第1章轴对称图形学案（无答案）

八年级数学第1章学案
命题人 ：戚鹏 孙其伟 陈飞 张明
1.1我们身边的轴对称图形
学习目标：
1、能够认识轴对称和轴对称图形，并能找出对称轴，知道轴对称与轴对称图形的区别与联系
2、经历观察生活中的轴对称现象和轴对称图形，探索它们的共同特征的活动过程，发展空间观念。
　 　3、欣赏现实生活中的轴对称图形，体会轴对称在现实生活中的广泛应用和它
丰富的文化价值，培养学生审美情趣，增强鉴赏美的能力。　　　　　　　　
重点难点：
重点：轴对称与轴对称图形的概念及识别
难点：轴对称与轴对称图形的区别和联系
学习过程
一、创设情景
剪纸活动 观察剪的飞鸟图案
你能说出老师是如何剪出这幅图案的吗？同学们也试一试，看谁剪出的图案最美。
学生观察这些图案有何共同点。
对折后两部分完全重合，也就是说这两部分是对称的。自古以来，对称图形被认为是平衡和谐之美，我们时时刻刻生活在一个充满对称的世界之中，从动物到植物，从小巧精致的艺术品到雄伟壮丽的建筑，大多都是对称的，下面让我们共同感受一下对称的美　。
建筑
脸谱
剪纸
国旗
摩洛哥 约 旦 英 国 肯尼亚
二、探究新知
1、探究轴对称图形 自主学习课本第4页交流与发现，总结轴对称图形的定义。
2、探究对称轴的条数
下列图形是否是轴对称图形，找出轴对称图形的所有对称轴。
思考：正三角形有　　条对称轴
　　　正四边形有　　条对称轴
　　　正五边形有　　条对称轴
正六边形有　　条对称轴
正n边形有　　条对称轴
当n越来越大时，正多边形接近于什么图形？它有多少条对称轴？
小结：一个轴对称图形的对称轴的条数不一定是一条。
练一练：
生活中有许多轴对称图形，你能举例吗？
引导：数字，英文，汉字
推理游戏
下面一个应该是什么形状？
3、探究轴对称
（1）动手操作
你能用两块大小、形状完全一样的直角三角形拼成轴对称图形吗？
　　
将图中的两个三角形均速向两边移动变成
想一想：这两个三角形有什么关系？
（2）观察、讨论，得出轴对称以及对称点的定义
（3）学生举生活中两个图形成轴对称的例子。例如下图：
　　　
4、小组讨论“轴对称”与“轴对称图形”的区别与联系。
学生完成下表：
轴对称图形　　　　轴对称
　　　　一分为二　　　　
　　　　　　合二为一
区别：（ ）个图形　　　（ ）个图形
联系：如果把一个轴对称图形位于对称轴两旁的部分看成（ ）个图形，那么这两部分（ ）
　　如果把成轴对称的2个图形看成（ ）整体，那么这个整体就是一个（ ）
三、自我小结
轴对称图形和两个图形成轴对称的区别：
两个图形关于一条直线成轴对称 轴对称图形



四、当堂测试
　1、填一填
（1）、如果一个图形沿着（ ）对折，两侧的图形能够（ ）这个图形就是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做（ ）。
　　（2）、圆是（ ）图形，在同一圆里任何一条（ ）都是圆的对称轴。
　　（3）、等边三角形有（ ）条对称轴
　2、判断
　　(1)扇形也是轴对称图形，它和圆一样也有无数条对称轴。 （ ）
　　(2)平行四边形可分成两个完全一样的三角形，所以，平行四边形也有两条对称轴。（ ）
　　(3)圆上任意两点间的线段都是圆的对称轴。（ ）
(4)有两条对称轴的图形只有长方形。（ ）
3、下列说法不正确的是 （ ）
A.两个关于某直线对称的图形一定全等
B.对称图形的对称点一定在对称轴的两侧
C.两个轴对称的图形对应点的连线的垂直平分线是它们的对称轴
D.平面上两个全等的图形不一定关于某直线对称
4、中华民族是一个有着五千年文明历史的古老民族，在她灿烂的文化中，汉字是其中一朵瑰丽的奇葩，请写出几个是轴对称的汉字 ______________________。
1．2 线段的垂直平分线
学习目标：
1、理解线段垂直平分线的概念，掌握线段垂直平分线的性质。
2、能运用线段的垂直平分线的性质解决简单的实际问题。
