黄山市田中2021—2022学年度高三第一学期第二次月考数学试卷
一、选择题．本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝{x|x2－9≤0}，B＝{x|2x－4＞0}，则A∩B＝( )
A．(－∞，－3] B．[－3，＋∞) C．[－3，2) D．(2，3]
【答案】D
2．在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
3．已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
4．已知a，b为单位向量，且(4a－b)⊥(a＋3b)，则a，b夹角的余弦值为( )
A． B． C． D．
【答案】B
5．设Sn为等差数列{an}的前n项和，S8＝4a3，a7＝﹣2，则a9＝( )
A.﹣6 B.﹣4 C.﹣2 D. 2
【答案】A
6．已知函数f（x）＝ax2+blnx的图象在点（1，f（1））的切线方程为y＝3x﹣2，则a+b＝( )
A．2 B．0 C．1 D．﹣2
【答案】A
7．函数在的图象大致为( )
A． B．
C． D．
【答案】B
8. 若函数在区间内有零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
9．函数在定义域上单调递增，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】C
10．在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且垂直于x轴的直线与C交于P，Q两点，F1Q与y轴的交点为R，F1Q⊥PR，则C的离心率为( )
A． B． C．2 D．
【答案】B
11．已知函数f（x）满足f（x+1）＝f（x﹣1），且f（x）是偶函数，当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝x2，若在区间[﹣1，3]内，函数g（x）＝f（x）﹣loga（x+2）有4个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．（1，5） B．（1，5] C．（5，+∞） D．[5，+∞）
【答案】D．
12.已知函数存在三个单调区间，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】D
二、填空题．本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13.函数的减区间是_______
【答案】
14.函数的值域为R，则的取值范围是_______
【答案】
15．将函数的图像向右平移个单位长度后所得图像的解析式为，则________，再将函数图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后得到图像解析式为_______．
【答案】;
16．已知函数______，若，则m的值为______．
【答案】；1或
三、解答题．本大题共6小题，共70分.
17.(12分)已知
(1)若,且为真,求实数的取值范围;
(2)若是充分不必要条件,求实数的取值范围
【答案】（1）；（2）
【解析】(1)由x2-6x+5≤0,得1≤x≤5,∴p:1≤x≤5. 当m=2时,q:-1≤x≤3.
若p∧q为真,p,q同时为真命题, 则即1≤x≤3.
∴实数x的取值范围为[1,3].
(2)由x2-2x+1-m2≤0,得q:1-m≤x≤1+m. ∵p是q的充分不必要条件,
∴解得m≥4. ∴实数m的取值范围为[4,+∞).
18.(12分)在中，点在边上，，，，
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，求的面积．
【思路分析】（Ⅰ）由已知利用两角和的正切公式可求的值，结合范围，可得的值．
（Ⅱ）利用同角三角函数基本关系式可求，的值，在中，由正弦定理可求得的值，利用三角形的面积公式可求，由已知即可计算得解．
【解析】：（Ⅰ）因为，，因为，所以，因为，所以．
（Ⅱ）因为，，所以，，在中，由正弦定理，可得，所以，所以的面积，
因为点在边上，，所以的面积．
19.(12分)如图，在四棱锥中，底面为正方形，△是正三角形，侧面底面，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥与四棱锥体积比.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）因为平面平面，底面为正方形，，
所以平面，所以，又因为△是正三角形，是的中点
所以，所以平面.
（2）设，，，所以
20.(12分)已知函数，，其中.
（1）当时，求证：；
（2）若任意，恒有，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】【分析】（1）构造函数，利用导数得到在时取得最小值，且，可得.
（2）转化为在恒成立，令,，分
、、讨论，利用的单调性可得答案.
【详解】（1）证明：当时，，构造函数，
所以，所以时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
∴在时取得最小值，又，所以当时，.
（2）因为任意，恒有，即，，
则令,，所以，
若，则在上恒成立，所以在是单调递增，所以，即，所以不可能；
若，则在上恒成立，所以在上单调递减，所以，即，而，所以不可能；
若，在上单调递减，在上单调递增，
要使成立，即，解之得.
