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【双减-同步分层作业】人教七上4.3.2角的比较与运算
知识梳理
1.角度制及其换算
角的度量单位是 ，把一个周角平均分成 等份，每一份就是 的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做 ．
1周角＝ ，1平角＝ ，1°＝ ，1′＝ ．
2.角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．
方法1：度量比较法．先用 量出角的度数，然后比较它们的大小．
方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．
如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．
3.角的和、差关系
如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2．
4.角平分线
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个 ．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，
∠AOC＝∠BOC =∠AOB．
夯实基础（必做题）
一、选择题
1．如图，用量角器度量，可以读出的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如果OC是∠AOB的平分线，则下列结论不正确的是（ ）
A．∠AOC=∠BOC B．2∠AOC=∠AOB C．∠AOB=2∠BOC D．∠AOB=∠AOC
3．用一副三角板画角，不能画出的角是 ( )
A．15° B．75° C．145° D．165°
4．若∠1=20°18′，∠2=20°15′30′′，∠3=20.25°，则（ ）
A．∠1＞∠2＞∠3 B．∠2＞∠1＞∠3 C．∠1＞∠3＞∠2 D．∠3＞∠1＞∠2
5．下列说法：①若C是AB的中点，则AC＝BC；②若AC＝BC，则点C是AB的中点；③若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC＝∠AOB；④若∠AOC＝∠AOB，则OC是∠AOB的平分线，其中正确的有（ ）
A．1个 B．3个 C．2个 D．4个
6．按图1～图4的步骤作图，下列结论错误的是（ ）
A．∠AOB＝∠AOP B．∠AOP＝∠BOP
C．2∠BOP＝∠AOB D．∠BOP＝2∠AOP
7．如图，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠AOC且∠AOC=80°，则∠BOE的度数为（ ）
A．140° B．100° C．150° D．40°
8．如图，已知∠AOB=α，∠BOC=β，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，则∠MON的度数是（ ）
A．β B．（α﹣β） C．α D．α﹣β
二、填空题
9．计算的结果为__________．
10．如图所示，，若，则的度数为____．
11．如图，OC是∠AOB的平分线，如果∠AOB＝130°，∠BOD＝25°，那么∠COD＝________________°．
三、解答题
12．如图，已知∠AOB=120°，∠COD是∠AOB内的一个角，且∠COD=40°，OE是∠AOC的平分线，OF是∠BOD的平分线，求∠EOF的度数．
13．如图①，已知线段AB＝12cm，点C为AB上的一个动点，点D，E分别是AC和BC的中点．
（1）若AC＝4cm，求DE的长．
（2）若AC＝acm（不超过12cm），求DE的长．
（3）知识迁移：如图②，已知∠AOB＝120°，过角的内部任意一点C画射线OC，若OD，OE分别平分∠AOC和∠BOC，求∠DOE的度数．
能力提升（选做题）
1．如图,∠AOB=∠COD,若∠AOD=110°,∠BOC=70°,则以下结论正确的有( )
①∠AOC=∠BOD=90°;②∠AOB=20°;③∠AOB=∠AOD-∠AOC;④∠AOB=∠BOD．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图,将长方形纸片ABCD的∠C沿着GF折叠(点F在BC上,不与B,C重合),使点C落在长方形内部的点E处,若FH平分∠BFE,则∠GFH的度数是____.
