2021-2022学年北师大版九年级数学上册4.5相似三角形判定定理的证明 同步训练 （word版含解析）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《4.5相似三角形判定定理的证明》
同步训练（附答案）
一．选择题
1．如图，点E是正方形ABCD的边CD上的一点．且＝，延长AE交BC的延长线于点F，则△CEF和四边形ABCE的面积比为（　　）
A． B． C． D．
2．如图，在 ABCD中，E为BC的中点，DE、AC交于点F，则的值为（　　）
A．1 B． C． D．
3．如图，在△ABC中，点D在AB边上，若AD：AB＝2：3，BC＝3，∠ADC＝∠ACB，则线段CD的长为（　　）
A． B． C． D．2
4．如图，矩形ABCD中，E，F分别为CD，BC的中点，且AE⊥EF，BC＝2，则AC的长为（　　）
A． B．2 C．3 D．2
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，若E是边AB的中点，连接DE，过点C作CF⊥DE于点F，则CF的长为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，平行四边形ABCD中，点E为AD边中点，连接AC、BE交于点F，若△AEF的面积为2，则△FBC的面积为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
7．如图，在平行四边形ABCD中，F是AD上一点，且AF＝2FD，连接BF并延长交CD的延长线于点G，则的值为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，过点E作EF⊥AE交DC于点F．若AB＝4，BC＝6，则DF的长为（　　）
A． B． C． D．1
9．如图，在正方形ABCD中，E为边AD上的点，点F在边CD上，且CF＝3FD，∠BEF＝90°，若AB＝4，延长EF交BC的延长线于点G，则BG的长为（　　）
A．8.5 B．9 C．9.5 D．10
10．如图，在△ABC中，AB∥DE，若，则△ECD与△ACB的面积之比为（　　）
A． B． C． D．
11．如图，在△ABC中，D、E分别在边AB、AC上，且DE∥BC，若，DE＝，则BC的长为（　　）
A． B． C． D．
12．如图，在△ABC中，D是BC上一点，且AD平分∠BAC，AD＝DC．若S△ABD＝6，S△ADC＝10，则的值为（　　）
A． B． C． D．
13．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD的中点，DE、AF交于点G，则下列结论：①DE⊥AF；②DE＝AF；③；④，其中正确结论的序号有（　　）
A．①②③ B．①② C．①②③④ D．③④
14．如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在DA的延长线上取点E，连接OE交AB于点F，已知AD＝11，CD＝14，且AF＝2，则AE的长为（　　）
A．2.3 B．2.2 C．2.1 D．2
15．如图，在△ABC中，D、E为边AB的三等分点，EF∥DG∥AC，点H为AF与DG的交点．若AC＝9，则DH为（　　）
A．1 B．2 C． D．3
16．如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD上一点，AE＝2ED，连接BE交AC于点G，延长BE交CD的延长线于点F，则的值为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题
17．如图：正方形DGFE的边EF在△ABC边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，AH⊥BC于H，交DG于P，已知BC＝48，AH＝16，那么S正方形DGEF＝　 　．
18．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，下面四个结论：①△AEF∽△CBF；②CF＝2AF；③DF＝DC；④S四边形CDEF＝S△ABF．其中正确的结论有 　 　．
19．如图，菱形ABCD中，EF⊥AC，垂足为点H，分别与AD、AB及CB的延长线交于点E、M、F，且AE：FB＝1：2，则AH：AC的值为　 　．
20．如图，AD是Rt△ABC斜边BC上的高线，过AB边上的点E作EF⊥AD，EG⊥BC，过AC边上的点H作HI⊥AD，HJ⊥CD．若EF＝EG＝7，HI＝HJ＝5，则AD的长为 　 　．
三．解答题
21．已知：如图，四边形ABCD是菱形，点M、N分别在边BC、CD上，连接AM、AN交对角线BD于E、F两点，且∠MAN＝∠ABD．
（1）求证：AD2＝BF DE．
（2）若＝，求证EF∥MN．
如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，直线l过点C，分别过A、B两点作AE⊥l，BD⊥l，垂足分别为E、D.
