2021-2022学年九年级下册苏科版数学5.2二次函数的图像和性质培优靶向训练（word版含解析）

5.2二次函数的图像和性质培优
考点一：二次函数的图像与系数
如图，抛物线的对称轴是，下列结论：
；；；，
正确的有
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
如图，已知抛物线的对称轴为直线有下列结论： 其中结论正确的个数是
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点下列结论：，，，，其中正确的结论个数为
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二次函数的图象如图所示，下列结论：
；；；当时，随的增大而减小．
其中正确的有
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给以下结论：；
；
；
为实数；
．
其中错误结论的个数有
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
如图，二次函数的图象经过点，其对称轴为直线，有下列结论：；；；；若，是抛物线上两点，且，则实数的取值范围是其中正确结论的个数是
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
考点二：二次函数的图像与其他函数图像共存
在同一坐标中，一次函数与二次函数的图象可能是
A. B.
C. D.
在同一平面直角坐标系内，二次函数与一次函数的图象可能是
A. B.
C. D.
如图，二次函数的图像开口向下，且经过第三象限的点若点的横坐标为，则一次函数的图像大致是
A. B.
C. D.
二次函数与一次函数在同一坐标系内的图象可能是图所示的
A. B. C. D.
一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是
A. B. C. D.
在同一坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是
A. B.
C. D.
考点三：二次函数的最值
已知抛物线，当时，对应的函数值的最大值是，则的值是_____．
已知二次函数 其中是常数，是自变量，当时，随的增大而增大，且时，的最大值为，则的值为______．
如图，是抛物线在第一象限上的点，过点分别向轴和轴引垂线，垂足分别为，，则四边形周长的最大值为______．
已知二次函数的最小值为，则的值为______．
若二次函数的最小值是，则它的图象与轴的交点坐标是______．
对于二次函数，有下列说法：
如果，则有最小值；
如果，当时随的增大而减小，则；
如果当时的函数值与时的函数值相等，则当时的函数值为；
如果该二次函数有最小值，则的最大值为．
其中正确的说法是__把你认为正确的结论的序号都填上
考点四：二次函数的图像上点的坐标特征
在平面直角坐标系中，已知抛物线为常数．
若抛物线经过点，求的值；
若抛物线经过点和点，且，求的取值范围；
若将抛物线向右平移个单位长度得到新抛物线，当时，新抛物线对应的函数有最小值，求的值．
在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，将点向右平移个单位长度，得到点，点在抛物线上．
求点的坐标用含的式子表示；
求抛物线的对称轴；
已知点，若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围．
在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，抛物线经过点，将点向右平移个单位长度，得到点．
求点的坐标；
求抛物线的对称轴；
若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围．
已知抛物线的对称轴为直线．
求的值；
若点，都在此抛物线上，且，比较与的大小，并说明理由；
设直线与抛物线交于点、，与抛物线交于点，，求线段与线段的长度之比．
如图：已知直线与二次函数的图象交于、两点，与轴、轴交于点、．
求点、的坐标；
求的面积；
试判断的形状并证明．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键．
根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点判定系数符号及运用一些特殊点解答问题．
【解答】
解：由抛物线的开口向下可得：，
根据抛物线的对称轴在轴右边可得：，异号，所以，
根据抛物线与轴的交点在正半轴可得：，
，故错误；
抛物线与轴有两个交点，
，故正确；
直线是抛物线的对称轴，所以，可得，
由图象可知，当时，，即，
，
即，故正确；
由图象可知，当时，；当时，，
两式相加得，，故正确；
结论正确的是，个，
故选：．
2.【答案】
【解析】解：抛物线与轴有个交点，
，
所以错误；
抛物线开口向上，
，
抛物线的对称轴在轴的左侧，
、同号，
，
抛物线与轴交点在轴上方，
，
，
所以正确；
时，，
即，
对称轴为直线，
，