3、能够利用直尺和圆规作已知线段的垂直平分线。
重难点：
重点：1、掌握线段垂直平分线性质。
2、能运用线段的垂直平分线的性质解决简单的实际问题。
难点：1、能够利用直尺和圆规作已知线段的垂直平分线。
2、能运用线段的垂直平分线的性质解决简单的实际问题。
学习过程：
情境思考：
如图所示，公路AB附近有两个村庄C,D，要在公路边建一个车站，为了方便起见，要求这个车站到两个村庄的距离相等，你能找出这个车站吗？
探究新知
探究知识一
1、学生自主学习课本第8页：实验与探究，第9页交流与发现
2、成果交流，归纳提升
A:(1) 于线段，并且 这条线段的直线叫做线段的垂直平分线.
线段是 图形，它的一条对称轴是
B : 线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线上的任意一点到 的距离 .
3、应用：如图1： MN是线段AB的垂直平分线，E是MN上一点，则EA与EB有什么关系？为什么？
答：
因为
所以 图1.
4、练习：（1）、如图2:在直角三角形中∠C=900，DE是斜边AB的垂直平分线，则DA=________为什么？如果CD=1cm,BD=2cm,则AC=_____cm.
图2.
（2）如图3：线段AB的垂直平分线l交AB于点N，M为直线l上任一点，若AB=2cm,△MAB的周长为10cm,则MA=_________cm
(二)探究二：能够利用直尺和圆规作已知线段的垂直平分线 图3.我们能用折叠的方法作出线段的垂直平分线，还可以用直尺和圆规作已知线段的垂直平分线，怎么做呢？请你自学第9页例题并尝试做一做。
已知：线段AB
求作：线段AB的垂直平分线
作法：（1）
（2）
你能用折叠的方法验证上面尺规作图的正确吗？
巩固练习：课本P9练习第1题
课本P10习题A组第1、2题
三、巩固与拓展
1.在平面直角坐标系中，已知点A坐标为(0,4),B坐标为(6,0).那么线段OA与OB垂直平分线的交点P的坐标为（ ）
2、已知：线段AB及一点P，PA=PB，则点P在 上。
3、已知：如图，∠BAC=1200,AB=AC,AC的垂直
平分线交BC于D则∠ADC= 。
4、△ABC中，∠A=500，AB=AC,AB的垂直平分线
交AC于D则∠DBC的度数 。
5、△ABC中，DE、FG分别是边AB、AC垂直平分线，则∠B ∠BAE，∠C ∠GAF ，若∠BAC=1260，则∠EAG= 。
6、如图，△ABC中，AB=AC=17,BC=16,DE垂直平分
AB，则△BCD的周长是 。
7、如图所示，已知等腰△ABC，AB边的垂直平分线交另一腰AC于D，且AB=AC=8，BC=6，求△BDC的周长。
四 当堂测试
A：夯实基础：
1、线段的垂直平分线（中垂线）：垂直并且 一条 的直线，称为这条 的垂直平分线，线段垂直平分线上的 到这条线段两个 的距离。
2．在△ABC中，AB=AC=6 cm，AB的垂直平分线与AC相交于E点，且△BCE的周长为10 cm，则BC=______ cm．
3.下列说法中，正确的有（ ）
（1）与线段垂直的直线上的任意一点到线段的两个端点的距离相等；
（2）过线段中点的直线上的任意一点到线段的两个端点的距离相等；
（3）平面上存在一点P，它到长度为4厘米的线段的两端点的距离可以同时为2厘米，也可以同时为5厘米。
A、 0个 B、 1个 C、2个 D、3个
4.若点P是线段AB的垂直平分线上任意一点，且PA=3厘米，则PB= 厘米，AB 6厘米（填“大于，小于，不大于，不小于或等于”）
5、如图5，点A,B是两家大型工业企业，现要建一座水电站，向这两家企业输送电力资源，问：电站建在哪里才能使送电量相同？
图5
B：能力提高
3.如图6，在△ABC中，AB=AC=16cm,AB的垂直平分线交AC于D,如果,BC=10cm，那么△BCD的周长是 cm
A
图6
1.3角的平分线
学习目标：
1、能够通过折纸、画图等操作，体会角的对称性，从而认识角平分线的性质.