（1）求证：△BDC∽△CEA．
（2）如图2，在 ABCD中，在BC上取点E，使得∠AED＝90°，若AE＝AB，BE＝4，EC＝3，求 ABCD的面积．
23．如图，在锐角△ABC中，点E是AB边上一点，BE＝CE，AD⊥BC于点D，AD与EC交于点G．
（1）求证：∠BEC＝2∠AGE；
（2）若＝，求的值．
24．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，线段AG分别交线段DE，BC于点F，G，且．
（1）求证：△ADF∽△ACG；
（2）若＝，求的值．
25．在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4．
（1）如图1，∠A＝90°，N为BC上一点，M为AB上一点，若DN⊥MN，CN＜BN，BM＝1，求证：DN＝MN；
（2）如图2，N为BC上一点，M为AB上一点，若∠DNM＝∠B＝60°，求证：．
参考答案
1．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD，AB∥CD，
∵，
∴，
∵AB∥CD，
∴△CEF∽△BAF，
∴＝（）2，
∴S△BAF＝9S△CEF，
∴S四边形ABCD＝8S△CEF，
故选：C．
2．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴△ECF∽△DAF，
∵BE＝EC，
∴EF：FD＝EC：AD＝1：2，
故选：D．
3．解：过点D作DE∥BC，如图所示：
∴∠ADE＝∠ABC，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵AD：AB＝2：3，BC＝3，
∴，
∴DE＝2，
∵∠ADC＝∠ACB，∠A＝∠A，
∴△ADC∽△ACB，
∴，∠ACD＝∠ABC，
∴∠ADE＝∠ACD，
∴△ADE∽△ACD，
∴，
∴，
∴CD2＝BC DE，
∴CD2＝3×2，
解得：CD＝．
故选：C．
4．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝2，∠D＝90°，
∴∠DAE+∠AED＝90°，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝90°，
∴∠DEA+∠CEF＝90°，
∴∠DAE＝∠CEF，
∴tan∠DAE＝tan∠CEF，
即，
∵E，F分别为CD，BC的中点，
∴DE＝CE，CF＝BC＝1，
∴DE2＝AD CF＝2×1＝2，
∴DE＝（﹣舍去），
∴DC＝2DE＝2，
在Rt△ADC中，根据勾股定理，得
AC＝＝2．
故选：D．
5．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ADC＝90°，AB＝CD＝6，BC＝AD＝4，
∵E是AB的中点，
∴AE＝3，
∴DE＝＝＝5，
∵CF⊥DE，
∴∠CFD＝90°，
∴∠CFD+∠CDF＝90°，
∵∠ADE+∠CDF＝90°，
∴∠CFD＝∠ADE，
又∵∠A＝∠CFD，
∴△CFD∽△DAE，
∴，
∴，
∴CF＝．
故选：D．
6．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，且AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴＝（）2，
∵点E为AD边中点，
∴AE＝AD＝BC，
∴＝，
∴＝（）2，
解得S△CBF＝8，
故选：D．
7．解：由AF＝2FD，可以设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，
∴∠AFB＝∠FBC＝∠DFG，∠ABF＝∠G，
∴BE平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBG，
∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFG＝∠G，
∴AB＝CD＝2k，DF＝DG＝k，
∴CG＝CD+DG＝3k
∵AB∥DG，
∴△ABE∽△CGE，
∴＝．
故选：C．
8．解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，CD＝AB＝4，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠CEF＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，
∴△BAE∽△CEF，
∴AB：CE＝BE：CF，
∵E是BC的中点，BC＝6，