，
，即，
所以正确；
抛物线的对称轴为直线，
和时的函数值相等，即时，，
，
，
所以正确．
所以本题正确的有：，三个，
故选：．
利用抛物线与轴有个交点和判别式的意义对进行判断；
由抛物线开口方向得到，由抛物线对称轴位置确定，由抛物线与轴交点位置得到，则可作判断；
利用时，然后把代入可判断；
利用抛物线的对称性得到和时的函数值相等，即时，，则可进行判断．
本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，通过开口方向、对称轴、与坐标轴的交点确定系数和判别式的符号是解题的关键，解答时，注意数形结合思想的灵活运用．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查抛物线与轴的交点坐标，二次函数图象与函数系数之间的关系，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系．
由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴求出与的关系．
【解答】
解：由抛物线的开口向上知，
对称轴位于轴的右侧，
．
抛物线与轴交于负半轴，
，
，故错误；
对称轴为，得，即，故错误；
当时，，，故正确；
当时，，
，即故正确．
综上所述，有个结论正确．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：抛物线开口向上，且与轴交于负半轴，
，，
，结论正确；
抛物线对称轴为直线，
，
，
抛物线经过点，
，
，即，结论正确；
抛物线与轴由两个交点，
，即，结论正确；
抛物线开口向上，且抛物线对称轴为直线，
当时，随的增大而减小，结论错误；
故选：．
二次函数图象与系数的关系以及二次函数的性质，逐一分析判断即可．
本题主要考查抛物线与轴的交点坐标，二次函数图象与函数系数之间的关系，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系．
5.【答案】
【解析】解：由抛物线可知：，，
对称轴，
，
，故正确；
由对称轴可知：，
，
时，，
，
，故正确；
关于的对称点为，
时，，故正确；
当时，的最小值为，
时，，
，
即，故错误；
抛物线与轴有两个交点，
，
即，
，故正确；
故选：．
由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
6.【答案】
【解析】解：观察图象可知：
，，，，
正确；
当时，，即，
错误；
对称轴，即
得，
当时，，
即，
即，
．
正确；
因为抛物线与轴有两个交点，
所以，即，
．
错误；
关于直线的对称点的坐标是，
当时，．
正确．
故选：．
关键图象的开口方向、对称轴、图象与轴的交点即可判断；
根据图象当时，即可判断；
根据对称轴方程得与的关系，再根据图象当时，即可判断；
根据图象与轴有两个交点，即可判断；
根据图象对称轴左侧随最大而减小即可判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是综合运用二次函数的相关知识．
7.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了二次函数及一次函数的图象与系数的关系，用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与轴交点的纵坐标．
根据一次函数和二次函数的解析式可得一次函数与轴的交点为，二次函数的开口向上，据此判断二次函数的图象．
【解答】
解：由二次函数可知，抛物线开口向上，故B选项不正确；
由一次函数可知，直线与轴的交点为，故D选项不正确；
选项和选项的二次函数的顶点在轴负半轴上，，
当时一次函数经过一、二、三象限，因此选项正确，选项不正确．
故选：．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，根据、的正负确定一次函数图象经过的象限是解题的关键．根据二次函数图象的开口以及对称轴与轴的关系即可得出、的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．
【解答】
解：二次函数图象开口向上，对称轴在轴右侧，
，，
一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于轴负半轴的同一点，
故A错误；
B.二次函数图象开口向下，对称轴在轴左侧，
，，
一次函数图象应该过第二、三、四象限，且与二次函数交于轴负半轴的同一点，
故B错误；
C.二次函数图象开口向上，对称轴在轴右侧，
，，
一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于轴负半轴的同一点，
故C正确；
二次函数图象开口向上，对称轴在轴右侧，
，，
一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于轴负半轴的同一点，
故D错误；
