 D．－10 000
【答案】C
【解析】∵a3a8a13＝a，∴lg(a3a8a13)＝lg a＝3lg a8＝6.∴a8＝100.∴a1a15＝a＝10 000，故选C.
4．在等比数列{an}中，Tn表示前n项的积，若T5＝1，则(　　)
A．a1＝1　　　　　　　　　 B．a3＝1
C．a4＝1 D．a5＝1
【答案】B
【解析】由题意，可得a1·a2·a3·a4·a5＝1，即(a1·a5)·(a2·a4)·a3＝1，又因为a1·a5＝a2·a4＝a，所以a＝1，得a3＝1.
5．已知等比数列{an}中，a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9等于(　　)
A．2 B．4
C．8 D．16
【答案】C
【解析】等比数列{an}中，a3a11＝a＝4a7，解得a7＝4，等差数列{bn}中，b5＋b9＝2b7＝2a7＝8.
6．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是(　　)
A．190 B．191
C．192 D．193
【答案】C
【解析】设最下面一层灯的盏数为a1，则公比q＝，n＝7，由＝381，解得a1＝192.
7．设Sn为等比数列{an}的前n项和，且8a2＋a5＝0，则等于(　　)
A．11　　　　　　　　　　　 B．5
C．－8 D．－11
【答案】D
【解析】设{an}的公比为q.因为8a2＋a5＝0.
所以8a2＋a2·q3＝0.所以a2(8＋q3)＝0.
因为a2≠0，所以q3＝－8.所以q＝－2.
所以＝＝＝＝＝－11.故选D.
8．等比数列{an}的前n项和为Sn，S5＝2，S10＝6，则a16＋a17＋a18＋a19＋a20等于(　　)
A．8 B．12
C．16 D．24
【解析】选C　设等比数列{an}的公比为q，因为S2n－Sn＝qnSn，所以S10－S5＝q5S5，所以6－2＝2q5，所以q5＝2，所以a16＋a17＋a18＋a19＋a20＝a1q15＋a2q15＋a3q15＋a4q15＋a5q15＝q15(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)＝q15S5＝23×2＝16.
二、多选题
9．设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，a7a8>1， <0.则下列结论正确的是(　　)
A．0C．Tn的最大值为T7 D．Sn的最大值为S7
【答案】ABC
【解析】　∵a1>1，a7·a8>1，<0，∴a7>1,0∴0a7a9＝a<1，故B正确；
T7是数列{Tn}中的最大项，故C正确；因为a7>1，010．设等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足a6＝8a3，则(　　)
A．数列{an}的公比为2 B．数列{an}的公比为8
C.＝8 D．＝9
【答案】AD
【解析】因为等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足a6＝8a3，所以＝q3＝8，解得q＝2，所以＝＝1＋q3＝9，故选A、D.
11．下列说法正确的是（ ）
A．若为等差数列，为其前项和，则，，，…仍为等差数列
B．若为等比数列，为其前项和，则，，，仍为等比数列
C．若为等差数列，，，则前项和有最大值
D．若数列满足，则
【答案】ACD
【解析】对于A中，设数列的公差为，
因为，，，，
可得，
所以，，，构成等差数列，故A正确；
对于B中，设数列的公比为，
当时，取，此时，此时不成等比数列，故B错误；
对于C中，当，时，等差数列为递减数列，
此时所有正数项的和为的最大值，故C正确；
对于D中，由，可得，
所以或，
则，所以，
所以
.
因为，所以，可得，所以，故D正确.
故选：ACD
12．在数列中，和是关于的一元二次方程的两个根，下列说法正确的是（ ）
A．实数的取值范围是或
B．若数列为等差数列，则数列的前7项和为
C．若数列为等比数列且，则
D．若数列为等比数列且，则的最小值为4
【答案】AD
【解析】对A，有两个根，
，
解得：或，故A正确；
对B，若数列为等差数列，
和是关于的一元二次方程的两个根，
，
则，故B错误；
对C，若数列为等比数列且，由韦达定理得：，
可得：，，
，
由等比数列的性质得：，
即，故C错误；
对D，由C可知：，且，，
，当且仅当时，等号成立，故D正确.故选AD.