∴BE＝CE＝3，
∵AB＝4，
∴4：3＝3：CF，
解得CF＝，
∴DF＝CD﹣DF＝4﹣＝．
故选：B．
9．证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，AD∥BC，
∵∠BEF＝90°，
∴∠AEB+∠DEF＝90°，
∵∠ABE+∠AEB＝∠DEF+∠EBA＝90°，
∴∠ABE＝∠DEF，
∴△ABE∽△DEF，
∵AB＝BC＝CD＝AD＝4，CF＝3FD，
∴DF＝1，CF＝3，
∴＝，
∴＝
解得：DE＝2，
∵AD∥BC，
∴△EDF∽△GCF，
∴＝，
∴＝，
∴CG＝6，
∴BG＝BC+CG＝4+6＝10．
故选：D．
10．解：∵AB∥DE，
∴△ECD∽△ACB，
∵，
∴，
∴△ECD与△ACB的面积之比为：．
故选：B．
11．解：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C．
∴△ADE∽△ABC．
∴．
又∵，
∴AE＝．
∴＝．
∴BC＝＝．
故选：A．
12．解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵AD＝DC．
∴∠C＝∠DAC，
∴∠BAD＝∠C，
∵∠B＝∠B，
∴△BAD∽△BCA，
∴，
∵S△ABD＝6，S△ADC＝10，
∴，
∴，
∴，
∵AD＝CD，
∴，
故选：C．
13．解：在正方形ABCD中，AD＝DC，∠AOF＝∠DCF＝90°，BC＝CD，
∵点E、F分别是BC、CD的中点，
∴OF＝CE，
∴△ADF≌△DCE（SAS），
∴∠DAF＝∠CDE，DE＝DF，
故②正确；
∵∠CDE+∠ADE＝∠ADC＝90°，
∴∠ADE+∠DAF＝90°，
∴∠AGD＝180°﹣（∠ADE+∠DAF）＝90°，
∴DE⊥AF，
故①正确；
在Rt△ADF中，sin∠DAF＝，tan∠DAF＝，
∴，
故③正确；
在Rt△DGF中，tan∠CDF＝tan∠DAF＝，
∴，
故④错误，
故选：A．
14．解：过O点作OM∥AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，AB＝CD＝14，
∴OM是△ABD的中位线，
∴AM＝DM＝AD＝，OM＝BA＝7，
∵AF∥OM，
∴△AEF∽△MEO，
∴，
∴，
∴AE＝＝2.2，
故选：B．
15．解：∵D、E为边AB的三等分点，EF∥DG∥AC，
∴BE＝DE＝AD，BF＝GF＝CG，AH＝HF，
∴AB＝3BE，DH是△AEF的中位线，
∴DH＝EF，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴＝，即 ＝，
解得：EF＝3，
∴DH＝EF＝×3＝，
故选：C．
16．解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△ABG∽△CFG，
∴＝
∵△ABE∽△DFE，
∴＝，
∵AE＝2ED，
∴AB＝2DF，
∴＝，
∴＝．
故选：A．
17．解：设正方形DGEF的边长为x．
由正方形DEFG得，DG∥EF，即DG∥BC，
∵AH⊥BC，
∴AP⊥DG．
∵DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC，
∴．
∵PH⊥BC，DE⊥BC，
∴PH＝ED，AP＝AH﹣PH，
即．
由BC＝48，AH＝16，DE＝DG＝x，
得，
解得x＝12．
∴正方形DEFG的边长是12，
∴S正方形DGEF＝DE2＝122＝144．
故答案为144．
18．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴，
∵AE＝AD＝BC，
∴，
∴CF＝2AF，故①，②正确；
过D作DM∥BE交AC于N，交BC于M，
∵DE∥BM，BE∥DM，
∴四边形BMDE是平行四边形，
∴BM＝DE＝BC，
∴BM＝CM，CN＝NF，
∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，
∴DN⊥CF，
∴DN垂直平分CF，
∴DF＝DC，
故③正确；
∵△AEF∽△CBF，
∴，
∴S△AEF＝S△ABF，S△ABF＝S矩形ABCD，
∴S△AEF＝S矩形ABCD，
又∵S四边形CDEF＝S△ACD﹣S△AEF＝S矩形ABCD﹣S矩形ABCD＝S矩形ABCD，
∴S四边形CDEF＝S△ABF，故④正确；
故答案为①②③④．
19．解：连接BD，
如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，AD＝BC，AD∥BC，
∵EF⊥AC，