故选C．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用函数的思想解答．根据二次函数的图象可以判断、、的正负情况，从而可以得到一次函数经过哪几个象限，本题得以解决．
【解答】
解：由二次函数的图象可知，
，，
当时，，
的图象在第二、三、四象限，
故选：．
10.【答案】
【解析】解：、由抛物线可知，，由直线可知，，错误；
B、由抛物线可知，，由直线可知，，错误；
C、由抛物线可知，，由直线可知，，，错误；
D、由抛物线可知，，过点，由直线可知，，过点，正确．
故选D．
此题主要考查了一次函数图象与二次函数图象有关知识，本题可先由二次函数图象得到字母系数的正负，再与一次函数的图象相比较看是否一致，逐一排除．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查二次函数和一次函数的图象与系数的关系，解题的关键是明确一次函数和二次函数的性质．
先由二次函数的图象得到字母系数的正负，再与一次函数的图象相比较看是否一致．
【解答】
解：、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故本选项错误；
B、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故本选项正确；
C、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故本选项错误；
D、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故本选项错误．
故选：．
12.【答案】
【解析】解：由方程组得，
，该方程无实数根，
故二次函数与一次函数图象无交点，排除．
：二次函数开口向上，说明，对称轴在轴右侧，则；但是一次函数为一次项系数，图象显示从左向右上升，，两者矛盾，故A错；
：二次函数开口向上，说明，对称轴在轴右侧，则；为一次函数的一次项系数，图象显示从左向右下降，，两者相符，故C正确；
：二次函数的图象应过原点，此选项不符，故D错．
故选：．
直线与抛物线联立解方程组，若有解，则图象由交点，若无解，则图象无交点；
根据二次函数的对称轴在左侧，，同号，对称轴在轴右侧，异号，以及当大于时开口向上，当小于时开口向下，来分析二次函数；同时在假定二次函数图象正确的前提下，根据一次函数的一次项系数为正，图象从左向右逐渐上升，一次项系数为负，图象从左向右逐渐下降；一次函数的常数项为正，交轴于正半轴，常数项为负，交轴于负半轴．如此分析下来，二次函数与一次函数无矛盾者为正确答案．
本题考查的是同一坐标系中二次函数与一次函数的图象问题，必须明确二次函数的开口方向与的正负的关系，，的符号与对称轴的位置关系，并结合一次函数图象得相关性质进行分析，本题中等难度偏上．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数的最值：确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，根据二次函数的增减性，即可求出最值．
先求出抛物线的对称轴方程为，讨论：若；；，种情况下对应的最大值，得到关于的方程，解方程确定满足条件的的值即可．
【解答】
解：抛物线的对称轴为直线，
当，即时，则，随的增大而减小，即时，，所以，解得舍；
当，即时，则，所以时，，所以，解得，舍去；
当，即时，则，随的增大而增大，即时，，所以，解得舍；
综上所述，的值为．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标是 ， ，对称轴直线 ，二次函数的图象具有如下性质：当时，抛物线的开口向上， 时，随的增大而减小； 时，随的增大而增大； 时，取得最小值 ，即顶点是抛物线的最低点．当时，抛物线的开口向下， 时，随的增大而增大； 时，随的增大而减小； 时，取得最大值 ，即顶点是抛物线的最高点先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向上，然后由时，的最大值为，可得时，，即可求出．
【解答】
解：二次函数其中是自变量，
对称轴是直线 ，
当时，随的增大而增大，
，
时，的最大值为，
时，，
，
，或不合题意舍去．
故答案为．
15.【答案】
【解析】解：，
当时，即，
解得或
故设，
．
当时，，．
即四边形周长的最大值为．
故答案是：．
设，根据矩形的周长公式得到根据二次函数的性质来求最值即可．
本题考查了二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标特征．求二次函数的最大小值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．本题采用了配方法．
16.【答案】
【解析】解：二次函数有最小值，
，
，
整理，得，
解得或，
，
．
故答案为．
根据题意：二次函数的最小值是，则判断二次函数的系数大于，再根据公式列出关于的一元二次方程，解得的值即可．
本题主要考查二次函数的最值的知识点，求二次函数的最大小值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次项系数的绝对值是较小的整数时，用配方法较好．
