【学练培优】4.4 数学归纳法

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【学练培优】4.4 数学归纳法*
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知识点　数学归纳法
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立；
(2)(归纳递推)以“当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当n＝k＋1时命题也成立”．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法．
【名师点津】
1．数学归纳法的两个步骤缺一不可，前者是基础，后者是递推的依据．
2．运用数学归纳法时易犯的错误：
(1)对项数估算错误，特别是寻找n＝k与n＝k＋1的关系时，项数发生什么变化易弄错；
(2)不利用归纳假设：归纳假设是起桥梁作用的，桥梁断了就通不过去了；
(3)步骤不严谨、不规范，在利用假设后，不作任何推导或计算而直接写出所要结论．
能力检测
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、单选题
1．用数学归纳法证明：首项是a1，公差是d的等差数列的前n项和公式是Sn＝na1＋d时，假设当n＝k时，公式成立，则Sk＝(　　)
A．a1＋(k－1)d　　　　　　 B．
C．ka1＋d D．(k＋1)a1＋d
【答案】C
【解析】假设当n＝k时，公式成立，只需把公式中的n换成k即可，即Sk＝ka1＋d.
2．已知f(n)＝，则(　　)
A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋
B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋
C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋
D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋
【解析】选D　由f(n)可知，f(n)中共有n2－n＋1项，且n＝2时，f(2)＝＋＋
3．用数学归纳法证明n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2(n∈N*)时，若记f(n)＝n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)，则f(k＋1)－f(k)等于(　　)
A．3k－1 B．3k＋1
C．8k D．9k
【答案】C
【解析】因为f(k)＝k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)，
f(k＋1)＝(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＋(3k－1)＋3k＋(3k＋1)，则f(k＋1)－f(k)＝3k－1＋3k＋3k＋1－k＝8k.
4．证明等式12＋22＋32＋…＋n2＝(n∈N*)时，某学生的证明过程如下：
①当n＝1时，12＝，等式成立；
②假设n＝k(k∈N*)时，等式成立，
即12＋22＋32＋…＋k2＝，则当n＝k＋1时，
12＋22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2
＝＋(k＋1)2
＝
＝
＝，
所以当n＝k＋1时，等式也成立，故原式成立．
那么上述证明(　　)
A．过程全都正确
B．当n＝1时验证不正确
C．归纳假设不正确
D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
【答案】A
【解析】通过对上述证明的分析验证知全都正确，故选A.
5．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N*都成立，那么a，b，c的值为(　　)
A．a＝，b＝c＝
B．a＝b＝c＝
C．a＝0，b＝c＝
D．不存在这样的a，b，c
【答案】A
【解析】令n＝1,2,3，
得
即
解得a＝，b＝，c＝.
6.用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3,n∈N*),第一步验证 (　　)
A.n=1 B.n=2
C.n=3 D.n=4
【答案】C
【解析】由题知,n的最小值为3,所以第一步验证n=3时不等式是否成立.
7.利用数学归纳法证明不等式1++…+A.1项
B.k项
C.2k-1项
D.2k项
【答案】D
【解析】当n=k时,不等式左边的最后一项为,而当n=k+1时,最后一项为,并且不等式左边和式每一项分母的变化规律是每一项比前一项加1,故增加了2k项.
8．观察下列式子:，，，…，则可归纳出小于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知式子可知所猜测分式的分母为，分子第个正奇数，即，
.故选：C.
二、多选题
9.一个与正整数n有关的命题,当n=2时命题成立,且由n=k时命题成立可以推得n=k+2时命题也成立,则下列说法正确的是(　　)
A.该命题对于n=6时命题成立
B.该命题对于所有的正偶数都成立
C.该命题何时成立与k取值无关
D.以上答案都不对
【答案】AB
【解析】由n=k时命题成立可以推出n=k+2时命题也成立,且n=2时,命题成立,故对所有的正偶数都成立.故选AB.
