【学练培优】5.3 诱导公式

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【学练培优】5.3 诱导公式
知识储备
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：＝tan__α.
2.三角函数的诱导公式
公式 一[] 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α －sin__α －sin__α sin__α cos__α cos__α
余弦 cos α －cos__α cos__α －cos__α sin__α －sin__α
正切 tan α tan__α －tan__α －tan__α
口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限
3.常用结论
（1）同角三角函数关系式的常用变形
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α.
（2）诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.
（3）在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.
能力检测
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021·广东省高三月考（文））已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以.故选：C
2．已知角的终边过点，若，则实数( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，且的终边过点，所以，解得，故选B．
3．（2021·湖南省高一月考）化简的结果为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【解析】原式.故选：A
4．已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点P，
则.故选A.
5．（2021·陕西省西安中学高一期中）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
，故选：B
6．已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋4，x∈R，且f(2 017)＝3，则f(2 018)的值为(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
【答案】C
【解析】∵f(2 017)＝asin(2 017π＋α)＋bcos(2 017π＋β)＋4＝3，∴asin(2 017π＋α)＋bcos(2 017π＋β)＝－1，∴f(2 018)＝asin(2 017π＋α＋π)＋bcos(2 017π＋β＋π)＋4＝－asin(2 017π＋α)－bcos(2 017π＋β)＋4＝1＋4＝5.
7．（2021·山东潍坊 高一月考）下列化简正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【解析】利用诱导公式，及
A选项：，故A正确；
B选项：，故B正确；
C选项：，故C不正确；
D选项：，故D不正确
故选：AB
8．（2021·全国高一课时练习）定义：角与都是任意角，若满足，则称与“广义互余”.已知，则下列角中，可能与角“广义互余”的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】∵，∴，
若，则.
A中，，
故A符合条件；
B中，，
故B不符合条件；
C中，，即，
又，所以，
故C符合条件；
D中，，即，
又，所以，
故D不符合条件.
故选：AC.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
13．（2021·上海高一月考）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，为其终边上一点，则________
【答案】
【解析】点在角的终边上，则.
由三角函数的定义可得：
又，故答案为：
14．（2021·上海华师大二附中高一期中）已知的终边在第三象限，且，则________
【答案】
【解析】的终边在第三象限，且，则
，故答案为：
15．（2021·陕西省西安中学高一期中）已知，则______.
【答案】；
【解析】．故答案为：．
16．（2021·安徽省高三三模（理））已知，则_____．[来
【答案】
【解析】因为，
所以,又，
所以，
则＝
,
故答案为：．
三、解答题（本大题共4小题，共40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
13．（2021·哈密市第十五中学高一期末）已知，且为第三象限角.
（1）求，的值；
（2）求值：
【解析】（1），.
（2）原式=.
14．化简
（1）
（2）.
（3）若,化简
【解析】（1），
（2）
（3）因为，
所以，
15．．是否存在角α，β，α∈，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝cos，cos(－α)＝－cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．
【解析】假设存在角α，β满足条件，
则由题可得
①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2.
∴cos2α＝，∴cos α＝±.
∵α∈，∴cos α＝.
由cos α＝，cos α＝cos β，得cos β＝.
∵β∈(0，π)，∴β＝.
∴sin β＝，结合①可知sin α＝，则α＝.
故存在α＝，β＝满足条件．
16.已知，求下列各式的值：
（1）；
（2）.
【解析】（1）因为，
所以.，
两边平方得，
又因为
所以 ，
所以.
（2），
而 ，
所以，.
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