24.1.2垂直于线的直径-同步练习 2021-2022学年人教版九年级数学上册（Word版含解析）

2021-2022学年九年级数学上册（人教版）教材同步
24.1.2垂直于线的直径-同步练习
时间：60分钟
一、单选题
1．如图，半圆的直径，为圆心，为的中点，，交于点，则弦的长为（ ）
A． B． C． D．
2．已知的半径为，弦，则和的距离为（ ）
A． B． C．或 D．或
3．下列说法正确的是（ ）
A．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧 B．平分弦的直径垂直于弦
C．垂直于直径的弦平分这条直径 D．弦的垂直平分线经过圆心
4．下列说法中错误的有（ ）
①过弦的中点的直线平分弦所对的两条弧；
②弦的垂线平分它所对的两条弧；
③过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧；
④平分不是直径的弦的直径平分弦所对的两条弧．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图所示,点M是半径为5的内一点,且OM=3,在过点M的所有的弦中,弦长为整数的弦的条数为（　　 ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．如图，AB是所对的弦，AB的垂直平分线CD分别交于C，交AB于D，AD的垂直平分线EF分别交于E，交AB于F，DB的垂直平分线GH分别交于G，交AB于H，下列结论中不正确的是（ ）
A． B． C． D．EF=GH
7．如图，AB是⊙O的弦，OD⊥AB于D交⊙O于E，则下列说法错误的是( )
A．AD=BD B．∠ACB=∠AOE C．弧AE=弧BE D．OD=DE
8．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”此问题即：“如图所示，CD垂直平分弦AB，CD=1寸，AB=10寸，求圆的直径”（1尺=10寸）根据题意直径长为（　　）
A．10寸 B．20寸
C．13寸 D．26寸
二、填空题
9．如图是由两个长方形组成的工件平面图（单位：mm），直线l是它的对称轴，若HG=60，AB=80，GF=50，CB=20，能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是__________mm．
10．如图，在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ，当点P在BC上移动时，则PQ长的最大值为__________．
11．如图，半圆形纸片AMB的半径为1 cm，用如图所示的方法将纸片对折，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则折痕CD的长为________ .
12．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积（弦×矢+矢2）．孤田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，运用垂径定理（当半径⊥弦时，平分）可以求解．现已知弦米，半径等于5米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为_____平方米．
13．如图是一条直径为2米的圆形污水管道横截面，其水面宽1.6米，则此时污水的最大深度为________米．
14．如图，是的弦，长为8，是上一个动点（不与、重合），过点作于点，于点，则的长为________．
15．如图，、是半径为5的的两条弦，，，是直 径，于点，于点，为上的任意一点，则的最小值为____.
16．如图，在⊙O中，如果，那么AB=_____，∠AOB=∠______，若OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，则OE ______OF。
三、解答题
17．已知：如图，试用尺规将它四等分．
18．如图，所在的直线垂直平分线段，利用这样的工具，最少使用多少次，就可以找到圆形工件的圆心？为什么？
19．一辆卡车裝满货物后，它的高比宽多，且恰好通过如图所示的隧道（上部为半圆形）．卡车有多高？（结果精确到）
20．如图，，是的两条弦，，垂足为点，，，，，求的半径．
21．如图，已知⊙O的直径d=10，弦AB与弦CD平行，它们之间的距离为7，且AB=6，求弦CD的长．
22．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．
求证：AC=BD．
23．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD，BD，CD，求证：AD＝CD．
24．赵州桥如图是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为，拱高（弧的中点到弦的距离）为，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
1．A
【解析】解：如图所示，连接，
∵，，
∴，
∴，即．
∵，
∴，
∵为的中点，
∴，
在中，，，
∴，
∴．
故选A．
2．C
【解析】解：如图1，
当、在圆心的同侧时，连接、，过作于，交于，
，
，
，，
，，
，
，
，
；
如图2，当、在圆心的异侧时，连接、，过作于，反向延长交于，
，
，
，，
，，
，
，
，
；
故选：．
3．D
【解析】解：A．垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，所以A选项错误；
B．平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以B选项错误；
C．垂直于直径的弦被这条直径平分，所以C选项错误；
D．弦的垂直平分线经过圆心，所以D选项正确．
故选D．
4．C
【解析】①中若直线与弦不垂直，则结论不成立；
②若垂线不是直径，则结论不成立；
③若所过的弦中点故选：C所在的弦本身就是直径，则结论不成立．
故①②③都不正确，④正确．
故选：C
5．C
【解析】如图,OM⊥AB,那么AB是过M的最短的弦,过M的最长的弦是圆的直径,
在Rt△AMO中,AM=AB，OA=5，OM=3，
∴AM=4，
∴AB=8，
∴过M所有O的弦中，最短的弦长度为8，最长的弦长度为10，
∴弦的长度可以分别为8、9、10，
当弦长为8、10时，过M点的弦分别为弦AB和过M点的直径，分别有一条；
而圆是轴对称图形，当弦长为9时，根据圆的对称性知，符合条件的弦应该有两条；
∴弦长为整数的弦的条数为4，一条长度8，一条长度为10，两条长度为9.
故选C.