10．在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩．《张丘建算经》是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元五世纪．书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”．其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”．已知匹丈，丈尺，若这一个月有天，记该女子这一个月中的第天所织布的尺数为，，对于数列、，下列选项中正确的为（ ）
A． B．是等比数列
C． D．
【答案】BD
【解析】由题意可知，数列为等差数列，设数列的公差为，，
由题意可得，解得，
，
，（非零常数），
则数列是等比数列，选项正确；
，，，选项错误；
，，选项错误；
，，
所以，，选项正确.故选：BD
11．意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列满足：，，.若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前项所占的格子的面积之和为，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】对于A选项，因为斐波那契数列总满足，
所以，
，
，
类似的有，，
累加得，
由题知，
故选项A正确，
对于B选项，因为，，，
类似的有，
累加得，
故选项B正确，
对于C选项，因为，，，
类似的有，
累加得，
故选项C错误，
对于D选项，可知扇形面积，
故，
故选项D正确，故选：ABD.
12．用数学归纳法证明对任意的自然数都成立，则以下满足条件的的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【解析】取，则，不成立；
取，则，不成立；
取，则，成立；
取，则，成立；
下证：当时，成立.
当，则，成立；
设当时，有成立，
则当时，有，
令，则，
因为，故，
因为，所以，
所以当时，不等式也成立，
由数学归纳法可知，对任意的都成立.故选：CD.
三、填空题
13．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－1(k∈N*)命题为真时，进而需证n＝________时，命题亦真．
【答案】2k＋1
【解析】∵n为正奇数，且与2k－1相邻的下一个奇数是2k＋1，∴需证n＝2k＋1时，命题成立．
14．用数学归纳法证明“当n∈N*时，求证：1＋2＋22＋23＋…＋25n－1是31的倍数”时，当n＝1时，原式为__________，从n＝k到n＝k＋1时需增添的项是________________．
【答案】1＋2＋22＋23＋24　25k＋25k＋1＋25k＋2＋25k＋3＋25k＋4
【解析】当n＝1时，原式应加到25×1－1＝24，
所以原式为1＋2＋22＋23＋24，
从n＝k到n＝k＋1时需添25k＋25k＋1＋…＋25(k＋1)－1.
16．用数学归纳法证明：“两两相交且不共点的n条直线把平面分为f(n)部分，则f(n)＝1＋.”证明第二步归纳递推时，用到f(k＋1)＝f(k)＋________.
【答案】k＋1
【解析】f(k)＝1＋，
f(k＋1)＝1＋，
∴f(k＋1)－f(k)
＝
＝k＋1，
∴f(k＋1)＝f(k)＋(k＋1)．
16.用数学归纳法证明1-+…++…+时,第一步应验证的等式是　　　　　;从“n=k”到“n=k+1”左边需增加的等式是　　　　　　　　　　.
【答案】1-
【解析】当n=1时,应当验证的第一个式子是1-,从“n=k”到“n=k+1”左边需增加的式子是.
四、解答题
17．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)．
求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．
【解析】当n＝2时，左边＝f(1)＝1，
右边＝2×＝1，左边＝右边，等式成立．
假设n＝k(k≥2，k∈N*)时，等式成立，即
f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1]，
那么，当n＝k＋1时，
f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)
＝k[f(k)－1]＋f(k)
＝(k＋1)f(k)－k
＝(k＋1)－k
＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1)
＝(k＋1)[f(k＋1)－1]，
∴当n＝k＋1时等式仍然成立．
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．
18．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)．
(1)计算a2，a3，a4；
(2)猜想an的表达式，并用数学归纳法证明．
【解析】 (1)a1＝1，a2＝＝，
a3＝＝，a4＝＝.
(2)由(1)的计算猜想an＝.
下面用数学归纳法进行证明．
①当n＝1时，a1＝1，猜想成立．
②假设当n＝k时，猜想成立，即ak＝，
那么ak＋1＝，
即当n＝k＋1时，猜想也成立．
根据①②可知，对任意n∈N*都有an＝.
