2021-2022学年北师大版九年级数学上册4.4探索三角形相似的条件解答题专题练习 （word版含答案）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《4.4探索三角形相似的条件》
解答题专题练习（附答案）
1．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝12，CD＝8，BD＝28，点P在BD上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，求PB的长．
2．如图，已知∠BAC＝∠EAD，AB＝24，AC＝48，AE＝17，AD＝34，求证：△ABC∽△AED．
3．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一点，且BE＝BD；求证：△ABE∽△ACD．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边BC、边AB上，且∠ADE＝∠B，求证：△ADC∽△DEB．
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝8cm．点M从点C出发，以2cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，点N从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一点也随即停止运动．
（1）经过几秒后，△MCN的面积等于△ABC面积的？
（2）经过几秒，△MCN与△ABC相似？
6．如图，点D在△ABC的边AB上，AC2＝AD AB，求证：△ACD∽△ABC．
7．如图，在△PAB中，点C、D在AB上，PC＝PD＝CD，∠A＝∠BPD，求证：△APC∽△PBD．
8．如图，在平行四边形ABCD中，E为DC上一点，连接AE，F为AE上一点，且∠BFE＝∠C．求证：△ABF∽△EAD．
9．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上，判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由．
10．如图，四边形ABCD是平行四边形，E是BA延长线上的一点，连接EC交AD于点F．求证：△BEC∽△DCF．
11．如图，将△ABC绕点A旋转得到△ADE，连接BD，CE．
求证：△ADB∽△AEC．
12．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，D、E分别在AB、AC上，BD＝2，CE＝5．求证：△AED∽△ABC．
13．已知：如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2），当t为何值时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？
14．已知：如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，点D是BC边上的一个动点（不与B，C点重合），∠ADE＝45°．求证：△ABD∽△DCE．
15．△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，P为BC上的动点，小慧拿含45°角的透明三角板，使45°角的顶点落在点P，三角板可绕P点旋转．
（1）如图a，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时．求证：△BPE∽△CFP；
（2）将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F．△BPE与△CFP还相似吗？（只需写出结论）
（3）在（2）的条件下，连接EF，△BPE与△PFE是否相似？若不相似，则动点P运动到什么位置时，△BPE与△PFE相似？说明理由．
16．如图，点B、D、E在一条直线上，BE交AC于点F，＝，且∠BAD＝∠CAE．
（1）求证：△ABC∽△ADE；
（2）求证：△AEF∽△BCF．
17．如图，∠A＝∠C＝∠EDF，CF＝4，CD＝AD＝6；
（1）求AE的长．
（2）求证：△ADE∽△DFE．
18．如图，已知∠DAB＝∠ECB，∠ABD＝∠CBE．求证：△ABC∽△DBE．
19．如图，设D为锐角△ABC内一点，∠ADB＝∠ACB+90°，过点B作BE⊥BD，BE＝BD，连接EC．
（1）求∠CAD+∠CBD的度数；
（2）若AC BD＝AD BC，
①求证：△ACD∽△BCE；
②求的值．
20．如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．
（1）当点Q在线段CA上时，如图1，求证：△BPE∽△CEQ．
（2）当点Q在线段CA的延长线上时，如图2，△BPE和△CEQ是否相似？说明理由；若BP＝1，CQ＝，求PQ的长．
参考答案
1．解：设DP＝x，则BP＝BD﹣x＝14﹣x，
∵AB⊥BD于B，CD⊥BD于D，
∴∠B＝∠D＝90°，
∴当＝时，△ABP∽△CDP，即＝，
解得x＝，
经检验x＝是分式方程的解，
BP＝28﹣＝16.8；
当＝时，△ABP∽△PDC，即＝，
解得x1＝4，x2＝24，
经检验，x＝4或24是分式方程的解，
BP＝28﹣4＝24，BP＝28﹣24＝4，
∴当BP为16.8或4或24时，以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似．
2．证明：∵AB＝24，AC＝48，AE＝17，AD＝34，
∴＝＝，
∴＝，
∵∠BAC＝∠EAD，
∴△BAC∽△EAD．
3．证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD．
∵BE＝BD，
∴∠BED＝∠BDE．
∴∠AEB＝∠ADC．
∴△ABE∽△ACD．
4．证明：在△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠EDC＝∠ADE+∠ADC＝∠B+∠BED，∠ADE＝∠B，
∴∠DEB＝∠ADC，
在△ADC和△DEB中，∠ADC＝∠DEB，∠C＝∠B，
∴△ADC∽△DEB．
5．解：（1）设经过x秒，△MCN的面积等于△ABC面积的．
×2x（8﹣x）＝×8×10×．
解得x1＝x2＝4．
答：经过4秒后，△MCN的面积等于△ABC面积的；
（2）设经过t秒，△MCN与△ABC相似．
∵∠C＝∠C，
∴可分为两种情况：
①＝，即＝，
解得t＝；