2、能够利用尺规作图，作出角的平分线.
3、经历探索角平分线的性质，在操作活动和观察分析过程中培养学生主动探索与合作交流的能力.
重点难点：重点是角平分线的性质.
难点是角平分线性质的由来与应用.
学习过程
一、情境引入：
在V型公路（∠AOB）内部有两个村庄
C、D，如图所示，
你能选择一个纺织厂的厂址P，使P到V型
公路两条路的距离相等，且使C、D两村的工人上下班的路一样吗？
二、探究新知：
1、知识回顾：
（1）自主学习课本第10页折纸，你有什么发现？
（2）什么叫角的平分线？它有什么性质？
（3）请做出∠AOB的平分线（用量角器）
2、合作探究
(1)我们知道了角的平分线的一种做法，现在如果没有量角器，你用什么办法就可以作出角的平分线？完成用尺规做已知角的平分线。（学生同位合作完成）由此你有什么发现？试总结一下。
任意画一个三角形，作出每个角的平分线，
你能有什么发现？
3、实验与探究
小组合作，完成课本第11页的实验与探究，得出角平分线的性质，并用测量的方法进行验证，最后试总结得出结论.
4、挑战自我
学生先自主完成第12页挑战自我，集体统一结果.
5、应用新知
例:如图,在△ABC中, ∠C=900,BD平分∠ABC,交AC于点D,AC=15cm,且CD∶AD=2∶3,求点D到AB的距离.
6、跟踪练习
在△ABC中，∠C=900，BD平分∠ABC，交AC于点D，边点D作DE⊥AB于E，E点恰为AB的中点，若DE=1，DB=2，求AC的长.
三、巩固练习
1．如图6，AC⊥BC，DE⊥AB，AD平分∠BAC，下面结论错误的是（ ）．
A．BD+ED=BC B．DE平分∠ADB C．AD平分∠EDC D．ED+AC>AD
2．如图7：△ABC中，∠C=90°，E是AB中点，D在∠B的平分线上，DE⊥AB，则（ ）．
A．BC>AE B．BC=AE C．BC3．下列命题正确的是（ ）．
A．三角形的一个外角等于两个内角和
B．三角形的一个外角大于任何一个内角
C．有两边和一角对应相等的两个三角形全等
D．有两边对应相等的两个直角三角形全等
4、如图，在△ABC中，∠C=900，AD平分∠BAC，若AB=7 ,CD=2
求△ABD的面积.
5、如图,在△ABC中，AC⊥BC，
AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，AB＝7㎝，AC＝3㎝，
求BE的长
四、课堂检测
1．已知：△ABC中，∠B=90°， ∠A、∠C的平分线交于点O，则∠AOC的度数为 .
2．角平分线上的点到_________________距离相等；到一个角的两边距离相等的点都在_____________．
3．∠AOB的平分线上一点M ，M到 OA的距离为1.5 cm，则M到OB的距离为_________.
