【学练培优】5.6 函数y=Asin（ωx+φ)

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【学练培优】5.6 函数y=Asin（ωx+φ)
知识储备
1.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示.
x － －+ －
ωx＋φ 0 π 2π
y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
2.函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时[][] 振幅[] 周期 频率[] 相位[] 初相
A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ
3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径
4.常用结论
（1）.由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度.
（2）.函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)确定其横坐标.
能力检测
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021·广东福田 红岭中学高一期末）将函数的图象向左平移个单位长度，则所得函数（ ）
A．是奇函数 B．其图象以为一条对称轴
C．其图象以为一个对称中心 D．在区间上为单调递减函数
【答案】D
【解析】函数的图象向左平移个单位长度，
可得，
对于A，，所以函数为偶函数，故A不正确；
对于B，当时，，故B不正确；
对于C，当时，，故C不正确；
对于D，，
由，
解，
即的单调递减区间为，
又，
在区间上为单调递减函数，故D正确；故选：D
2．（2021·陕西渭滨 高一期末）已知奇函数满足，则的取值可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】是奇函数，，
，，
，关于对称，
，，
当时，.故选：B.
3．（2021·辉县市第二高级中学高一期中）要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向左平移个单位
【答案】D
【解析】函数，
要得到函数的图象，
只需将函数的图象向左平移个单位．
故选：D．
4．（2021·宁夏吴忠中学高一期末）函数的部分图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象（ ）
A．向右平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向左平移个单位
【答案】B
【解析】由图象知，，，
，得，
又，得，
所以，为了得到的图象，所以只需将的图象向右平移个单位即可.故选：B
5．（2021·辽宁高三三模（文））已知曲线的一条对称轴方程为，曲线向左平移个单位长度，得到曲线的一个对称中心的坐标为，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵直线是曲线的一条对称轴.，又..
∴平移后曲线为.曲线的一个对称中心为.
.，注意到
故的最小值为.故选C.
6．（2021·全国高三课时练习（理））若函数f (x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)(0<θ<π)的图象关于(，0)中心对称，则函数f (x)在[－，]上的最小值是（ ）
A．－1 B．
C．－ D．－
【答案】B
【解析】由题意得：f (x)＝2sin(2x＋θ＋)又图象关于(，0)中心对称，
所以2×＋θ＋＝kπ，k∈Z.所以θ＝kπ－，又0<θ<π，所以θ＝，所以f (x)＝－2sin2x，
因为x∈[－，]，所以2x∈[－，]，，
所以f (x)的最小值是.故选：B.
7．（2021·山东滨州高三三模）已知曲线，则下面结论正确的是（ ）
A．把上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
B．把上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
C．把向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标变为原来的倍．纵坐标不变，得到曲线
D．把向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到曲线
【答案】AC
【解析】由变换到，
若先伸缩后平移，则把上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线.
若先平移后伸缩，则把向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标变为原来的倍．纵坐标不变，得到曲线.所以正确的选项为AC故选：AC
8.（2021·山东历下济南一中高一期中）下列四种变换方式，其中能将的图象变为的图象的是（ ）
A．向左平移，再将横坐标缩短为原来的； B．横坐标缩短为原来的，再向左平移；
C．横坐标缩短为原来的，再向左平移； D．向左平移，再将横坐标缩短为原来的.
【答案】AB
【解析】将的图像向左平移，可得函数，
再将横坐标缩短为原来的，可得的图像，故A正确；
或者将的图像横坐标缩短为原来的，可得的图像，
再向左平移个单位，可得的图像，故B正确；
对于C，横坐标缩短为原来的可得，再向左平移可得；故C错误；
对于D，向左平移可得，
再将横坐标缩短为原来的可得，故D错误；
故选：AB
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
9．（2021·辉县市第二高级中学高一期中）已知函数的部分图象如下图所示，则函数的解析式________.
【答案】
【解析】由函数图象知的最大值为，所以；
又，所以，则，
将代入得，解得：，
又，所以，故.
10．（2021·全国高三课时练习（理））已知ω>0，在函数y＝2sinωx与y＝2cosωx的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为，则ω＝______.
【答案】.
【解析】由题意，两函数图象交点间的最短距离即相邻的两交点间的距离，
设相邻的两交点坐标分别为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，易知|PQ|2＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2，
其中－()＝，|x2－x1|为函数y＝2sinωx－2cosωx＝2sin(ωx－)的两个相邻零点之间的距离，恰好为函数最小正周期的一半，所以＝＋，ω＝.
11．（2021·全国高一课时练习）将函数的图象纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再向左平移个单位长度后得到函数的图象，则＝________.
【答案】
【解析】将函数的图象纵坐标伸长到原来的2倍，
所得图象对应的解析式为，
则，
故.
12．（2021·山东五莲高三月考）函数的部分图象如图所示，则__________；将函数的图象沿x轴向右平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则__________.
【答案】
【解析】根据函数的图象可得，所以，所以，所以，
又因为，所以，所以，，
所以，，因为，所以.所以，
将的图象沿x轴向右移个长度单位得函数的图象，因为函数是偶函数，所以，，
所以，，
因为，所以，.
三、解答题（本大题共4小题，共40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
13．（2021·浙江高一课时练习）函数表示一个振动量．
（1）指出函数的振幅、最小正周期、初相及频率．
（2）说明此函数的图象可由函数的图象经过怎样的变换得到．
【答案】（1）振幅，最小正周期，初相，频率；（2）答案见解析.
【解析】（1）振幅，最小正周期，初相，频率．
（2） 将函数的图象先向左平移个单位长度，
再把图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），
最后将图象上各点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），
即得函数的图象．
14．（2016·湖南高一期末）已知
（1）填写下表并用五点法画出在上简图；
（2）说明该函数图象可由的图象经过怎样平移和伸缩变换得到.
【解析】（1）列表如下
作在上的图如所示：
（2）法一：①向右平移个单位，②所得各点的横坐标缩短到原来的，③所得各点的纵坐标伸长为原来的2倍。
法二：①各点的横坐标缩短到原来的，②向右平移个单位，③所得各点的纵坐标伸长为原来的2倍。
15．（2021·湖南益阳 高一期末）已知函数的部分图象如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）将函数的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象，求函数在区间上的值域．
【解析】（1）由图可知，，∴，
∴，
∵，∴
，∴
∴
（2）易知
当时，
∴，
∴在区间上的值域为．
16．（2021·河南驻马店 高一期末（文））已知函数的部分图象如图所示.
（1）求的解析式及对称中心坐标；
（2）先将的图象纵坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位，最后将图象向上平移1个单位后得到的图象，求函数在上的单调减区间和最值.
【解析】（1）由所给图象知：；，，，，
∴，把点代入得：，
即，，又∵，∴，
∴；
由，，得，，
所以的对称中心为，.
（2）易知.
化简得，
当时，由，，得，所以的单调递减区间是：；
当时，，当，即时，有最大值，最大值为，当，即时，有最小值，最小值为.
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