2021-2022学年五河一中高二年级（上）第一次周考
数学（理）答案
1．C
【分析】
根据共面向量定理得到，由此得到关于的方程组，从而结果可求.
【详解】
向量共面，
存在实数，使得，
，解得.
故选：C.
2．A
【分析】
由已知条件可得，而，，，从而可得，进而可得答案
【详解】
因为在基底下的坐标是（8，6，4），
所以，
因为，，，
所以，
所以在基底下的坐标是，
故选：A
3．D
【分析】
算出圆心关于直线直线的对称点即可得到答案.
【详解】
设圆心关于直线直线的对称点的坐标为，则线段C1C2的中点为，且.
于是，易知圆的半径长度不变，所以圆的方程为.
故选：D.
4．B
【分析】
利用平面几何知识所求直线与OA垂直，即得.
【详解】
∵点A（2，3）与原点连线的斜率等于，由题意可得，所求直线与OA垂直，且过点A，
故所求直线的斜率等于，
由点斜式求得所求直线的方程为，即，
故选：B.
5．A
【分析】
配方得出圆心坐标，代入直线方程求得参数值，然后可得圆半径、面积．
【详解】
圆的方程可化为，其圆心为.依题意得，，解得，圆的半径为，面积为，
故选：A.
6．C
【分析】
首先将直线：，：化成斜截式，然后根据所给图像中直线的斜率以及纵截距即可求解.
【详解】
由题中所给直线方程易得，
直线的方程：；直线的方程：，
又由图像可知直线和的斜率都大于0，即，，且，
故，且，
又∵的纵截距，的纵截距，
∴，．
故选:C.
7．B
【分析】
根据直线与线段有交点得出不等式求解即可.
【详解】
因为直线与线段总有公共点，
所以点和点不同在直线的一侧，
所以，
解得或.
即的取值范围是.
故选：B
8．C
【分析】
先确定直线所过定点，再根据定义写圆的标准方程，化简即得圆的一般方程.
【详解】
直线，当时，，故直线恒过点，
所以以为圆心，为半径的圆的标准方程为，
化简得圆的一般方程为：.
故选：C.
9．ABC
【分析】
由直线经过象限可确定的正负，由此知A正确；整理可求得B中直线过定点，得B正确；由直线点斜式和斜截式方程定义可确定CD正误.
【详解】
对于A，由直线经过第一、二、四象限可得：，，在第二象限，A正确；
对于B，由得：，则直线恒过定点，B正确；
对于C，由点斜式方程定义可知该直线方程为：，C正确；
对于D，由斜截式方程定义可知该直线方程为：，D错误.
故选：ABC.
10．BD
【分析】
讨论和时直线的斜率和截距情况，判断AD的正误；利用倾斜角和斜率的关系判断B的正误；将方程化为判断直线过定点，判断C的正误.
【详解】
当时，直线，斜率不存在，
当时，直线的斜率为，不可能等于0，故A选项错误；
∵直线与轴的夹角角为30°，
∴直线的倾斜角为60°或120°，而直线的斜率为，
∴或，∴或，故B选项正确；
直线的方程可化为，所以直线过定点，故C选项错误；
当时，直线，在轴上的截距不存在，
当时，令，得，令，得，
令，得，故D选项正确．
故选：BD．
11．ABD
【分析】
根据题意，以为坐标轴建立空间坐标系，设，，并求得，由得出，可求出，再由，所以，从而可得出的最小值，结合选项，即可得出长度的可能取值.
【详解】
解：以为坐标轴建立空间坐标系，如图所示：
设，，则，即，
又，
所以，
，
显然且，
所以，
因为，所以，
则当，取得最小值12，
所以的最小值为，即边长度的最小值为.
故选：ABD．
12．AD
【分析】
利用点到直线距离公式表示两个距离，解绝对值方程，即得解
【详解】
由题意得，
或
解得或
故选：AD
13．
【分析】
求点关于轴的对称点，由题意可知三点共线，利用斜率公式，即得解
【详解】
设，点关于轴对称的点，
则，，
由题意，三点共线，
，即，解得，故点的坐标为.
故答案为：
14．或
【分析】
分截距为零和截距不为零两种情况求解即可.
【详解】
设直线l在y轴上的截距为a，则在x轴上的截距为．
当时，直线l过点，
又直线l过点，故直线l的斜率，
故直线l的方程为，即；
当时，直线l的方程为，即，
∴直线l过点，
∴，
∴，
∴直线l的方程为．
综上可知，直线l的方程为或．
故答案为：或.
15．
【分析】
建立空间直角坐标系，设，根据AP⊥BD1，求得a,c的关系，再利用线面角的向量公式结合三角函数基本关系式求解.
【详解】
建立如图所示空间直角坐标系：
设，则，
所以，
因为AP⊥BD1，
所以，解得，
此时，
平面BCC1B1一个法向量为，
记AP 与平面BCC1B1所成的角为θ，
则，
当时，取得最大值，此时，
所以的最大值为.
