北京市海淀区中国人大附属高中2022届高三10月月考数学试题（Word版含答案）

人大附中2022届高三10月统一练习
数学
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题纸上的相应位置．）
1．已知命题：，，则是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．若，则的值为（ ）
A．-3 B．3 C．-12 D．12
3．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
4．已知角的终边过点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记时刻五角星露出水面部分的图形面积为，则函数的图像大致为（ ）
A．B．C．D．
7．将函数的图象沿轴向右平移个单位后得到的图象关于原点对你，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．“的图象关于轴对称”是“是函数或函”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要
9．已知函数，若实数，，c满足且，则的取值范为（ ）
A． B． C． D．
to．已知、、、为锐角，在，，，四个值中，大于的个数的最大值记为，小于的个数的最大值记为，则等于（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分请把结果填在答题纸上的相应位置．）
11．______．
12．当时，不等式恒成立，则的取值范围为______．
13．已知，，能说明“存在、，使得对任意恒成立”是真命题的一组，的值为______，______．
14．若函数在区上单调递减，则实数的取值范围是______．
15．已知数集．若存在，使得对任意都有，则称为完美集，给出下列四个结论：
①存在，使得为完美集；
②存在，使得为完美集；
③如果，那么一定不为完美集；
④使得为完美集的所有的值之和为-2．
其中，所有正确结论的序号是______．
三、解答题（本大题共6小题，85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．请在答题纸上的相应位置作答．）
16．（本小题13分）在等差数列中，，前10项和．
（Ⅰ）求列的通项公式；
（Ⅱ）若数列是首项为1，公比为2的等比数列，求的前8项和．
17．（本小题14分）已知函，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若存在，使得，求的最小值．
条件①：，；条件②：，．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
18．（本小题14分）在中，，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的值及的面积．
条件①：；条件②：；条件③：．
注：如果选择多个条件分别解答，第一个解答计分．
19．（本小题14分）已知函数．
（Ⅰ）求的单区间；
（Ⅱ）若有两个极值点，，设，，是否存在．使得直线与轴的交点在曲线上？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由．
20．（本小题15分）已知．函数．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求的极值点个数；
（Ⅲ）若存在，使得对任意成立，求实数的取值范围．
21．（本小题15分）已知集合，，若条件①、条件②同时成立，则称为阶集．
条件①：存在，，…，，使得；
条件②：对任意，，…，，，均有．
（Ⅰ）是否是2阶集，是否是3阶集？说明理由；
（Ⅱ）求所有的2阶集；
（Ⅲ）是否存在3阶集，使得为无限集且？如果存在，求满足条件的集合的个数；如果不存在，请说明理由．
人大附中2022届高三10月统一练习
数学参考答案
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1．C 2．C 3．A 4．D 5．C
6．A 7．B 8．B 9．D 10．B
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
11．-4 12． 13．0；（答案不唯一）
14． 15．①②
注：（12）（14）若区间端点均正确，仅将是否取端点弄错，得3分．
三、解答题（共6小题，共85分）
16．（共13分）
解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，则
解得所以．
（Ⅱ）由题意，，．
所以的前8项和为．
17．（共14分）
解：（Ⅰ）．
（Ⅱ）选择条件①．
．
∵，令，
∴，．
∴当，即时，取得最小值．
所以原命题等价于，即．
所以的最小值为-1．
选择条件②．
．
∵，∴．
所以当，即时，取得最小值．
所以原命题等价于，即．
所以的最小值为．
18．（共14分）
解：（Ⅰ）因为，
由正弦定理，
所以．
因为中，，，
所以，即．
所以或．
（Ⅱ）选择条件③．
因为，，所以．
又因为，，所以．
由正弦定理得，．
所以
．
（19）（共14分）
解：（Ⅰ）因为，
所以．
①当时，
，当且仅当，且时，．
所以的单调递增区间为，无单调递减区间．
②当时，
令，得，．
，的变化情况如下：
＋ 0 ― 0 ＋
↗ 极大 ↘ 极小
所以的单调地增区间为，，
单调递减区间为．
（Ⅱ）【法一】因为有两个极值点，，
由（1）知，且，是方程的两个根．
所以，．
所以
同理．
因此直线的方程为．
注：【法二】也可以利用韦达定理，．
计算直线的斜率，
由，
得中点为，
从而得到直线的方程．
设直线与轴的交点为，得．
由题设知，点在曲线上，故，
又因为
所以或2或．
（20）（共15分）
解：（1）因为，
所以，．
又，所以所求切线方程为；
即．
（Ⅱ）因为，
所以．
令，则．
令，得．
，的变化情况如下：
-2
― 0 ＋
↘ 极小 ↗
所以当时，单调递减；当时，单调递增．
又当时，，，当时，，
当时，，，故．
所以大致图像如下：
因为，所以与恰有一个交点，记为，
所以，，．
当时，，则，单调递减，
当时，，则，单调递增．
所以存在唯一的极小值点，无极大值点，的极值点个数为1．
（Ⅱ）由（1）知，当且仅当时，取得最小值，且，．
所以最小值为；
所以原命题等价于存在，使得；
等价于存在，使得，
即，即．
令，
则，
令，得．
，的变化情况如下：
1
―＋ 0 ―
↗ 极小 ↘
所以当时，单调递增，当时，单调递减，
所以当且仅当时，取得最大值．
所以实数的取值范围．
（21）（共15分）
解：（1）不是2阶集，是3阶集．
因为，，所以不是2阶集．
因为；对任意，，，，均有，．
所以是3阶集．
（Ⅱ）设为2阶集．
[1]由条件①，存在，．
[2]对任意，，即，由条件②，必有．
[3]对任意，，即，由条件②，必有，
其中．
（1）当存在，时，由[3]，无上界，由[2]，．
（2）当不存在，时，由[1][2]，，，．检验：
（1）当，，，时，，条件①成立．
（2）当时，对任意，，，均有，；
（3）当时，考虑加法、乘法的交换律，
对任意，，，即，，均有，．
（4）同理，当时，对，，，，均有，， ，．
（5）当时，对任意，，，均有．
由（2）（3）（4）（5），，，，时，条件②成立．
综上，，，，为所有的2阶集．
（Ⅱ）存在3阶集，使得为无限集且．
设，．
[1]由条件①，存在整数，．
[2]对任意，，即，由条件②，必有．
[3]对任意，，即，由条件②，
必有，其中为偶数，且．
[4]对任意奇数，，即，由条件②，
必有，其中为奇数，且．
（1）因为为无限集，所以存在，，由[3][2]，．
（2）又因为，由[2]，或有最大元，设为，
由[4]，．由[2]，，，，．检验：
（1）对上述集合，因为，所以条件①成立．
（2）对任意，，，，
必有，，不全为奇数，所以必有．
（3）考虑加法、乘法的交换律，对任意，，，，
即，，，因为
，，，，，，
结合（2），对上述集合，条件②成立．
综上，当且仅当3阶集，，，时，为无限集且，
所以满足条件的集合的个数为4．