17.【答案】
【解析】解：二次函数的最小值是，
，
解得，
图象与轴的交点坐标是，
故答案为．
根据二次函数最大小值的求法，利用公式法直接求得的值，即可求得图象与轴的交点坐标．
本题考查了二次函数的最值，求二次函数的最大小值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．
18.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数的性质、二次函数的图象，综合性较强，体现了二次函数的特点．
化成顶点式即可解答
找到二次函数的对称轴，再判断函数的增减性
先求出对称轴为，根据坐标的对称性得出当时与时的函数值相等，即可判断；
得到，根据二次函数的性质即可解答．
【解答】
解：如果，则二次函数为，
有最小值，故错误；
如果，当时随的增大而减小，
函数的对称轴在直线的右侧包括与直线重合，
解得，
，故正确；
当时的函数值与时的函数值相等，
对称轴为，
当时与时的函数值相等，当时，，故正确．
如果该二次函数有最小值，则且，
，
即有最大值为，故正确，
故正确的说法有
故答案为．
19.【答案】解：把点代入抛物线，得
，
解得；
把点代入抛物线，得
，
把点代入抛物线，得
，
，
，
解得；
抛物线解析式配方得
将抛物线向右平移个单位长度得到新解析式为
当时，对应的抛物线部分位于对称轴右侧，随的增大而增大，
时，，
，解得，都不合题意，舍去；
当时，，
，解得；
当时，对应的抛物线部分位于对称轴左侧，随的增大而减小，
时，，
，解得，舍去
综上，或．
【解析】本题为二次函数综合题，考查了二次函数图像上点的坐标特征，二次函数图象性质及二次函数图象平移．解答时注意用表示顶点．
把点坐标代入解析式即可；
分别把点和点代入函数解析式，表示、利用条件构造关于的不等式；
根据平移得到新抛物线，分类讨论求出抛物线的最小值，找到最小值求．
20.【答案】解：
点向右平移个单位长度，得到点；
与关于对称轴直线对称，
抛物线对称轴直线；
对称轴直线，
，
，
时，，如图，
根据图象可得函数与线段无交点；
时，，如图，
抛物线不可能同时经过点和点，
当点在点上方或与点重合时，抛物线与线段恰有一个公共点，
即，解得，
综上所述，当时，抛物线与线段恰有一个公共点．
【解析】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，数形结合讨论交点是解题的关键．
根据点的平移规律即可得；
根据与关于对称轴对称即可得；
结合函数图象即可得．
21.【答案】解：与轴交点：令代入直线得，
，
点向右平移个单位长度，得到点，
；
与轴交点：令代入直线得，
，
点向右平移个单位长度，得到点，
将点代入抛物线中得，即，
抛物线的对称轴；
抛物线经过点且对称轴，
由抛物线的对称性可知抛物线也一定过的对称点，
时，如图，
将代入抛物线得，
抛物线与线段恰有一个公共点，
，
，
将代入抛物线得，
，
，
；
时，如图，
将代入抛物线得，
抛物线与线段恰有一个公共点，
，
；
当抛物线的顶点在线段上时，则顶点为，如图，
将点代入抛物线得，
解得．
综上所述，或或．
【解析】根据坐标轴上点的坐标特征可求点的坐标，根据平移的性质可求点的坐标；
根据坐标轴上点的坐标特征可求点的坐标，进一步求得抛物线的对称轴；
结合图形，分三种情况：；，抛物线的顶点在线段上；进行讨论即可求解．
本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的性质以及解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程，待定系数法求抛物线解析式．本题属于中档题，难度不大，但涉及知识点较多，需要对二次函数足够了解才能快捷的解决问题．
22.【答案】解：根据题意可知，
抛物线的对称轴，
．
由可知，
抛物线的解析式为：，
，
当时，随的增大而增大，
当时，随的增大而减小，
，，
，，
结合函数图象可知，当抛物线开口向上时，距离对称轴越远，值越大，
．
联立与，
可得，，
，
联立与，
可得，，
，
．
【解析】根据公式，对称轴为直线，代入数据即可；
结合函数的图象，根据二次函数的增减性可得结论；
分别联立直线与两抛物线的解析式，表示出，，，的坐标，再表示出线段和线段的长度，即可得出结论．
本题主要考查二次函数的性质，二次函数与一次函数交点问题等，题目难度适中，数形结合思想及求二次函数与一次函数交点需要联立方程是解题基础．
23.【答案】解：由题意，得．
解得，，
故A、；
由直线得到：．
所以的面积为：，即的面积为；
是直角三角形．理由如下：
由、知，，，．
所以．
所以是直角三角形．
【解析】【试题解析】
由直线和抛物线交点的求法求得点、的坐标；
由三角形的面积公式解答；
根勾股定理逆定理判定是直角三角形．
本题主要考查了二次函数的性质，二次函数与一次函数交点问题，一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理的逆定理，难度不大．
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