福建省两校2021－2022学年高三上学期第一次联考数学试题（Word版含答案）

上杭一中与永定一中2021－2022学年第一学期高三第一次联考
数学科试卷
（考试时间：120分钟 总分：150分）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名 考生号 考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2. 已知命题，则是（ ）
A． B．
C． D．
3. 在中，，，，则（ ）
A．60° B．30°或150° C．30° D．60°或120°
4. 已知函数（且）的图象恒过点，且点在角的终边上，则（ ）
A． B． C． D．
5. 函数图象的大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
6. 已知是奇函数，当时，（其中为自然对数的底数），则（ ）
A． B． C． D．
7. 若在上是增函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8. 已知函数 (，且)在区间上为单调函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.如图是的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（ ）.
A．当时，取得极小值； B．在上是增函数；
C．当时，取得极大值. D．在上是增函数、在上是减函数；
10. 已知直线是函数的一条对称轴，则（ ）
A．是偶函数 B．是的一条对称轴
C．在上单调递减 D．与的图象关于直线对称
11. 设，，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的最小值为2
B．不等式恒成立
C．函数的最小值
D．若,则的最小值是
12. 已知函数且函数，则下列选项正确的是（ ）
A．，，使
B．点（0，0）是函数的零点
C．函数的值域为
D．若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知函数，则所有的切线中斜率最小的切线方程为_________.
14.函数，若，则___________
15.锐角的内角、、的对边分别为、、，若，则的取值范围为______.
16.已知为自然对数的底数，对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.(本题满分10分)
从“①；②方程有两个实数根，；③”三个条件中任意选择一个，补充到下面横线处，并解答.
已知函数为二次函数，，，___________.
（1）求函数的解析式；
（2）若不等式对一切实数x恒成立，求实数k的取值范围.
注：如果选择多个条件分别进行解答，按第一个解答进行计分.
18.(本题满分12分)
已知如图①，在菱形中，且，为的中点，将沿折起使，得到如图②所示的四棱锥.
（1）求证：平面平面；
（2）若为的中点，求二面角的余弦值.
19.(本题满分12分)
受新冠肺炎疫情的影响，2021年一些企业改变了针对应届毕业生的校园招聘方式，将线下招聘改为线上招聘.某世界五百强企业的线上招聘方式分资料初审 笔试 面试这三个环节进行，资料初审通过后才能进行笔试，笔试合格后才能参加面试，面试合格后便正式录取，且这几个环节能否通过相互独立.现有甲 乙 丙三名大学生报名参加了企业的线上招聘，并均已通过了资料初审环节.假设甲通过笔试 面试的概率分别为 ，；丙通过笔试 面试的概率分别为，；乙通过笔试 面试的概率与丙相同.
（1）求甲 乙 丙三人中至少有一人被企业正式录取的概率；
（2）为鼓励优秀大学生积极参与企业的招聘工作，企业决定给报名参加应聘且通过资料初审的大学生一定的补贴，补贴标准如下表：
参与环节 笔试 面试
补贴(元) 100 200
记甲 乙 丙三人获得的所有补贴之和为元，求的分布列和数学期望.
20.(本题满分12分)
已知函数，实数，满足，且的最小值为，由的图象向左平移个单位得到函数.
(1)求函数的单调递减区间.
(2)已知，求的值域.
21.(本题满分12分)
在中，角所对的边分别为，且满足
（1）求角;
（2）若外接圆的半径为，且边上的中线长为，求的面积和周长.
22.(本题满分12分)
已知函数（且为常数）.
（Ⅰ）讨论函数的极值点个数；
（Ⅱ）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.
上杭一中与永定一中2021－2022学年第一学期高三第一次联考
数学科试卷答案
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.B 2.D 3.C 4.B 5.B 6.D 7.A 8.C
【详解】因为函数在区间上为单调函数，且在上为单调递增函数，所以在上也为单调递增函数，因为在上为单调递减函数，所以，且，即，所以，若函数有两个不同的零点，则函数的图像与直线有两个不同的交点，作出函数的图像与直线，如图：
由图可知，当，即时，符合题意；当，即时，直线与抛物线相切也满足，联立直线与抛物线，消去得，所以，解得，符合.
综上所述：实数的取值范围是.
