2021北京师大附实验中学高三(上)10月月考
数 学
2021.10.7
一、选择题:共10小题,每小题4分,共40分,在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1. 设集合, ,则=( C )
2. 复数在复平面内对应的点所在的象限为( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 下列函数中,在区间上单调递增的是
A. B. C. D.
4. 函数的图像在点处的切线方程为( )
A. B.
C. D.
5. 已知,,,则
A. B. C. D.
6.设为奇函数,且当时,,则当时,
A. B. C. D.
7. 记Sn为等比数列的前n项和.若,则=( )
8. 等比数列的公比为,前项和为.设甲:,乙:是递增数列,则(
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
9. 基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与R0,T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28,T=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) ( )
A. 1.2天 B. 1.8天
C. 2.5天 D. 3.5天
10. 已知若存在使则称函数互为“度零点函数“,若互为“1度零点函数“,则实数的取值范围为( )
二、填空题:5小题,每小题5分,共25分.
11. 复数的共轭复数等于 .
12. 已知,函数若,则 .
13.若则的最小值是 .
14. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数_______.
①;②当时,;③是奇函数.
15.已知只有50项的数列满足下列三个条件:①;
②;③。
对所有满足上述条件的数列,共有个不同的值,则=_______.
三、解答题:共6小题,共85分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
16. (本小题13分)已知函数(为常数)的图像与轴交于点,曲线在点处的切线斜率为-1.
(I)求的值及函数的极值;
(II)证明:当时,;
17、(本小题13分)已知数列的前项和为,,从条件①、条件②和条件③中选择两个作为已知,并完成解答:
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设等比数列满足,,求数列的前项和.
条件①:;
条件②:;
条件③:.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
18.(本小题14分)如图,在正方体中,E为的中点.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.
19.(本小题15分)已知椭圆过点,且的离心率为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过点的直线交椭圆于,两点,求的取值范围.
20.(本小题15分)已知函数(其中为常数且)在处取得极值.
(I)当时,求的单调区间;
(II)若在上的最大值为,求的值.
21.(本小题15分)在无穷数列中,,对于任意,都有,.设,记使得成立的的最大值为.
(Ⅰ)设数列为1,3,5,7,,写出,,的值;
(Ⅱ)若为等差数列,求出所有可能的数列;
(Ⅲ)设,,求的值.(用表示)
2021北京师大附实验中学高三(上)10月月考
数 学
2021.10.7
一、选择题:共10小题,每小题4分,共40分,在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1. ( C )
2. A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【解析】:,所以该复数对应的点为,
该点在第一象限,故选:A.
3. 【解析】:在上单调递增,和在上都是减函数.故选:.
4. 【详解】,,,,
因此,所求切线的方程为,即.故选:B
5. 【解析】:,,,,
,故选:.
6.【解析】:设,则,,设为奇函数,,
即.故选:.
7. 【详解】设等比数列的公比为,
由可得:,
所以,因此.故选:B.
8. 【思路分析】根据等比数列的求和公式和充分条件和必要条件的定义即可求出.
【解析】:若,,则,则是递减数列,不满足充分性;
,则,,
若是递增数列,对恒成立,则,,满足必要性,
故甲是乙的必要条件但不是充分条件,故选:.
9.【详解】因,,,所以,所以,
设在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间为天,
则,所以,所以,所以天. 故选:
10. B
二、填空题:5小题,每小题5分,共25分.
11.
12【解析】:因为函数,
所以,
则(2),解得.
13. 6
14.
【解析】:取,则,满足①,
,时有,满足②,
的定义域为,又,故是奇函数,满足③.
故答案为:(答案不唯一,均满足)
15.6
三、解答题:共6小题,共85分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
16. 解:(I)由,得.又,得.所以
.令,得.当时,单调递减;当时,单调递增.所以当时,取得极小值,且极小值为无极大值.(7分)
(II)令,则.由(I)得,故在R上单调递增,又,因此,当时,,即.(13分)
17、解:(不能选择①③作为已知条件)
选择①②作为已知条件.………………2分
因为,,
所以数列是以为首项,公差的等差数列.
所以.………………6分
选择②③作为已知条件.………………2分
因为,所以数列是以为首项,公差为的等差数列.
因为,所以.所以.所以.
所以.………………6分
(Ⅱ)设等比数列的公比为,则,,,
所以.
所以等比数列的通项公式为.
所以
所以
.………………13分
18.【详解】(Ⅰ)如下图所示:
在正方体中,且,且,
且,所以,四边形为平行四边形,则,
平面,平面,平面;(6分)
(Ⅱ)以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系,
设正方体的棱长为,则、、、,,,
设平面的法向量为,由,得,
令,则,,则.
.
因此,直线与平面所成角的正弦值为.(14分)
19.解:(Ⅰ)由题意得解得
所以椭圆的方程为.(5分)
(Ⅱ)当直线的斜率不存在时,直线:与椭圆交于,两点,
所以,所以.
当直线的斜率存在时,设其方程为,
由得.
且.
设,则
,.
所以.
令,则,
所以.
当,即时,取最大值.
综上所述,的取值范围是.(15分)
20.解:(I)因为所以
因为函数在处取得极值
当时,,,
随的变化情况如下表:
0 0
极大值 极小值
所以的单调递增区间为,
单调递减区间为(6分)
(II)因为
令,
因为在处取得极值,所以
当时,在上单调递增,在上单调递减
所以在区间上的最大值为,令,解得
当,
当时,在上单调递增,上单调递减,上单调递增
所以最大值1可能在或处取得
而
所以,解得
当时,在区间上单调递增,上单调递减,上单调递增
所以最大值1可能在或处取得
而
所以,
解得,与矛盾
当时,在区间上单调递增,在单调递减,
所以最大值1可能在处取得,而,矛盾
综上所述,或.(15分)
21.(Ⅰ)解:,,.(4分)
(Ⅱ)解:由题意,得,
结合条件,得.
又因为使得成立的的最大值为,使得成立的的最大值为,
所以,.
设,则.假设,即,则当时,;当时,.
所以,.因为为等差数列,所以公差,所以,其中.
这与矛盾,所以.
又因为,所以,
由为等差数列,得,其中.
因为使得成立的的最大值为,所以,
由,得.(10分)
(Ⅲ)解:设,
因为,所以,且,
所以数列中等于1的项有个,即个;
设,则,且,
所以数列中等于2的项有个,即个;……
以此类推,数列中等于的项有个.
所以
.
即.(15分)
2 / 2