故答案为：
16．10
【分析】
设点M(3，4)关于y轴的对称点为P(－3，4)，关于x轴的对称点为Q(3，－4)，从而可得MB＝PB，MA＝AQ，然后讨论A与B重合于坐标原点、A与B不重合两种情况，结合两点间的距离公式即可求解.
【详解】
如图，设点M(3，4)关于y轴的对称点为P(－3，4)，
关于x轴的对称点为Q(3，－4)，
则MB＝PB，MA＝AQ.
当A与B重合于坐标原点O时，
MA＋AB＋BM＝PO＋OQ＝PQ
＝；
当A与B不重合时，MA＋AB＋BM＝AQ＋AB＋PB>PQ＝10.
综上可知，当A与B重合于坐标原点O时，
MA＋AB＋BM取得最小值，最小值为10.
故答案为：10
17．（1）证明见解析；（2）x﹣2y+4＝0．
【分析】
（1）由直线系方程的逆用联立方程组求解直线l过定点；
（2）求出直线在两坐标轴上的截距，由三角形的面积公式可求解直线的斜率，代入直线方程即可得到答案．
【详解】
（1）证明：（1）由kx﹣y+1+2k＝0，得k（x+2）﹣y+1＝0，
联立，得x＝﹣2，y＝1．所以直线l过定点（﹣2，1）；
（2）由kx﹣y+1+2k＝0，取x＝0，得y＝2k+1，
取y＝0，得x＝﹣﹣2．
所以，△ABC的面积为S＝＝4．
解得k＝．
所以直线l的方程为x﹣2y+4＝0．
18．（1）(－2，3)；（2）(12，10)．
【分析】
（1）求出A关于直线l的对称点为A′，从而可得PA＋PB＝PA′＋PB≥A′B，当且仅当B，P，A′三点共线时，PA＋PB取得最小值，求出交点即可求解.
（2）A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，则|PB－PA|≤AB，当且仅当A，B，P三点共线时，|PB－PA|取得最大值，求出交点即可.
【详解】
(1)设A关于直线l的对称点为A′(m，n)，
则，
解得，
故A′(－2，8)．
因为P为直线l上的一点，
则PA＋PB＝PA′＋PB≥A′B，
当且仅当B，P，A′三点共线时，PA＋PB取得最小值，
为A′B，点P即是直线A′B与直线l的交点，
则得，
故所求的点P的坐标为(－2，3)．
(2)A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，
则|PB－PA|≤AB，
当且仅当A，B，P三点共线时，|PB－PA|取得最大值，
为AB，点P即是直线AB与直线l的交点，
又直线AB的方程为y＝x－2，
则得，
故所求的点P的坐标为(12，10)．
19．货车能驶入这个隧道；最大高度为.
【分析】
构建以隧道截面半圆的圆心为坐标原点，半圆直径所在直线为轴的坐标系，易知半圆的方程为，将、代入方程求y值，即可判断货车是否能驶入及求出货车的最大高度.
【详解】
以隧道截面半圆的圆心为坐标原点，半圆直径所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则半圆的方程为.
将代入，得.
∵在离中心线处，隧道高度高于货车的高度，
∴货车能驶入这个隧道，将代入，得
∴货车要驶入该隧道，最大高度为.
20．（1）；（2）存在；
【分析】
(1)利用直线的点斜式方程直线l的方程，再利用两条直线的交点坐标得和，再结合题目条件得，当时，得直线OA的方程为，
和，以及，再利用点到直线的距离公式得点M和N到直线OA的距离，从而得面积，令，则，从而得S
，再利用基本不等式求最值，计算得结论；
(2)利用(1)的结论，结合两点间的距离公式得和，计算，由得结论．
【详解】
(1)因为直线l过点，且斜率为k，
所以直线l的方程为
因为直线l与，分别交于点M，N，所以，
因此由得，即，
由得，即
又因为M，N的纵坐标均为正数，
所以，即
而，因此
又因为当时，直线OA的方程为，
，，且，
所以点M到直线OA的距离为，
点N到直线OA的距离为，
因此面积
令，则且，
因此
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以S的最小值为，即面积的最小值为
(2)存在实数，使得的值与k无关．
由(1)知：，，且
因此，，
所以
又因为，所以当时，为定值，
因此存在实数，使得的值与k无关．
21．（1）证明见解析；（2）；（3）．
【分析】
（1）由菱形的性质可推出BE⊥DE，再由勾股定理证明AE⊥DE，从而知DE⊥平面ABE，而DE∥BC，得证；
（2）以E为原点建立空间直角坐标系，求得平面PBD和平面ABD的法向量与，再由cos，，得解；
（3）设直线BC与平面ABD所成角为θ，由sinθ＝|cos，|，即可得解．
【详解】
（1）证明：∵菱形ABCD，∠A＝60°，AB＝2，且E为AD的中点，
∴BE⊥AE，BE⊥DE，且AE＝DE＝1，
∵AD，∴AE2+DE2＝AD2，即AE⊥DE，
∵BE∩AE＝E，BE、AE 平面ABE，
∴DE⊥平面ABE，
∵DE∥BC，
∴BC⊥平面ABE．
（2）由（1）知，EA，EB，ED两两垂直，
以E为原点，EB，ED，EA所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（0，0，1），B（，0，0），D（0，1，0），
C（，2，0），P（，1，），
∴（，1，0），（，﹣1，），（0，1，﹣1），
设平面PBD的法向量为（x，y，z），则，即，
令x＝1，则y，z，∴（1，，），
同理可得，平面ABD的法向量为（1，，），
∴cos，，
由图知，二面角P﹣BD﹣A为锐角，
故二面角P﹣BD﹣A的余弦值为 ．
（3）由（2）上可知，（0，2，0），
平面ABD的法向量为（1，，），
设直线BC与平面ABD所成角为θ，
则sinθ＝|cos，|＝||＝||，
故直线BC与平面ABD所成角的正弦值为．
22．（1）；（2）.