∴EF∥BD，
又∵DE∥BF，
∴四边形BDEF为平行四边形，
∴DE＝BF，
由AE：FB＝1：2，设AE＝x，FB＝DE＝2x，BC＝3x，
∴AE：CF＝x：5x＝1：5，
∵AE∥CF，
∴△AEH∽△CFH，
∴AH：HC＝AE：CF＝1：5，
∴AH：AC＝1：6，
故答案为：1：6．
20．解：∵∠EGD＝∠FDG＝∠EFD＝90°，EF＝EG，
∴四边形EFDG为正方形，
同理可得，四边形IHJD为正方形，
∴∠EFA＝∠AIH＝90°，
又∠BAC＝90°，
即∠EAF+∠FAH＝90°，
又∵∠EAF+∠AEF＝90°，
∴∠FAH＝∠AEF，
∴△AEF∽△HAI，
∴，
设AF＝x，则AI＝AF+FI＝x+（FD﹣ID）＝x+7﹣5＝x+2，
即，
解得：x1＝5，x2＝﹣7（不合题意，舍去）．
故AF＝5，
∴AD＝AF+FD＝5+7＝12．
故答案为：12．
21．证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵∠AED＝∠ABD+∠BAE，∠BAF＝∠MAN+∠BAE，∠MAN＝∠ABD，
∴∠AED＝∠BAF，
∴△AED∽△FAB，
∴，即AD AB＝BF DE，
∴AB2＝BF DE，
∵AB＝AD，
∴AD2＝BF DE；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴△BME∽△DAE，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴MN∥BD，
∴EF∥MN．
22．（1）证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠BCD+∠ACE＝90°，
∵AE⊥CE，
∴∠AEC＝90°，
∴∠ACE+∠CAE＝90°，
∴∠BCD＝∠CAE，
∵BD⊥DE，
∴∠BDC＝90°，
∴∠BDC＝∠AEC，
∴△BDC∽△CEA；
（2）如图，过点A作AM⊥BC于点M，过点D作DN⊥BC，交BC的延长线于点N，
∴∠AMB＝∠DNC＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠B＝∠DCN，
∴△ABM≌△DCN（AAS），
∴BM＝CN，AM＝DN，
∵AB＝AE，AM⊥BC，
∴BM＝ME，
∵BE＝4，EC＝3，
∴BC＝BE+EC＝7，
设DN＝b，
∴BM＝ME＝CN＝2，EN＝5，
∵∠AED＝90°，
由（1）得△AEM∽△EDN，
∴＝，
∴＝，
∴b＝，
∴ ABCD的面积＝BC DN＝7．
23．（1）证明：∵∠AGE＝∠CGD，AD⊥BC，即∠GDC＝90°，
∴∠ECB＝90°﹣∠CGD＝90°﹣∠AGE，
∵BE＝CE，
∴∠B＝∠ECB＝90°﹣∠CGD＝90°﹣∠AGE，
∴∠BEC＝180°﹣∠B﹣∠ECB＝180°﹣2（90°﹣∠AGE）＝2∠AGE，
∴∠BEC＝2∠AGE；
（2）如图，过点E作EF⊥BC交于点F，
由（1）知∠BEC＝2∠AGE，则∠BEC＝∠AGE+∠EAG，
∴∠AGE＝∠EAG，则AE＝EG，
∵∠EFC＝∠GDC，∠FCE＝∠DCG，
∴△EFC∽△GDC，
∵，BE＝BC，
∴，，
∵，
∴，
∵∠ABC＝∠EBC，∠EFB＝∠ADB＝90°，
∴△BEF∽△BAD，
∴，
∵，
∴，
∵AD＝，GD＝EF，
∴AG＝EF，
∴＝4．
24．解：（1）∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠CAB，
∴△AED∽△ABC，
∴∠ADF＝∠C，
又∵，
∴△ADF∽△ACG；
（2）∵△ADF∽△ACG，
∴，
∵，
∴，
又∵AG＝AF+FG，
∴．
25．证明：（1）根据题意可知AB＝CD＝3，BC＝AD＝4，∠B＝∠C＝∠A＝90°，
不妨设CN＝x，则BN＝4﹣x，
∵DN⊥MN，
∴∠MNB+∠DNC＝90°，
又∠DNC+∠NDC＝90°，
∴∠MNB＝∠NDC，
∴△BMN∽△CND，
∴，即，
解得x＝1或x＝3，
∵CN＜BN，
∴x＝1，
∴CN＝BM＝1，BN＝DC＝3，DN＝＝，MN＝＝，
∴DN＝MN；
（2）如下图，
在BC的延长线上取一点E，使得DE＝DN，则∠E＝∠DNE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠ADC＝60°，
∵AD∥BC，
∴∠ADC＝∠DCE＝60°，∠ADN＝∠DNE，
∴∠B＝DCE＝∠DNM＝60°，
∵∠BMN+∠MNB＝120°，∠MNB+∠DNE＝120°，
∴∠BMN＝∠DNE，
∴∠BMN＝∠E，
∴△BMN∽△CED，
∴
∴．