3．以∠AOB的顶点O为端点引射线OP，使∠AOP：∠BOP＝3：2，若∠AOB＝17°，∠AOP
的度数为 ．
4．（1）如图，点，在线段上，点为线段BC的中点，若，，求线段的长．
（2）如图，已知，平分，且，求 的度数．
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【双减-同步分层作业】人教七上4.3.2角的比较与运算
知识梳理
1.角度制及其换算
角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．
1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．
2.角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．
方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．
方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．
如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．
3.角的和、差关系
如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2．
4.角平分线
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，
∠AOC＝∠BOC =∠AOB．
夯实基础（必做题）
一、选择题
1．如图，用量角器度量，可以读出的度数为（ ）
A． B． C． D．
解：∵OA指向O刻度，OB指向120°
∴由图形所示，∠AOB的度数为120°，
故选：C．
2．如果OC是∠AOB的平分线，则下列结论不正确的是（ ）
A．∠AOC=∠BOC B．2∠AOC=∠AOB C．∠AOB=2∠BOC D．∠AOB=∠AOC
解：如图所示，
∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠AOC=∠BOC，故A正确；
∴2∠BOC=2∠AOC=∠AOB，故B，C正确；
∴∠AOB=2∠AOC，故D错误．
故选D．
3．用一副三角板画角，不能画出的角是 ( )
A．15° B．75° C．145° D．165°
解：A．15°的角，60°﹣45°＝15°；故本选项不符合题意；
B．75°的角，45°+30°＝75°；故本选项不符合题意；
C．145°的角，无法用三角板中角的度数拼出；故本选项符合题意；
D．165°的角，90°+45°+30°＝165°；故本选项不符合题意．
故选C．
4．若∠1=20°18′，∠2=20°15′30′′，∠3=20.25°，则（ ）
A．∠1＞∠2＞∠3 B．∠2＞∠1＞∠3 C．∠1＞∠3＞∠2 D．∠3＞∠1＞∠2
解：∵∠1=20°18′，∠2=20°15′30〞，∠3=20.25°=20°15′，
∴∠1＞∠2＞∠3．
故选：A．
5．下列说法：①若C是AB的中点，则AC＝BC；②若AC＝BC，则点C是AB的中点；③若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC＝∠AOB；④若∠AOC＝∠AOB，则OC是∠AOB的平分线，其中正确的有（ ）
A．1个 B．3个 C．2个 D．4个
解：①若C是AB的中点，则AC＝BC，该说法正确；
②若AC＝BC，则点C不一定是AB的中点，该说法错误；
③若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC＝∠AOB，该说法正确；
④若∠AOC＝∠AOB，则OC不一定是∠AOB的平分线，该说法错误；
故选：C．
6．按图1～图4的步骤作图，下列结论错误的是（ ）
A．∠AOB＝∠AOP B．∠AOP＝∠BOP
C．2∠BOP＝∠AOB D．∠BOP＝2∠AOP
解：∵OP是∠AOB的平分线，
∴∠AOB＝2∠AOP＝2∠BOP，
∠AOP＝∠BOP＝∠AOB，
∴选项A、B、C均正确，选项D错误．
故选：D．
7．如图，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠AOC且∠AOC=80°，则∠BOE的度数为（ ）
A．140° B．100° C．150° D．40°
解：∵∠AOC=80°，
∴∠BOC=180°-80°=100°
又∵OE平分∠BOD，
∴∠COE=40°
∴∠BOE=∠BOC+∠COE=100°+40°=140°
故选A．
8．如图，已知∠AOB=α，∠BOC=β，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，则∠MON的度数是（ ）
A．β B．（α﹣β） C．α D．α﹣β
解：∵∠AOB=α，∠BOC=β，
∴∠AOC=α+β，
∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，