6．C
【解析】作出圆心O，连接OE、OG，过O作MN∥FH交EF于M，交GH于N．
∵AB的中垂线CD分别交弧AB于C，∴弧AC=弧CB，故A正确；
∵FH⊥EF，FH⊥GH，CD⊥FH，∴EF∥GH∥CD，∴∠MEO=∠EOC，∠NGO=∠GOC．
∵MN∥FH，∴∠EMO=∠GNO=90°，∠EMO=∠MFD=∠FDO=90°，∴四边形FDOM是矩形，∴FM=DO，FD=MO．
同理可证：OD=HN，DH=ON．
∴FM=DO=HN．
∵FD=AD=DB=DH，∴MO=NO．
∵EO=GO，∴Rt△EMO≌Rt△GNO，∴EM=GN，∠MEO=∠NGO．
∵FM=DO=HN，EF=GH，故D正确；
∵∠MEO=∠EOC，∠NGO=∠GOC，∠MEO=∠NGO，∴∠EOC=∠GOC，∴弧EC=弧CG，故B正确；
过E作EP⊥CD于P，连接EC，AE，ED．
∵EF是AD的中垂线，∴AE=ED．
下面证明一般情况下，EC≠ED．
假设EC=ED．
∵EP⊥CD，∴CP=PD．
易证四边形EFDP是矩形，∴PD=EF，∴CD=2EF，从已知不能得出这个结论．故EC=ED是错误的，∴EC≠ED，∴AE≠EC，∴弧AE≠弧EC，故C错误．
故选C．
7．D
【解析】∵OD⊥AB，∴由垂径定理知,点D是AB的中点,有AD＝BD,＝，∴△AOB是等腰三角形，OD是∠AOB的平分线，有∠AOE＝12∠AOB，由圆周角定理知,∠C＝12∠AOB，∴∠ACB＝∠AOE，故A、 B、C正确，而点D不一定是OE的中点，故错误.故选D.
8．D
【解析】解：连接OD，OA，
∵CD垂直平分弦AB，CD＝1寸，AB＝10寸，
∴AD＝5寸，
在Rt△OAD中，OA2＝OD2＋AD2，
即OA2＝（OA 1）2＋52，
解得：OA＝13，
故圆的直径为26寸，
故选D．
9．50
【解析】如图，设圆心为O，连接AO，CO，
∵直线l是它的对称轴，
∴CM=30，AN=40，
∵CM2+OM2=AN2+ON2，
∴302+OM2=402+（70-OM）2，
解得：OM=40，
∴OC==50，
∴能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是50mm．
故答案为50．
10．
【解析】如图3，连接OQ，∵在⊙O中，直径AB＝6，OP⊥PQ，
∴OQ=OB=3，∠OPQ=90°，
∴PQ=，
∴当OP最短时，PQ就最长.
∵点O是定点，点P是线段BC上的动点，
∴如图4，当OP⊥BC于点P时，OP最短，此时，点Q与点C重合，
∵OP⊥BC，∠ABC=30°，
∴OP=OB=，
∴此时，PQ=.
即PQ的最长值为：.
11．cm
【解析】作MO交CD于E，则MO⊥CD，连接CO，
对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，
则ME=OE=OC，
在直角三角形COE中，CE=，
折痕CD的长为2×=（cm）．
故答案为cm
12．10
【解析】解：∵弦米，半径弦，
∴，
∴，
∴，
∴弧田面积（弦×矢+矢2），
故答案为10
13．0.4
【解析】如图，连接，过点作于点，
∵，米，
∴（米），
∵圆形污水管道的直径为2米，
∴米，
在中，根据勾股定理得，（米），
∴（米）．
故答案是0.4．
14．4
【解析】解：∵，，
∴，，
∴是的中位线，
∴．
故答案为：4．
15．.
【解析】连接OA，OB，OC，作CH垂直于AB于H．
根据垂径定理，得到BE=
∴CH=OE+OF=3+4=7，
BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7，
在直角△BCH中根据勾股定理得到BC=7，
则PA+PC的最小值为7．
16．CD COD =
【解析】∵=，
∴AB=CD，∠AOB=∠DOC，
∵AO=DO，BO=CO，∠AOB=∠DOC，
∴△AOB≌△DOC，
∵OE、OF均为对应边上的高，
∴OE=OF.
17．见解析
【解析】解：如图所示，点、、把四等分．
18．最少用2次，见解析
【解析】解：如图所示，根据垂径定理的推论，两个直径的交点即为圆心．
故最少使用2次就可以找到圆形工件的圆心．
19．约
【解析】解：设该卡车的宽是x米，高是（x+2）米．
如图，设半圆O的半径为R，则R=2.5米，
作弦EF∥AD，且EF=x米，OH⊥EF于H，
连接OF，
由OH⊥EF，得HF=x米，
在Rt△OHF中，米，
则OH+4=x+2，即+4=x+2，
整理得 5x2-16x-9=0，
解得 （舍去），
则该卡车的高度为：（米）．
答：卡车的高度大约是5.7m．
20．的半径为
【解析】解：如图，作于，于，连接，
则，，
∵，，，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
在中，，即的半径为．
21．8
【解析】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OA、OC，
则
∵AB∥CD，
∴点M、O、N在同一条直线上，
在Rt△AOM中，
∴ON=MN﹣OM=3，
在Rt△CON中，
∵ON⊥CD，
∴CD=2CN=8．
22．证明见解析.
【解析】过O作OE⊥AB于点E，
则CE=DE，AE=BE，
∴BE-DE=AE-CE.
即AC=BD.
23．详见解析.
【解析】证明:连接OC，
∵OD∥BC，
∴∠ODB＝∠CBD，
又OB＝OD，
∴∠ODB＝∠OBD，
∴∠OBD＝∠CBD,
∵∠AOD＝2∠OBD，∠DOC＝2∠CBD,
∴∠AOD＝∠DOC，
∴AD＝CD．
24．27.3m
【解析】解：如图，用表示主桥拱，设所在圆的圆心为O，半径为R，经过圆心O作弦的垂线为垂足，与相交于点C，连接，根据垂径定理，D是的中点，C是的中点，就是拱高，
由题设可知，
所以，
，
在中，由勾股定理，得，
即，
解得．
因此，赵州桥的主桥拱半径约为．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页