4．如图，∠AOB=60°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，且CD=CE，则∠DOC=_________.
5．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，DE⊥AB于E，且DE=3 cm，BD=5 cm，则BC=_____cm.
6．如图，CD为Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交CD、CB于点E、F，FG⊥AB，垂足为G，则CF______FG，CE________CF.
7．如图，已知AB、CD相交于点E，∠AEC及∠AED的平分线所在的直线为PQ与MN，则直线MN与PQ的关系是_________.
8．如图，已知OE、OD分别平分∠AOB和∠BOC，若∠AOB=90°，∠EOD=70°，求∠BOC的度数.
1.4等腰三角形
学习目标：
1·掌握等腰（等边）三角形的 性质
2·能运用等腰（等边）三角形的 性质解决数学问题
3·学会用尺规作等腰三角形
重点：掌握等腰三角形的性质 等边三角形的性质
难点：等边三角形的性质和用尺规作等腰三角形
学习过程：
一 、 情景思考：
用纸剪一个等腰三角形ABC，将三角形对折，使它的两腰AB与AC重合，折痕与BC的交点为D，把纸展开后铺平.
等腰三角形ABC是轴对称图形吗？
∠BAD 与∠CAD相等吗？
∠B 与∠C相等吗？
折痕所在直线AD与底边BC有什么位置关系？
线段BD与线段CD的长相等吗？
你能总结一下折痕所在AD具有的性质吗？
二、新知探究：
1、等腰三角形的性质：
等腰三角形是轴对称图形,它的对称轴是______________
等腰三角形的_________、________ 、_________重合(也称三线合一)
等腰三角形的两个__________相等.
2、等腰三角形的两个底角相等（简写为“等边对等角”）
数学表达式：
∵在△ABC中，AB=AC，（已知）
∴∠B=∠C（等边对等角）
A A
B C B D C
3、等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（简称为“等腰三角形的三线合一”）
数学表达式：
1）
∵AB=AC，∠BAD=∠CAD
∴ =
⊥
（等腰三角形的三线合一）
2）
∵AB=AC，BD=CD
∴ =
⊥
（等腰三角形的三线合一）
3）
∵AB=AC，AD⊥BC
∴ =
=
（等腰三角形的三线合一）
.等边三角形的性质
4/画一个等边三角形ABC,画出它的所有对称轴（动手画）
概括: 等边三角形是轴对称图形,它有_________条对称轴 ，等边三角形的每个内角都等于_________
5、例1试说明“等边三角形的每个内角都等于600”.
6.用直尺和圆规作等腰三角形
已知线段a，h
求作等腰三角形ABC，使底边AB=a ， AB边上的高CD= h
作法：
a
h
三、巩固练习：
1．基础题：
（1）已知等腰三角形有一个内角为700，求其它两个内角的度数.若有一个内角为1100，则其它两个内角的度数又是多少？
（2）如图已知房屋的顶角∠BAC=1000，过屋顶A的立柱AD⊥BC，垂足为D，屋椽AB=AC，求顶 架上∠B ，∠ C ， ∠BAD ∠CAD的度数
A
B D C
(3) △ ABC的周长为32cm,且AB=AC,AD⊥BC于D, △ABD的周长为24 cm,求AD的长.
2.拓展提高题
如图P,Q是△ ABC边BC上的两点，且BP=PQ=QC=PA=AQ,求∠BAC的度数
A
B P Q C
(2)如图：AD是△ ABC中∠BAC的平分线，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于点F，试说明∠BAF=∠ACF A
E
B D C F
四．当堂测试：
1、在△ ABC中， AB=AC,BD⊥AC,垂足为D, ∠A=400， 则∠DBC=________
2、已知等腰三角形的一个内角为500，则这个等腰三角形的顶角为————
3、O是△ ABC中∠ABC, ∠ACB的平分线的交点，OD∥AB交BC于点D，
OE∥AC交BC于点E，若BC=10 cm ,则△ODE的周长是___________.