∴∠NOC= ∠BOC= β，∠MOC= ∠AOC= (α+β)，
∴∠MON=∠MOC-∠NOC= (α+β) = ，
故选：C．
二、填空题
9．计算的结果为__________．
解：
故答案为：．
10．如图所示，，若，则的度数为____．
解：
故答案为：．
11．如图，OC是∠AOB的平分线，如果∠AOB＝130°，∠BOD＝25°，那么∠COD＝________________°．
解：根据角平分线的性质可得：∠BOC=∠AOB=130°÷2=65°，则∠COD=∠BOC-∠BOD=65°-25°=40°．
三、解答题
12．如图，已知∠AOB=120°，∠COD是∠AOB内的一个角，且∠COD=40°，OE是∠AOC的平分线，OF是∠BOD的平分线，求∠EOF的度数．
解：∵∠AOB=120°，∠COD=40°，
∴∠AOC+∠BOD=∠AOB﹣∠COD=80°，
∵OE是∠AOC的平分线，OF是∠BOD的平分线，
∴∠DOF=∠BOD，∠COE=∠AOC，
∴∠DOF+∠COE=80°=40°，
∴∠EOF=∠DOF+∠COE+∠COD=40°+40°=80°．
13．如图①，已知线段AB＝12cm，点C为AB上的一个动点，点D，E分别是AC和BC的中点．
（1）若AC＝4cm，求DE的长．
（2）若AC＝acm（不超过12cm），求DE的长．
（3）知识迁移：如图②，已知∠AOB＝120°，过角的内部任意一点C画射线OC，若OD，OE分别平分∠AOC和∠BOC，求∠DOE的度数．
解：（1）∵AB＝12cm，AC＝4cm，
∴BC＝8cm，
又∵D，E分别是AC和BC的中点，
∴CD＝2cm，CE＝4cm，
∴DE＝6cm；
（2）∵AB＝12cm，AC＝acm，
∴BC＝（12﹣a）cm，
又∵D，E分别是AC和BC的中点，
∴CD＝cm，CE＝（12﹣a）cm，
∴DE＝a+6﹣a＝6cm；
（3）∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，
∴∠DOE＝∠DOC+∠COE＝（∠AOC+∠COB）＝∠AOB，
∵∠AOB＝120°，
∴∠DOE＝60°．
能力提升（选做题）
1．如图,∠AOB=∠COD,若∠AOD=110°,∠BOC=70°,则以下结论正确的有( )
①∠AOC=∠BOD=90°;②∠AOB=20°;③∠AOB=∠AOD-∠AOC;④∠AOB=∠BOD．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：如图，
∵∠AOB=∠COD，∠AOD=110°，∠BOC=70°，
∴∠AOD=∠BOC+2∠COD=70°+2∠COD=110°，则∠AOB=∠COD=20°．
①∵∠AOB=∠COD，
∴∠BOC+∠AOB=∠BOC+∠COD=90°，即∠AOC=∠BOD=90°，故①正确；
②∠AOB=∠COD=20°．故②正确；
③由①知，∠AOC=∠BOD=90°，
∴∠AOB=∠AOD-∠BOD=∠AOD-∠AOC，
故③正确；
④∵∠AOB=20°，∠BOD=90°，
∴∠AOB=∠BOD．
故④错误．
综上所述，正确的结论有3个．
故选C．
2．如图,将长方形纸片ABCD的∠C沿着GF折叠(点F在BC上,不与B,C重合),使点C落在长方形内部的点E处,若FH平分∠BFE,则∠GFH的度数是____.
解：∵将长方形纸片ABCD的角C沿着GF折叠（点F在BC上，不与B，C重合），使点C落在长方形内部点E处，
∴∠CFG=∠EFG=∠CFE，
∵FH平分∠BFE，
∴∠HFE=∠BFE，
∴∠GFH=∠GFE+∠HFE=（∠CFE+∠BFE）=×180°=90°，
故答案为90°．
3．以∠AOB的顶点O为端点引射线OP，使∠AOP：∠BOP＝3：2，若∠AOB＝17°，∠AOP
的度数为 ．
解：如图1，当射线OP在∠AOB的内部时，设∠AOP＝3x，则∠BOP＝2x，
∵∠AOB＝∠AOP+∠BOP＝5x＝17°，
解得：x＝3.4°，
则∠AOP＝10.2°；
如图2，当射线OP在∠AOB的外部时，设∠AOP＝3x，则∠BOP＝2x，
∵∠AOP＝∠AOB+∠BOP，
又∵∠AOB＝17°，
∴3x＝17°+2x，
解得：x＝17°，
则∠AOP＝51°．
故∠AOP的度数为10.2°或51°．
故答案为：10.2°或51°．
4．（1）如图，点，在线段上，点为线段BC的中点，若，，求线段的长．
（2）如图，已知，平分，且，求 的度数．
解：（1）∵D为BC的中点，
∴CD=BD=8cm，
∵AC=3cm，
∴AB=AC+CD+BD=3+8+8=19 cm；
（2）∵∠COB=4∠AOC，OD平分∠AOB，
∴设∠AOC=，则∠COB=4∠AOC=，∠AOB=∠AOC+∠COB=，∠AOD=∠AOB =，
∵∠COD=，
∴∠AOD-∠AOC=，即，
解得：，
∴∠AOB=．
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