2.6双曲线的几何性质练习题（Word含答案解析）

双曲线的几何性质练习题
1.求与双曲线有相同的离心率且过点P(，1)的双曲线方程.
2.已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为__________；渐近线方程为____________________.
3.求与双曲线有共同渐近线，且过点的双曲线方程.
4.已知双曲线，直线l：，试讨论实数k的取值范围.
(1)直线l与双曲线有两个公共点；
(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；
(3)直线l与双曲线没有公共点.
5.过双曲线的右焦点作一直线交双曲线于A，B两点，且|AB| = 8，则这样的直线共有_______条.
6.求双曲线被点平分的弦PQ所在的直线的方程.
7.已知双曲线方程为，试问：是否存在被点平分的弦？
若存在，求出弦所在的直线方程，若不存在，说明理由.
8.求与双曲线有相同的离心率且过点P(1，)的双曲线方程．
9.关于双曲线与 (k > 0且k ≠ 1)有下列结论：
①有相同的顶点；
②有相同的焦点；
③有相同的离心率；
④有相同的渐近线．
其中正确的是 (填序号)．
10.已知双曲线的离心率为，顶点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为
．
11.已知双曲线与椭圆共焦点，它们的离心率之和为，那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 ．
12.求与双曲线有相同的渐近线，且过点P(1，4)的双曲线的方程．
13.求与双曲线x2－2y2 = 2有公共渐近线，且过点M(2，－2)的双曲线方程．
14.已知点A(0，2)和双曲线．
(1)求过点A可作几条直线与双曲线有且只有一个公共点；
(2)当过点A的直线与双曲线有两个不同的公共点时，求直线的斜率的取值范围；
(3)当过点A的直线与双曲线没有公共点时，求直线的斜率的取值范围．
15.直线l：y=kx+1与双曲线C：x2－y2=1有且只有一个公共点，求k的值．
16.过双曲线的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|=4，则这样的直线l有__________条.
17.过双曲线的左焦点，做垂直于实轴的直线，与双曲线交于A，B两点，则|AB|的长为______.
18.已知直线l与双曲线x2－y2=1交于A、B两点，若线段AB的中点为C（2，1），则直线l的斜率为_____________.
19.已知双曲线的焦点在y轴，实轴长为8，离心率e=，过双曲线的弦AB被点P(4，2)平分；
(1)求双曲线的标准方程；
(2)求弦AB所在直线方程.
20.过点A(2，－1)且被A平分的双曲线的弦所在的直线的方程存在么，若存在请求出；若不存在，说明理由．
21.过定点A（1，1）作直线l与双曲线交于P、Q两点，若A（1，1）是线段PQ的中点，这样的直线存在吗？
双曲线的几何性质习题答案
1..
2.；.
3.
4.当时，直线与双曲线有两个公共点；
当或时，直线与双曲线有且只有一个公共点；
当时，直线与双曲线没有公共点.
5.3
6.
7.不存在，理由如下：
设被平分的弦设，
则所以，
由
8.．
详解：设所求双曲线方程为或(a > 0，b > 0)，
由已知可得所求双曲线的离心率为，故，解得，
当双曲线方程为时，代入点P(1，)，无解；
当双曲线方程为时，代入点P(1，)，解得，
从而，故所求双曲线方程为．
9.③④．
详解：将(k > 0且k ≠ 1)化为标准形式得，
它的顶点为(±4，0)，焦点坐标为F(±5，0)，
离心率为e1 =，渐近线方程为y = ±x；
双曲线的顶点为(±4，0)，焦点为(±5，0)，
离心率为e2 =，渐近线方程为y = ±x．
故答案为③④．
10.(±2，0)；x±3y = 0．
详解：∵椭圆的标准方程为，∴其焦点坐标为(±，0)，
∵双曲线的顶点与椭圆的焦点相同，∴a2 = 3，
又∵双曲线的离心率为，
∴e2 =，∴c2 = 8，又∵c2 = a2+b2，∴b2 = 8－3 = 5，
∴双曲线的标准方程为，
∴双曲线的焦点坐标为(±2，0)，
渐近线方程为y = ±x = ±x，整理得x±3y = 0．
故答案为(±2，0)；x±3y = 0．