综上可得.
21. (12分)已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，为坐标原点，点在椭圆上，且有，.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知过点的直线与椭圆交于两点，点，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）由椭圆的定义可知，在△中，由余弦定理和离心率可求得，进而可得答案.
（2）根据斜率是否存在分类讨论，当直线斜率不为0，设出直线方程，联立直线和椭圆方程，利用韦达定理求得，，要证明就需要证明.代入求解即可.
【详解】（1）在△中，，，
解得，所以，则椭圆的方程为：.
（2）当直线斜率为0时，易知成立，
当直线斜率不为0时，设直线方程为，
，消去有，
，
所以，
综上可知不论直线的斜率是否为0，总有.
（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.
22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线交于两点，点，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据同角的平方关系消参可得曲线的普通方程；根据，可得直线直角坐标方程；
（2）由题得直线的参数方程为，再利用参数方程参数的几何意义求解.
【详解】解：（1）由题得，平方相加即得曲线的普通方程为，
因为，所以，所以直线的直角坐标方程为．
（2）由题得点在直线上，直线的参数方程为，
代入椭圆的方程得，所以.
所以.
23. 已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，，求实数的取值范围.
【答案】（1）或；（2）或.
【解析】
【分析】（1）分类讨论去绝对值即可求解；
（2）不等式等价于，或，即可求解.
【详解】（1），等价于或，
解得或，所以不等式解集为或；
（2），等价于，
等价于，，即，或，
从而或.黄山市田中2021—2022学年度高三第一学期第二次月考数学(文)试卷
一、选择题．本大题共10小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝{x|x2－9≤0}，B＝{x|2x－4＞0}，则A∩B＝( )
A．(－∞，－3] B．[－3，＋∞) C．[－3，2) D．(2，3]
2．在复平面内，复数对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3．已知，，，则( )
A. B. C. D.
4．已知a，b为单位向量，且(4a－b)⊥(a＋3b)，则a，b夹角的余弦值为( )
A． B． C． D．
5．设Sn为等差数列{an}的前n项和，S8＝4a3，a7＝﹣2，则a9＝( )
A.﹣6 B.﹣4 C.﹣2 D. 2
6．已知函数f（x）＝ax2+blnx的图象在点（1，f（1））的切线方程为y＝3x﹣2，则a+b＝( )
A．2 B．0 C．1 D．﹣2
7．函数在的图象大致为( )
A． B．
C． D．
8. 若函数在区间内有零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
9．函数在定义域上单调递增，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
10．在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且垂直于x轴的直线与C交于P，Q两点，F1Q与y轴的交点为R，F1Q⊥PR，则C的离心率为( )
A． B． C．2 D．
11．已知函数f（x）满足f（x+1）＝f（x﹣1），且f（x）是偶函数，当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝x2，若在区间[﹣1，3]内，函数g（x）＝f（x）﹣loga（x+2）有4个零点，则实数a的取值范围是( )
A．（1，5） B．（1，5] C．（5，+∞） D．[5，+∞）
12.已知函数存在三个单调区间，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、填空题．本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13.函数的减区间是_______
14.函数的值域为R，则的取值范围是_______
15．将函数的图像向右平移个单位长度后所得图像的解析式为，则________，再将函数图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后得到图像解析式为_______．
16．已知函数______，若，则m的值为______．
三、解答题．本大题共6小题，共70分.
17.(12分)已知
(1)若,且为真,求实数的取值范围;
(2)若是充分不必要条件,求实数的取值范围
18.(12分)在中，点在边上，，，，
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，求的面积．
19.(12分)如图，在四棱锥中，底面为正方形，△是正三角形，侧面底面，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥与四棱锥体积比.
20.(12分)已知函数，，其中.
（1）当时，求证：；
（2）若任意，恒有，求实数的取值范围.
21. (12分)已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，为坐标原点，点在椭圆上，且有，.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知过点的直线与椭圆交于两点，点，求证：.
选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.
22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线交于两点，点，求的值.
23. 已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，，求实数的取值范围.