②＝，即＝．
解得t＝．
答：经过或秒，△MCN与△ABC相似．
6．证明：∵AC2＝AD AB，
∴AC：AB＝AD：AC．
又∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC．
7．证明：∵PC＝PD，
∴∠PCD＝∠PDC，
∵∠A+∠APC＝∠PCD，∠B+∠BPD＝∠PDC，
又∵∠A＝∠BPD，
∴∠B＝∠APC，
∴△APC∽△PBD．
8．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAF＝∠AED，且∠C+∠D＝180°，
又∵∠BFE+∠BFA＝180°，
∵∠BFE＝∠C，
∴∠BFA＝∠D，
∴△ABF∽△EAD．
9．解：△ABC和△DEF相似；
理由如下：由图形可知AB＝2，根据勾股定理得，BC＝2，AC＝2；DE＝，DF＝，EF＝2，
∵，
∴△ABC∽△DEF．
10．证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠B＝∠D，BE∥CD，
∴∠E＝∠DCF，
∴△BEC∽△DCF．
11．证明：∵将△ABC绕点A旋转得到△ADE，
∴AC＝AE，AB＝AD，∠CAE＝∠BAD，
∴，
∴△ADB∽△AEC．
12．证明：∵AB＝6，BD＝2，
∴AD＝4，
∵AC＝8，CE＝5，
∴AE＝3，
∴，，
∴，
∵∠EAD＝∠BAC，
∴△AED∽△ABC．
13．解：∵∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，
∴AB＝＝5，
则BP＝t，AQ＝2t，AP＝5﹣t，
∵∠PAQ＝∠BAC，
当＝时，△APQ∽△ABC，即＝，解得t＝；
当＝时，△APQ∽△ACB，即＝，解得t＝；
答：t为s或s时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．
14．证明：∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠B＝∠C＝45°，
∴∠1+∠2＝180°﹣∠B＝135°，
∵∠ADE＝45°，
∴∠2+∠3＝135°，
∴∠1＝∠3，
∵∠B＝∠C，
∴△ABD∽△DCE．
15．（1）证明：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝45°．
∵∠B+∠BPE+∠BEP＝180°，
∴∠BPE+∠BEP＝135°，
∵∠EPF＝45°，
又∵∠BPE+∠EPF+∠CPF＝180°，
∴∠BPE+∠CPF＝135°，
∴∠BEP＝∠CPF，
又∵∠B＝∠C，
∴△BPE∽△CFP（两角对应相等的两个三角形相似）．
（2）解：△BPE∽△CFP；
理由：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝45°．
∵∠B+∠BPE+∠BEP＝180°，
∴∠BPE+∠BEP＝135°，
∵∠EPF＝45°，
又∵∠BPE+∠EPF+∠CPF＝180°，
∴∠BPE+∠CPF＝135°，
∴∠BEP＝∠CPF，
又∵∠B＝∠C，
∴△BPE∽△CFP（两角对应相等的两个三角形相似）．
（3）解：动点P运动到BC中点位置时，△BPE与△PFE相似，
证明：同（1），可证△BPE∽△CFP，
得 CP：BE＝PF：PE，
而CP＝BP，
因此 PB：BE＝PF：PE．
又因为∠EBP＝∠EPF，
所以△BPE∽△PFE（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）．
16．（1）∵∠BAD＝∠CAE
∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD
即∠BAC＝∠DAE
在△ABC和△ADE中
＝，∠BAC＝∠DAE，
∴△ABC∽△ADE；
（2）∵△ABC∽△ADE，
∴∠C＝∠E、
在△AEF和△BFC中，∠C＝∠E，∠AFE＝∠BFC，
∴△AEF∽△BCF．
17．（1）解：∵∠C＝∠EDF，∠C+∠CFD+∠CDF＝180°，∠EDF+∠ADE+∠CDF＝180°，
∴∠ADE＝∠CFD，
∵∠C＝∠A，
∴△ADE∽△CFD，
∴，
∵CF＝4，CD＝AD＝6，
∴，
∴AE＝9．
（2）证明：∵AE＝9，AD＝6，
∴，
∵△ADE∽△CFD，
∴，
∴，
∵∠A＝∠EDF，
∴△ADE∽△DFE．
18．证明：∵∠DAB＝∠ECB，∠ABD＝∠CBE，
∴△ABD∽△CBE，
∴＝，
即，
∵∠ABC＝∠ABD+∠DBC，∠DBE＝∠DBC+CBE，
∵，∠ABC＝∠DBE，
∴△ABC∽△DBE．
19．解：（1）如图1，延长CD交AB于F，
∵∠ADF＝∠CAD+∠ACD，
∠BDF＝∠CBD+∠BCD，
∴∠ADB＝∠ADF+∠BDE＝∠CAD+∠CBD+∠ACB，
∵∠ADB＝∠ACB+90°．
∴∠CAD+∠CBD＝90°；
（2）证明：①如图2，∵∠CAD+∠CBD＝90°，∠CBD+∠CBE＝90°，
∴∠CAD＝∠CBE，
∵AC BD＝AD BC，BD＝BE，
∴＝，
∴△ACD∽△BCE；
②如图2，连接DE，
∵BE⊥BD，BE＝BD，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴＝，
∵△ACD∽△BCE，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴∠ACB＝∠DCE，
∵＝，
∴△ACB∽△DCE，
∴＝，
∴＝ ＝ ＝．
20．（1）证明：∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，
∴∠B＝∠C＝∠DEF＝45°，
∵∠BEQ＝∠EQC+∠C，
即∠BEP+∠DEF＝∠EQC+∠C，
∴∠BEP+45°＝∠EQC+45°，
∴∠BEP＝∠EQC，
∵∠B＝∠C，
∴△BPE∽△CEQ；
（2）△BPE∽△CEQ；理由如下：
∵∠BEQ＝∠EQC+∠C，
即∠BEP+∠DEF＝∠EQC+∠C，
∴∠BEP+45°＝∠EQC+45°，
∴∠BEP＝∠EQC，
又∵∠B＝∠C，
∴△BPE∽△CEQ；
∴＝，
∵△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，
∴BE＝CE，
∴＝，
解得：BE＝CE＝，
∴BC＝3，
在Rt△ABC中，AB＝AC，
∴AB＝AC＝BC＝×3＝3，
∴AQ＝CQ﹣AC＝﹣3＝，AP＝AB﹣BP＝3﹣1＝2，
在Rt△APQ中，PQ＝＝＝．