2021-2022学年九年级下册苏科版数学5.4二次函数与一元二次方程靶向训练（word版含解析）

5.4二次函数与一元二次方程
考点一：利用二次函数估计一元二次方程近似解
如表给出了二次函数中，的一些对应值，则可以估计一元二次方程的一个近似解为
A. B. C. D.
已知，关于的一元二次方程的解为，，则下列结论正确的是
A. B.
C. D.
已知二次函数为常数的与的部分对应值如下表：
判断方程的一个解的取值范围是
A. B.
C. D.
观察下列表格，一元二次方程的最精确的一个近似解是
A. B. C. D.
下表是二次函数的自变量与函数值精确到的部分对应值，据此判断方程为常数的一个根所在的范围是
A. B.
C. D.
若二次函数的与的部分对应值如下表：
则下列说法错误的是
二次函数图象与轴交点有两个
B. 时随的增大而增大
C. 二次函数图象与轴交点横坐标一个在之间，另一个在之间
D. 对称轴为直线
考点二：二次函数与一元二次方程综合题
如图，对称轴为直线的抛物线与轴相交于、两点，其中点的坐标为，为抛物线与轴的交点．
求抛物线的解析式；
若点在抛物线上，且，求点的坐标．
如图，二次函数的图象经过，两点
求这个二次函数的解析式；
设该二次函数的对称轴与轴交于点，连接，，求的面积．
如图，已知抛物线与轴交于点、两点，与轴交于点，点的坐标为，抛物线与直线交于、两点．连接、．
求的值．
抛物线上有一点，满足，求点的坐标．
已知二次函数的顶点坐标为，且其图象经过点．
求此二次函数的解析式；
若该函数图象与轴的交点为、，求的面积．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，与轴交于点，与轴交于点，．
求二次函数的解析式；
过点作平行于轴，交抛物线于点，点为抛物线上的一点点在上方，作平行于轴交于点，问当点在何位置时，四边形的面积最大？并求出最大面积．
如图：对称轴的抛物线与轴相交于，两点，其中点的坐标为，且点在抛物线上．
求抛物线的解析式．
点为抛物线与轴的交点．
点在抛物线上，且，求点点坐标．
设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求线段长度的最大值．
考点三：二次函数与一元一次不等式综合题
如图，一次函数的图象与二次函数的图象相交于，两点．
求一次函数和二次函数的解析式；
根据图象直接写出使二次函数的值大于一次函数的值的的取值范围；
设二次函数的图象与轴相交于点，连接，，求的面积．
小云在学习过程中遇到一个函数．
下面是小云对其探究的过程，请补充完整：
当时，对于函数，即，当时，随的增大而______，且；对于函数，当时，随的增大而______，且；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数，当时，随的增大而______．
当时，对于函数，当时，与的几组对应值如下表：
结合上表，进一步探究发现，当时，随的增大而增大．在平面直角坐标系中，画出当时的函数的图象．
过点作平行于轴的直线，结合的分析，解决问题：若直线与函数的图象有两个交点，则的最大值是______．
如图，二次函数的图象与轴交于和两点，交轴于点，点、是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点、．
求二次函数的解析式；
根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的的取值范围；
若直线与轴的交点为，连结、，求的面积．
二次函数的图如图所示根据图答下列问题：
点坐标为______ ；
方程的两个根为______ ；
不等式的解集为______ ；
随的增大而减小的自变量的取值范围为______ ；
若方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为______ ．
如图，在同一直角坐标系中，二次函数的图象与两坐标轴分别交于点点 和点，一次函数的图象与抛物线交于、两点．
将这个二次函数化为的形式为______．
当自变量满足______时，两函数的函数值都随增大而增大．
当自变量满足______时，一次函数值大于二次函数值．
当自变量满足______时，两个函数的函数值的积小于．
如图，抛物线与直线交于点和点．
求和的值；
求点的坐标，并结合图象写出不等式的解集；
点是直线上的一个动点，将点向左平移个单位长度得到点，若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点的横坐标的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：如图：
，，，，的一个近似根是．
故选：．
根据函数值，可得一元二次方程的近似根．
本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，图象与轴的交点的横坐标就是一元二次方程的解．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查一元二次方程与二次函数的关系，数形结合是解题的关键．
将关于的方程的解为，的问题转化为二次函数与交点的横坐标，借助图象即可得出答案．
【解答】
解：关于的一元二次方程的解为，，可以看作二次函数与直线的交点的横坐标，如图，