4、已知等腰三角形的一边长为5cm，另一边长为6cm，则它的周长为___________　　　　　。
5、已知等腰三角形的一边长为4cm，另一边长为9cm，则它的周长为___________　　　　　　。
6、等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm.则腰长为___________
7、有一个角等于50°，另一个角等于__________的三角形是等腰三角形．
8、如图，∠A=15°，AB=BC=CD=DE=EF，则∠GEF=___________
7、有一个内角为40°的等腰三角形的另外两个内角的度数为___________ .若改有一个内角为140°的等腰三角形的另外两个内角的度数为___________
8、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则其顶角为___________
9、如果等腰三角形的三边均为整数且它的周长为10cm，那么它的三边长为___________
10、如图，把矩形ABCD沿EF折叠，使点C落在点A处，点D落在点G处，若∠CFE=，且DE=1，则边BC的长为___________ ．
五．课外作业：
A组：如图△ ABC是等边三角形，D点是AC的中点，延长BC到E，使CE=CD（1）用尺规作图的方法，过D点作DM⊥BE，垂足是M（2）求证：BM=EM
A
D
B C E
B组：探索与创新题：在在△ ABC中，∠B=360，过顶点A作直线AD，把它分为两个等腰三角形，则满足上述条件的不同形状的△ ABC共有几个？
1.5成轴对称的图形的性质
学习目标
1、经历探索轴对称图形的性质的过程，理解连接对应点的线段被对称轴垂直平分、对应线段相等、对应角相等的性质.
2、会画出与已知图形关于某条直线对称的图形.
重难点：
重点：理解连接对应点的线段被对称轴垂直平分、对应线段相等、对应角相等的性质.
难点：会利用轴对称性质作对称点、对称图形、对称轴等.
学习过程：
一、创设情境
1、实践、操作：
前面我们已经学过轴对称和轴对称图形，那么它们到底具有一些什么性质呢？下面我们一起来研究.
.
取一张长方形的纸片，按下面步骤做一做.
将长方形纸片对折，折痕为l，
（1）在纸上画△ABC；
（2）用针尖沿△ABC各边扎几个小孔
（3）将纸展开，连接AA’、BB’、CC’
2、讨论、探究：
线段AA’、BB’、CC’与折痕l有什么关系？
二、探究新知
1、自主学习课本17页实验与探究
2、动手、操作
（1）找出下列成轴对称的两个图形的对应点、并用测量的方法验证你找到的对称点所连线段被对称轴垂直平分.；
（2）说出图中相等的线段和角.
线段：AB = BC=
AD= CD=
角： ∠A＝ ∠B＝
∠C＝ ∠D＝
3、交流、总结：
（1）垂直于线段并且平分线段的直线叫做____________（2）如果两个图形关于某条直线成轴对称，那么对称轴是对应点连线的___________
（3）关于某条直线成轴对称的两个图形是_________；_________相等，对应角________。
4、例题.如图，两个三角形关于直线l成轴对称。如果三角形的部分边长（单位：厘米）和角的度数如图所示，求未知的边长和角的度数。
三、合作探究
1、操作、实践：
（1）按下列要求，作点A关于直线l的对称点A’ l
①过点A作AB⊥l，垂足为点B；
②延长AB至A’，使A’B=AB.
如图，点A’就是点A关于直线l的对称点.
（2）请你作出下图中线段AB关于直线l的对称线段A’B’.
（说明：作对称线段其实就是作两个对称点就行了）
（3）例2 作出△BCD关于直线l的对称图形。
（4）已知点P和点P’关于一条直线对称，请你画出这条对称轴.
(5) 如下图，如何找出它们的对称轴？
2、心得交流
讨论交流上述各图形作法要领、注意点，并口述画法基本步骤.
四、课堂练习
1、画出下列图形对称轴，找出对称点.