二 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.AD 10. ACD 11.BD 12.AC
【详解】对于选项A，当时，，则当时，，单调递减；
当时，，单调递增，所以，当时，．
当时，，则当时，，单调递减；
当时，，单调递增，所以，当时，．综上可得，选项A正确．
对于选项B，0是函数的零点，零点不是一个点，所以B说法错误；
对于选项C，，选项C正确．
结合函数的单调性及图像可得：函数有且只有一个零点0，则也有且只有一个零点0；
所以对于选项D，关于的方程有两个不相等的实数根 关于的方程有两个不相等的实数根 关于的方程有一个非零的实数根 函数的图象与直线有一个交点，且，则
当时，，
当变化时，，的变化情况如下：
0
+ 0 0 +
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
极大值，极小值；当时，，
当变化时，，的变化情况如下：
1 2
0 +
e ↘ 极小值 ↗
极小值．综上可得，或，解得的取值范围是，故选项D错。
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 14. 或 15. 16.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.(本题满分10分)
详解：（1）若选择①：设
因为，所以因为，所以（i）.......2分
因为，所以图象的对称轴为
所以（ii）………………….......4分
由（i）（ii）解得，，所以....................................5分
若选择②：设因为，所以
因为，所以（i）
因为方程有两个实数根满足，所以由韦达定理得：（ii）
由（i）（ii）解得，，所以 ....................................5分
若选择③：设，因为，所以
因为，所以（i）
因为，所以，图象的对称轴为，所以（ii）
由（i）（ii）解得，，所以....................................5分
（2）因为三种不同的选择都能得到函数解析式，
所以，即对一切实数恒成立，
等价于对一切实数恒成立，....................................7分
则的图象恒在轴上方，或在轴上，
所以无实根或有两个相等的根，所以，.......9分
故所求实数k的范围为.....................................10分
18.(本题满分12分)
解：（1）在图①中，连接，如图所示：
因为四边形为菱形，，所以是等边三角形.
因为为的中点，所以，.........2分
又，所以.
在图②中，，所以，即....................................4分
因为，所以，.又，，平面.
所以平面.又平面，所以平面平面...................................6分
（2）由（1）知，，.
因为，，平面.所以平面.
以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴，...................................7分
建立如图所示的空间直角坐标系：
则，，，，.
因为为的中点，所以.
所以，.
设平面的一个法向量为，
由得.
令，得，，所以.设平面的...................8分
一个法向量为.
因为，由得
令，，，得，...................................10分
则，所以二面角的余弦值为.........................12分
19.(本题满分12分)
解：（1）设事件表示“甲被企业正式录取”，事件表示“乙被企业正式录取”，事件表示“丙被企业正式录取”，则，，................2分
（1）设事件表示“甲、乙、丙三人都没有被企业正式录取”，
则，................4分
所以甲 乙 丙三人中至少有一人被企业正式录取的概率............6分
（2）的所有可能取值为300，500，700，900，
，
，
，
.................10分
所以的分布列为
300 500 700 900
.................12分
20.(本题满分12分)
解：由函数，得，......................2分
实数，满足，且的最小值为，
, ,......................4分
求函数的单调递减区间，即
，
，.
所以函数的单调递减区间.......................6分
(2) 由的图象向左平移个单位得到函数,
，......................8分
，
，.....................10分
，，
，
的值域为.......................12分
21.(本题满分12分)
解：（1）由，得.利用正弦定理得：，
即，化简得....................2分
，，.又，....................4分
（2）由正弦定理得....................5分
设为边上的中点，则，
解法一：在中，，...................6分
在中，，...................7分
,,
..................8分
由余弦定理，即，....................9分
由三角形面积公式得：....................10分
由得，....................11分
所以周长为.....................12分
解法二：利用向量加法法则得：
两边平方得：，即...................6分
由余弦定理，即，...................7分
两式相减得，即....................8分
由三角形面积公式得：....................10分
由得，....................11分
所以周长为.....................12分
22.(本题满分12分)
解：（Ⅰ）由题设知：的定义域为，.................1分
∵在上恒成立，
∴函数在上单调递增，且值域为.................2分
①当时，在上恒成立，即，故在上单调递增，无极值点； ................3分
②当时，方程有唯一解为，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
∴是函数的极小值点，没有极大值点.
综上，函数只有1个极值点 .................5分
（Ⅱ）不等式对任意的恒成立，即对任意的恒成立，
∴对任意的恒成立.................6分
记，则，
记，则，易知在上恒成立，
∴在上单调递增，且，，
∴存在，使得，且当时，即，
∴函数在上单调递减；................8分
当时，即，故在上单调递增，
∴，即，
又，故，即，即.................10分
由（Ⅰ）知函数在上单调递增，
∴，
∴.综上，实数的取值范围是.................12分