北京市北京师大附实验高中2021-2022学年高三上学期10月月考数学试题（Word版含答案解析）

2021北京师大附实验中学高三（上）10月月考
数 学
2021.10.7
一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 设集合， ，则=（ C ）
2. 复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 下列函数中，在区间上单调递增的是　　
A． B． C． D．
4. 函数的图像在点处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知，，，则　　
A． B． C． D．
6.设为奇函数，且当时，，则当时，　　
A． B． C． D．
7. 记Sn为等比数列的前n项和．若，则=（ ）
8. 等比数列的公比为，前项和为．设甲：，乙：是递增数列，则(　　
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
9. 基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ）
A. 1.2天 B. 1.8天
C. 2.5天 D. 3.5天
10. 已知若存在使则称函数互为“度零点函数“，若互为“1度零点函数“，则实数的取值范围为（ ）
二、填空题：5小题，每小题5分，共25分．
11. 复数的共轭复数等于　　 ．
12. 已知，函数若，则　　．
13.若则的最小值是　　 ．
14. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数_______．
①；②当时，；③是奇函数．
15.已知只有50项的数列满足下列三个条件：①；
②；③。
对所有满足上述条件的数列，共有个不同的值，则=_______．
三、解答题：共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. （本小题13分）已知函数（为常数）的图像与轴交于点，曲线在点处的切线斜率为-1.
（I）求的值及函数的极值；
（II）证明：当时，；
17、（本小题13分）已知数列的前项和为,,从条件①、条件②和条件③中选择两个作为已知，并完成解答：
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设等比数列满足，，求数列的前项和.
条件①：；
条件②：；
条件③：.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
18.（本小题14分）如图，在正方体中，E为的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
19.（本小题15分）已知椭圆过点，且的离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点的直线交椭圆于，两点，求的取值范围．
20.（本小题15分）已知函数(其中为常数且)在处取得极值.
(I)当时，求的单调区间；
(II)若在上的最大值为，求的值.
21.（本小题15分）在无穷数列中，，对于任意，都有，.设，记使得成立的的最大值为.
（Ⅰ）设数列为1，3，5，7，，写出，，的值；
（Ⅱ）若为等差数列，求出所有可能的数列；
（Ⅲ）设，，求的值.（用表示）
2021北京师大附实验中学高三（上）10月月考
数 学
2021.10.7
一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. （ C ）
2. A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【解析】：，所以该复数对应的点为，
该点在第一象限，故选：A.
3. 【解析】：在上单调递增，和在上都是减函数．故选：．
4. 【详解】，，，，
因此，所求切线的方程为，即.故选：B
5. 【解析】：，，，，
，故选：．
6.【解析】：设，则，，设为奇函数，，
即．故选：．
7. 【详解】设等比数列的公比为，
由可得：，
所以，因此.故选：B.
8. 【思路分析】根据等比数列的求和公式和充分条件和必要条件的定义即可求出．
【解析】：若，，则，则是递减数列，不满足充分性；
，则，，
若是递增数列，对恒成立，则，，满足必要性，
故甲是乙的必要条件但不是充分条件，故选：．
9.【详解】因，，，所以，所以，
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，
则，所以，所以，所以天. 故选：
10. B
二、填空题：5小题，每小题5分，共25分．
11.
12【解析】：因为函数，
所以，
则（2），解得．
13. 6
14.
【解析】：取，则，满足①，
，时有，满足②，
的定义域为，又，故是奇函数，满足③.
故答案为：（答案不唯一，均满足）
15.6
三、解答题：共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 解：（I）由，得.又,得.所以
.令,得.当时,单调递减;当时,单调递增.所以当时,取得极小值,且极小值为无极大值.（7分）
（II）令,则.由（I）得,故在R上单调递增,又,因此,当时,,即.（13分）
17、解：(不能选择①③作为已知条件)
选择①②作为已知条件.………………2分
因为，，
所以数列是以为首项，公差的等差数列.
所以.………………6分
选择②③作为已知条件.………………2分
因为，所以数列是以为首项，公差为的等差数列.
因为，所以.所以.所以.
所以.………………6分
（Ⅱ）设等比数列的公比为，则，，，
所以.
所以等比数列的通项公式为.
所以
所以
.………………13分
18.【详解】（Ⅰ）如下图所示：
在正方体中，且，且，
且，所以，四边形为平行四边形，则，
平面，平面，平面；（6分）
（Ⅱ）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为，则、、、，，，
设平面的法向量为，由，得，
令，则，，则.
.
因此，直线与平面所成角的正弦值为.（14分）
19.解：（Ⅰ）由题意得解得
所以椭圆的方程为．（5分）
（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，直线：与椭圆交于，两点，
所以，所以．
当直线的斜率存在时，设其方程为，
由得．
且．
设，则
，．
所以．
令，则，
所以．
当，即时，取最大值．
综上所述，的取值范围是．（15分）
20.解：（I）因为所以
因为函数在处取得极值
当时，，，
随的变化情况如下表：
0 0
极大值 极小值
所以的单调递增区间为,
单调递减区间为（6分）
(II)因为
令,
因为在处取得极值，所以
当时，在上单调递增，在上单调递减
所以在区间上的最大值为，令，解得
当，
当时，在上单调递增，上单调递减，上单调递增
所以最大值1可能在或处取得
而
所以，解得
当时,在区间上单调递增，上单调递减，上单调递增
所以最大值1可能在或处取得
而
所以，
解得，与矛盾
当时，在区间上单调递增，在单调递减，
所以最大值1可能在处取得，而，矛盾
综上所述，或.（15分）
21.（Ⅰ）解：，，.（4分）
（Ⅱ）解：由题意，得，
结合条件，得.
又因为使得成立的的最大值为，使得成立的的最大值为，
所以，.
设，则.假设，即，则当时，；当时，.
所以，.因为为等差数列，所以公差，所以，其中.
这与矛盾，所以.
又因为，所以，
由为等差数列，得，其中.
因为使得成立的的最大值为，所以，
由，得.（10分）
（Ⅲ）解：设，
因为，所以，且，
所以数列中等于1的项有个，即个；
设，则，且，
所以数列中等于2的项有个，即个；……
以此类推，数列中等于的项有个.
所以
.
即.（15分）
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