二次函数与轴交点坐标为，，
当时，直线与抛物线交于轴上方的部分，
又，
，
故选A．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了同学们的估算能力，对题目的正确估算是建立在对二次函数图象和一元二次方程关系正确理解的基础上的仔细看表，可发现的值和最接近，再看对应的的值即可得．
【解答】
解：由表可以看出，当取与之间的某个数时，，即这个数是的一个根．
的一个解的取值范围为．
故选D．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，解此类题目的关键在于找代数式的值最接近的未知数的值．
根据图表数据找出一元二次方程最接近的未知数的值，即为最精确的近似解．
【解答】
解：时，的值为，最接近，
一元二次方程的最精确的一个近似解是
故选：．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，结合表格中的数据找出方程为常数的一个解的范围是是解题的关键．根据表格可知：由题中表格中数据可得当时，，当时，，由此可得方程的一个根所在的范围是此题得解．
【解答】
解：由题中表格中数据可得当时，，
当时，，由此可得方程的一个根，
所在的范围是．
故选C．

6.【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，从图表数据信息得到时取得最大值以及二次函数的对称性是解题的关键．
根据时的函数值最小判断出抛物线的开口方向；根据函数的对称性可知当时的函数值与时的函数值相同，并求出对称轴直线方程．
【解答】解：、由图表数据可知时，的值最小，所以抛物线开口向上．那么该抛物线与轴有两个交点．故本选项正确；
B、根据图表知，当时随的增大而增大．故本选项正确；
C、抛物线的开方方向向上，抛物线与轴的交点坐标是，对称轴是，所以二次函数图象与轴交点横坐标一个在之间，另一个在之间．故本选项正确；
D、因为和时的函数值相等，则抛物线的对称轴为直线故本选项错误；
故选：．
7.【答案】解：抛物线的对称轴为，点的坐标为，点的坐标为．
将点和点的坐标代入抛物线的解析式得：
解得：，，
抛物线的解析式为．
将代入，得，
点的坐标为．
．
点的坐标为，
．
设点的坐标为，则点到的距离为．
，
，即，解得．
当时，点的坐标为；
当时，点的坐标为．
点的坐标为或．
【解析】由点与点关于直线对称可求得点的坐标．将点和点的坐标代入抛物线的解析式可求得、的值，从而得到抛物线的解析式；
设点的坐标为，则点到的距离为然后依据列出关于的方程，从而可求得的值，于是可求得点的坐标．
此题考查了待定系数法求二次函数，二次函数的性质以及三角形面积、线段长度问题．此题难度适中，解题的关键是运用方程思想与数形结合思想，属于中考常考题型．
8.【答案】解：把、代入，
得：解得
这个二次函数的解析式为．
该抛物线对称轴为直线，
点的坐标为，
，
．
【解析】本题考查是二次函数与轴的交点、待定系数法求二次函数的解析式，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
二次函数图象经过、两点，两点代入，算出和，即可得解析式．
先求出对称轴方程，写出点的坐标，计算出，然后由面积公式计算值．
9.【答案】解：
抛物线过，
，
；
由
得
，
，
，
，，
当时，，无实数解，
当时，，，，
或．
【解析】本题考查一次函数与二次函数的交点问题、二次函数的图象上的点的特征，学会利用方程组确定两个函数的交点坐标，属于中考常考题型．
利用二次函数的图象上的点的特征，将点坐标代入，即可求出的值；
利用方程组首先求出点坐标．由面积关系，推出点的纵坐标，再解一元二次方程求出点的坐标即可；
10.【答案】解：设抛物线解析式为，
把代入得，解得，
所以抛物线解析式为；
当时，，解得，，
所以、两点的坐标为，，
所以的面积．
【解析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与轴的交点，属于中档题．
先利用待定系数法求出抛物线解析式；
通过解方程得到、两点的坐标，然后根据三角形面积公式求解．
11.【答案】解：设抛物线解析式为，
抛物线与轴交于点，
，
，
，
当时，，
，，
，，
设直线的解析式为，
，，
，，
直线的解析式为；
设，
，
，
，
，
当时，
即：点时，．
【解析】【试题解析】
设出抛物线解析式，用待定系数法求解即可；
先求出直线解析式，设出点坐标，建立函数关系式，根据二次函数求出极值．
此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数关系式，函数极值确定方法，解本题的关键是利用配方法求极值．
12.【答案】解：因为抛物线的对称轴为，点坐标为与在抛物线上，则：
，
解得：．
所以抛物线的解析式为：．
二次函数的解析式为，
抛物线与轴的交点的坐标为，．
设点坐标为，
，
，
，当时，；
当时，．
点的坐标为或；
设直线的解析式为，将，代入，
得，
解得：．
即直线的解析式为．
设点坐标为，则点坐标为，
，
当时，有最大值．
【解析】因为抛物线的对称轴为，点坐标为与在抛物线上，代入抛物线的解析式，即可解答；
先由二次函数的解析式为，得到点坐标，然后设点坐标为，根据列出关于的方程，解方程求出的值，进而得到点的坐标；