11.(±4，0)；y = ±x．
详解：∵c == 4，
∴椭圆的焦点为(±4，0)，即双曲线的焦点为(±4，0)；
设要求的双曲线方程为，又∵椭圆与双曲线的离心率之和为，
∴，解得a = 2，∴b =，
∴双曲线的方程为，
渐近线方程为y = ±x．
故答案为(±4，0)；y = ±x．
12.．
详解：由题意可设要求的双曲线方程为= λ ≠ 0，
把点P(1，4)代入可得1－4 = λ，解得λ = －3，
∴双曲线方程为．
13.．
详解：因为所求双曲线与双曲线x2－2y2 = 2有公共渐近线，
所以设双曲线为x2－2y2 = m，又因为过点M(2，－2)，则4－8 = m，m =－4，
所以所求双曲线方程为x2－2y2 =－4，即．
14.(1) 4条. (2){k| 2＜k＜2且k≠±2}.(3){k|k＜ 2或k＞2}
详解：(1)由题意，直线的斜率存在，设方程为y=kx+2
代入双曲线方程，可得(4－k2)x2－4kx－8=0
①4－k2=0，即k=±2时，方程只有一个解，直线与双曲线有且只有一个公共点；
②4－k2≠0时，△=16k2+32(4－k2)=0，∴k＝±2，
∴过点A可作4条直线与双曲线有且只有一个公共点；
(2)由(1)知，4－k2≠0且△＞0，∴ 2＜k＜2且k≠±2；
(3)由(1)知，4－k2≠0且△＜0，∴k＜ 2或k＞2．
15.k=±1，±．
详解：联立，化为(1－k2)x2－2kx－2=0．
①当1－k2=0时，可得k=±1，此时直线l的方程为y=±x+1，
分别与等轴双曲线的渐近线y=±x平行，此时直线l与双曲线有且只有一个交点，满足题意；
②当1－k2≠0时，由直线与双曲线有且只有一个公共点，可得△=4k2+8(1－k2)=0，解得k＝±．此时满足条件．
综上可得：k=±1，±．
16..3.
详解：∵双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4，
∴当直线与双曲线左右两支各有一个交点时，过双曲线的焦点一定有两条直线使得两交点之间的距离等于4，
当直线与实轴垂直时，有，解得y=±2，
∴此时直线AB的长度是4，即只与右支有交点的弦长为4的线仅有一条．
综上可知有三条直线满足|AB|=4.
17..k.
详解：由于双曲线的左焦点为（，0），则垂直于实轴的直线为
x=，代入双曲线方程得，，解得（k＞0），
故|AB|=k．
18..2.
详解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵A，B在双曲线上，∴x12－y12=1，x22－y22=1，
两式作差可得：x12－x22=y12－y22，即(x1﹣x2)(x1+x2)=(y1﹣y2)(y1+y2)，
∴，
∵线段AB的中点为C(2，1)，∴x1+x2=4，y1+y2=2，
∴．即直线l的斜率为2．
19.(1) .(2) 2x－y－6=0．
详解：(1)∵双曲线的焦点在y轴，∴设双曲线的标准方程为；
∵实轴长为8，离心率e=，
∴ a=4 c=4，∴b2=c2－a2=16．
或∵实轴长为8，离心率e=，
∴双曲线为等轴双曲线，a=b=4．
∴双曲线的标准方程为；
(2)∵双曲线焦点在y轴，且，∴点P在双曲线的内侧，∴直线一定存在且斜率不为零.
设弦AB所在直线方程为y－2=k(x－4)，A，B的坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)．
∴k=＝，=4=2；
∴ ，
代入x1+x2=8，y1+y2=4，得，
∴，∴，∴k=2；
所以弦AB所在直线方程为y－2=2(x－4)，即2x－y－6=0．
20..不存在，理由见详解.
详解：假设存在，两个交点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)
所以，两式相减得，
所以直线的方程为x+2y=0，
由，整理得0=1，所以不存在．
21..不存在.
详解：假设存在，设直线方程为y=k（x﹣1）+1
两个交点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)
则.两式相减得.
∵A（1，1）是线段PQ的中点，
∴.
∴，所以直线方程是y=2x﹣1.
∵将点A（1，1）代入双曲线方程得，∴点A在双曲线外侧，
联立，整理得，
判别式，所以直线不存在.