三、填空题
13．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，成等比数列，则此未知数是________．
【答案】3或27
【解析】设此三数为3，a，b，则
解得或所以这个未知数为3或27.
14．设数列{an}为公比q>1的等比数列，若a4，a5是方程4x2－8x＋3＝0的两根，则a6＋a7＝________.
【答案】18
【解析】由题意得a4＝，a5＝，∴q＝＝3.
∴a6＋a7＝(a4＋a5)q2＝×32＝18.
15．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________平方厘米．
【答案】2048
【解析】这10个正方形的边长构成以2为首项，为公比的等比数列{an}(1≤n≤10，n∈N*)，
则第10个正方形的面积S＝a＝＝211＝2 048.
16．等比数列{an}中，若a1＋a3＋…＋a99＝150，且公比q＝2，则数列{an}的前100项和为________．
【答案】450
【解析】由＝q，q＝2，得＝2 a2＋a4＋…＋a100＝300，则数列{an}的前100项的和S100＝(a1＋a3＋…＋a99)＋(a2＋a4＋…＋a100)＝150＋300＝450.
四、解答题
17．已知等比数列{an}中，a1＝，公比q＝.
(1)Sn为数列{an}的前n项和，证明：Sn＝；
(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{bn}的通项公式．
【解析】(1)证明：因为an＝×n－1＝，
Sn＝，所以Sn＝.
(2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－(1＋2＋…＋n)＝－.所以{bn}的通项公式为bn＝－.
18．容器A中盛有浓度为a%的农药m L，容器B中盛有浓度为b%的同种农药m L，A，B两容器中农药的浓度差为20%(a>b)，先将A中农药的倒入B中，混合均匀后，再由B倒入一部分到A中，恰好使A中保持m L，问至少经过多少次这样的操作，两容器中农药的浓度差小于1%
【解析】设第n次操作后，A中农药的浓度为an，B中农药的浓度为bn，则a0＝a%，b0＝b%.
b1＝(a0＋4b0)，a1＝a0＋b1＝(4a0＋b0)；
b2＝(a1＋4b1)，a2＝a1＋b2＝(4a1＋b1)；…；
bn＝(an－1＋4bn－1)，an＝(4an－1＋bn－1)．
∴an－bn＝(an－1－bn－1)＝…
＝(a0－b0)·n－1.
∵a0－b0＝，∴an－bn＝·n.
依题意知·n<1%，n∈N*，解得n≥6.
故至少经过6次这样的操作，两容器中农药的浓度差小于1%.
19．已知等差数列中，，.
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
【解析】（1）设等差数列的公差为，因为，，
所以，解得，所以；
（2）由（1）可得，，即数列为等比数列，
所以数列的前n项和.
20．数列的前项和为，且，数列满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：数列是等比数列；
（3）设数列满足，其前项和为，证明：.
【解析】（1）当时，.
当时，.
检验，当时符合.
所以.
（2）当时，，
而，
所以数列是等比数列，且首项为3，公比为3.
（3）由（1）（2）得，
，
所以
①
②
由①-②得
，
所以.
因为，
所以.
21．已知等比数列的前项和为，且.
（1）求与；
（2）记，求数列的前项和.
【解析】（1）由，得，
当时，，得；
当时，，得，
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以.
所以.
（2）由（1）可得，
则，
，
两式相减得，
所以
.
22．已知数列满足：，.
（Ⅰ）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）记，求使成立的最大正整数n的值.（其中，符号表示不超过x的最大整数）
【解析】∵，显然
∴，
是以为首项，3为公比的等比数列
即，所以.
（2）
.
因为n≥2时，，
.
所以n≥2时，.
又n=1时，，
所以；时， ，所以时，
.
由，及，得.
所以使成立的最大正整数n的值为45.
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