先运用待定系数法求出直线的解析式为，再设点坐标为，则点坐标为，然后用含的代数式表示，根据二次函数的性质即可求出线段长度的最大值．
此题考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质以及三角形面积、线段长度问题．此题难度适中，解题的关键是运用方程思想与数形结合思想．
13.【答案】解：把代入得：，
解得：，
，
把代入得：，
，
把、分别代入得，
解得：，
；
根据图象得：使二次函数的值大于一次函数的值的的取值范围是；
连接、，设直线交轴于点，
把代入得：，
，
把代入得：，
，
，
则．
【解析】此题考查了二次函数与不等式，待定系数法求二次函数解析式，以及待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
把坐标代入二次函数解析式求出的值，确定出二次函数解析式，把坐标代入求出的值，把与坐标代入一次函数解析式求出与的值即可；
根据函数图象，确定出所求的范围即可；
连接，，设直线与轴交于点，三角形面积等于三角形面积三角形面积，求出即可．
14.【答案】减小 减小 减小
函数图象如图所示：
【解析】解：当时，对于函数，即，当时，随的增大而减小，且；对于函数，当时，随的增大而减小，且；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数，当时，随的增大而减小．
故答案为：减小，减小，减小．
函数图象如图所示：
直线与函数的图象有两个交点，
观察图象可知，时，的值最大，最大值，
故答案为
利用一次函数或二次函数的性质解决问题即可．
利用描点法画出函数图象即可．
观察图象可知，时，的值最大．
本题考查二次函数与不等式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
15.【答案】解：设二次函数解析式为，
，
解得，，，，
即二次函数的解析式是；
，
该函数的对称轴是直线，
点，点、是二次函数图象上的一对对称点，
点，
一次函数值大于二次函数值的的取值范围是或；
点、点、点，
设直线的解析式为，
则，解得，，
直线的解析式为，
当时，，
点的坐标为，
设直线的解析式为，
则，得，
直线的解析式为，
当时，，
的面积是：．
【解析】根据题意可以设出二次函数解析式，根据函数过点、、，即可解答本题；
根据题意可以求得点的坐标，再根据函数图象即可解答本题；
根据题意作出辅助线，即可求得的面积．
本题考查待定系数法求二次函数解析式、抛物线与轴的交点，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．
16.【答案】；
，；
或；
；
．
【解析】
解：如图所示，，对称轴是，
则点与关于对称，
所以；
故答案是：；
如图所示，抛物线与轴的交点坐标分别是：，，
所以方程的两个根为，；
故答案是：，；
如图所示，不等式的解集为或；
故答案是：或；
如图所示，随的增大而减小的自变量的取值范围为．
故答案是：；
令，
方程有两个不相等的实数根时，则与抛物线有个不同的交点，
所以，
解得．
故答案是：．
【分析】
根据抛物线的对称性写出点的坐标；
方程的两个根就是抛物线与轴的两个交点横坐标；
不等式的解集为抛物线位于轴下方的部分；
需要根据抛物线的对称轴及开口方向，判断函数的增减性；
可以转化为与抛物线有个不同的交点．
本题考查了抛物线与轴的交点和二次函数与不等式．解题时，体现了“数形结合”的数学思想．
17.【答案】；
；
；
；
【解析】
解：．
抛物线的对称轴为直线，则时二次函数的函数值都随增大而增大，
而一次函数随增大而增大，
所以当时，两函数的函数值都随增大而增大．
当时，一次函数值大于二次函数值；
当时，两个函数的函数值的积小于．
故答案为；；；．
【分析】
利用配方法把一般式配成顶点式即可；
利用一次函数和二次函数的性质求解；
利用函数图象，写出一次函数图象在二次函数图象上方所对应的自变量的范围即可；
由于时，二次函数值为正，一次函数值也负，所以两个函数的函数值的积小于．
本题考查了二次函数与不等式组：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．注意利用数形结合的思想解决问题．
18.【答案】解：将点的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，
将点的坐标代入直线表达式得：，解得；
故，；
由得，直线和抛物线的表达式为：，，
联立上述两个函数表达式并解得不合题意的值已舍去，
即点的坐标为，
从图象看，不等式 的解集为或；
当点在线段上时，线段与抛物线只有一个公共点，
、的距离为，而、的水平距离为，故此时只有一个交点，即；
当点在点的左侧时，线段与抛物线没有公共点；
当点在点的右侧时，当 时，抛物线和交于抛物线的顶点，即时，线段与抛物线只有一个公共点，
综上， 或 ．
【解析】用待定系数法即可求解；
求出点的坐标为，再观察函数图象即可求解；
分类求解确定的位置，进而求解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、不等式的性质等，其中，分类求解确定的位置是解题的关键．
第2页，共21页
第1页，共21页