19．已知数列{an}的各项均为正数，且满足a1＝1，an＋1＝an(4－an)，n∈N*.证明an＜an＋1＜2(n∈N*)．
【解析】①当n＝1时，a1＝1，a2＝a1(4－a1)＝，
∴a1＜a2＜2，命题正确．
②假设n＝k时，有ak＜ak＋1＜2，则n＝k＋1时，
ak＋1－ak＋2＝ak(4－ak)－ak＋1(4－ak＋1)
＝2(ak－ak＋1)－(ak－ak＋1)·(ak＋ak＋1)
＝(ak－ak＋1)(4－ak－ak＋1)．
而ak－ak＋1＜0,4－ak－ak＋1＞0，
∴ak＋1－ak＋2＜0.
又ak＋2＝ak＋1(4－ak＋1)＝[4－(ak＋1－2)2]＜2，
∴n＝k＋1时命题正确．
由①②知，对一切n∈N*都有ak＜ak＋1＜2.
20．平面内有n(n≥2)个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，记这n个圆的交点个数为f(n)，猜想f(n)的表达式，并用数学归纳法证明．
【解析】n＝2时，f(2)＝2＝1×2，
n＝3时，f(3)＝2＋4＝6＝2×3，
n＝4时，f(4)＝6＋6＝12＝3×4，
n＝5时，f(5)＝12＋8＝20＝4×5，
猜想f(n)＝n(n－1)(n≥2)．
下面用数学归纳法给出证明：
①当n＝2时，f(2)＝2＝2×(2－1)，猜想成立．
②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)，时猜想成立，即f(k)＝k(k－1)，
则n＝k＋1时，其中圆O与其余k个圆各有两个交点，而由假设知这k个圆有f(k)个交点，
所以这k＋1个圆的交点个数f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k(k－1)＋2k＝k2＋k＝(k＋1)[(k＋1)－1]，
即n＝k＋1时猜想也成立．
由①②知：f(n)＝n(n－1)(n≥2)．
20．已知f(n)＝1＋＋＋＋＋，－，n∈N*.
（1）当n＝1，2，3时，试比较f(n)与g(n)的大小关系；
（2）猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明．
【解析】（1）当n＝1时，f(1)＝1，g(1)＝1，所以f(1)＝g(1)；
当n＝2时，f(2)＝，g(2)＝，所以f(2)＜g(2)；
当n＝3时，f(3)＝，g(3)＝，所以f(3)＜g(3)．
（2）由（1）猜想： f(n)≤g(n)，用数学归纳法证明．
①当n＝1，不等式显然成立．
②假设当n＝k(k∈N*)时不等式成立，即1＋＋＋＋＋－，
则当n＝k＋1时，
f(k＋1)＝f(k)＋－＋，
因为－＝－＝＜0，
所以f(k＋1)＜－＝g(k＋1)．
由①②可知，对一切n∈N*，都有f(n)≤g(n)成立.
21．已知数列中，是的前项和且是与的等差中项，其中是不为的常数.
（1）求.
（2）猜想的表达式，并用数学归纳法进行证明.
【解析】（1）由题意知：
即，
当时，，解得.
当时，，解得.
当时，，解得.
（2）猜想：
证明：①当时，由（1）知等式成立.
②假设当时等式成立，即，
则当时，又
则，，
∴，
即
所以 ，
即当时，等式成立.
结合①②得对任意均成立.
22．观察下列等式：
．．．．．．
按照以上式子的规律：
（1）写出第5个等式，并猜想第个等式；
（2）用数学归纳法证明上述所猜想的第个等式成立．
【解析】（1）第5个等式为．第个等式为，．
（2）证明：①当时，等式左边，等式右边，所以等式成立．
②假设时，命题成立，即，
则当时，
，
即时等式成立．根据①和②，可知对任意等式都成立．
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