2、下图是两个关于某条直线成轴对称的图形，请你画出它们的对称轴.
五、自我小结
本节课的收获和疑问.
（1）能找到轴对称中的对称点；
（2）会画出对称点、对称线段；
（3）能找到对称轴
六、当堂测试
习题1.5A组2、3题
1.6镜面对称
学习目标：
1、认识生活中的镜面对称现象，了解镜面对称及其应用，欣赏镜面对称图形.
2、思考并探索镜面对称下图形的变化.
重难点：
重点 ：思考并探索镜面对称下图形的变化.
难点：镜面对称的性质及其应用.
学习过程：
一、创设情境
活动一：一次晚会上，主持人出一道题：“如何把 变成等式，小明仅拿了一面镜子，就很快解决了问题，得了奖。你知道他是如何做的吗？”相信你一定和小明一样聪明.
活动二：课本第21页指纹问题.
活动三：欣赏第22页两幅风景图案，请你观察与思考，图片中真实的景物与它在水中的倒影有什么关系？
活动四：完成课本第22页的实验与探究.你有什么发现？
二、概括新知：（通过以上活动你有什么收获与发现？与同学们交流后，完成以下问题.）祝你成功.
当物体与镜面平行时，（影像与物体相比较）上下 ，左右 .
当物体与镜面垂直时，（影像与物体相比较）上下 ，左右 .
三、巩固练习：
A：夯实基础：课本第24页练习1、2题
B：拓展延伸：1、课本第22页挑站自我
2．下列数字图象都是由镜中看到的，请分别写出它们所对应的实际数字，并说明数字图象与镜面的位置关系.
四、当堂测试
配套练习册第8页
1.7简单的图案设计
学习目标：
1.欣赏生活中的轴对称图案，能分析它是由哪些简单几何图形组成的.
2.能利用简单几何图形设计轴对称图案，体验数学活动的乐趣，培养学生的创新意识.
重难点：
重点 ：能够灵活运用轴对称进行一些图案设计.
难点：能够灵活运用轴对称进行一些图案设计.
学习过程：
一、创设情境：
活动一：欣赏课本第25页的美丽图案并思考解答课本中提出的问题，相信你一定很出色.
活动二：1、欣赏课本第26页的徽标设计并找出哪些是轴对称图形？画出它们的对称轴.
2、当一名小设计师，欣赏课本第26页的图1-34，展开你的想象，设计一幅艺术节图案，并与同学们交流.
二、学习反思：
通过以上活动你有什么收获与发现？与同学们交流.
友情提示：
1.要从生活实践中去观察，留心美丽图案的对称性，以及他们所包括的基本几何图形.
2.熟悉各类基本图案的对称性。
3.设计轴对称图案时，可先画出对称轴，然后画出一部分图案，再用找对称点的方法画另一半图案.
4.设计轴对称图案时，要兼顾基本图形的对称性和设计出的图形的对称性，要考虑整体与部分之间的关系.
三、巩固练习：
A：夯实基础：课本第26页练习1、习题1、7 A组 第1题
B：拓展延伸：课本第27页习题1、7 B组 第2题
四、课堂小结：本节课你有哪些收获？并与同学交流。
五、课堂检测:
A：夯实基础：练习册
B、拓展延伸：请你用1个等腰三角形、2个长方形、3个圆设计一个轴对称图形，并用简练的文字说明你的创意.
C
D
B
A
E
M
A
B
O
N
E
A
D
l
B
C
A
B
M
N

A

B
D
C
B
A
B
O
C
D
A
O
B
A
O
B
A
D
C
B
E
A
C
D
B
B
A
C
D
E
D
C
B
A
第7题
第6题
第4题
第5题
A
B
C
D
H
E
F
G
75°
a
l
3.20
22.9
c
43°
3.44
b
A
l
A
l
A
B
A
l
B
l
B
B
D
C
P’
P .