【分析】
（1）设圆的方程为：，由已知列出方程组，解之可得圆的方程；
（2）由已知得四边形的面积为，即有，又有.因此要求的最小值，只需求的最小值即可，根据点到直线的距离公式可求得答案.
【详解】
解：（1）设圆的方程为：，
根据题意得，
故所求圆M的方程为： ；
（2）如图，
四边形的面积为，即
又，所以，
而，即.
因此要求的最小值，只需求的最小值即可，
的最小值即为点到直线的距离
所以，
四边形面积的最小值为.
答案第1页，共3页2021-2022学年五河一中高二年级（上）第一次周考
数学（理）试题
2021年10月9日
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，满分40分，每题只有一个正确选项）
1．若向量，，，且共面，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知在基底下的坐标是（8，6，4），其中，，，则在基底下的坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．已知圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．过点A（2，3），且到原点的距离最大的直线方程是（ ）
A．3x+2y﹣12＝0 B．2x+3y﹣13＝0
C．x＝2 D．x+y﹣5＝0
5．已知圆的圆心在直线上，则该圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．已知两直线的方程分别为：，：，它们在坐标系中的位置如图所示，则（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
7．已知点，若直线与线段总有公共点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．当为任意实数时，直线恒过定点，则以为圆心，为半径的圆的一般方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）
9．下列说法正确的有（ ）
A．若直线经过第一、二、四象限，则在第二象限
B．直线必过定点
C．过点，且斜率为的直线的点斜式方程为
D．斜率为，且在轴上的截距为的直线方程为
10．已知直线，则下列说法正确的是（ ）．
A．直线的斜率可以等于0 B．若直线与轴的夹角为30°，则或
C．直线恒过点 D．若直线在两坐标轴上的截距相等，则或
11．如图，矩形，矩形，正方形两两垂直，且，若线段上存在点使得，则边长度的可能取值为（ ）
A．4 B． C．2 D．
12．已知两点到直线的距离相等，则的值为（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．台球运动中反弹球技法是常见的技巧，其中无旋转反弹球是最简单的技法，主球撞击目标球后，目标球撞击台边之后按照光线反射的方向弹出，想要让目标球沿着理想的方向反弹，就要事先根据需要确认台边的撞击点，同时做到用力适当，方向精确，这样才能通过反弹来将目标球成功击入袋中.如图，现有一目标球从点无旋转射入，经过轴（桌边）上的点反弹后，经过点，则点的坐标为_______.
14．经过点，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线l的方程为_________．
15．如图，在正四棱柱 中，AB＝AD＝3，AA1＝4，P是侧面 BCC1B1内的动点，且AP⊥BD1，记AP 与平面BCC1B1所成的角为θ，则tanθ 的最大值为_______
（13题图） （15题图）
在平面直角坐标系中，点A，B分别是x轴、y轴上两个动点，又有一定点M(3，4)，则MA＋AB＋BM的最小值是________．
解答题（本题共6小题，满分70分，要求写出详细解题步骤）
17．已知直线l：kx﹣y+1+2k＝0（k∈R）．
（1）证明：直线l过定点；
（2）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为4，求直线l的方程．
18．已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2，0)，B(－2，－4)．
（1）在直线l上求一点P，使PA＋PB最小；
（2）在直线l上求一点P，使PB－PA最大．
19．已知隧道的截面是半径为的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为，高为的货车能不能驶入这个隧道？假设货车的宽度为，那么要正常驶入该隧道，货车的最大高度为多少？
20．如图，设直线：，：点A的坐标为过点A的直线l的斜率为k，且与，分别交于点M，N的纵坐标均为正数
（1）设，求面积的最小值；
（2）是否存在实数a，使得的值与k无关若存在，
求出所有这样的实数a；若不存在，说明理由．
21．已知如图①，在菱形ABCD中，∠A＝60°且AB＝2，E为AD的中点，将△ABE沿BE折起使，得到如图②所示的四棱锥A﹣BCDE，在四棱锥A﹣BCDE中，求解下列问题：
（1）求证：BC⊥平面ABE；
（2）若P为AC的中点，求二面角P﹣BD﹣A的余弦值；
（3）求直线BC与平面ABD所成角的正弦值．
22．已知圆M过C(1，﹣1)，D(﹣1，1)两点，且圆心M在x+y﹣2=0上.
（1）求圆M的方程；
（2）设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值.
