2021-2022学年北师大版九年级数学上册4.6利用相似三角形测高同步训练（word版含答案）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《4.6利用相似三角形测高》同步训练（附答案）
一．作图-相似变换
1．如图，已知Rt△ABC中∠C＝90°，点D为AB边上一点，在AC边上求作一点E，使得△ADE∽△ACB．
2．如图，已知在矩形ABCD中，E是AD上一定点，连接BE，请用尺规在BE上求作一点P，使得△PCB∽△ABE．（不写作法，保留作图痕迹）
3．如图，已知△ABC，∠BAC＝90°，请用尺规过点A作直线AD交BC于点D，使△ABD与△CAD相似（保留作图痕迹，不写作法）．
4．如图，在四边形ABCD中，BD为对角线，∠ADC＝∠DBC＝90°，点E为AD边上一点，请用尺规在BD边上求作一点P，使△DEP∽△CDB．（保留作图痕迹，不写作法）
5．尺规作图：如图，在△ABC中，AB＝AC，请你利用尺规在BC边上求一点P，使得△ABC∽△PAC．（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
6．如图，在△ABC中，请用尺规作图法，在AB边上找一点D，使△ACD∽△ABC．（保留作图痕迹，不写作法）
7．如图顶角为36°的等腰三角形△ABC中，请用尺规作图法在AC边上找一点P，△BCP与△ABC相似．（保留作图痕迹，不写作法）
8．如图，已知矩形ABCD，请用尺规作图法，在对角线AC上求作一点P，使△DPA∽△ABC．（保留作图痕迹，不写作法）
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，在BC边上利用尺规求作一点P使得△APB∽△BAC（不必写作法，保留作图痕迹）．
10．如图，BE为△ABC的高，请用尺规作图法在BC边上求作一点F，使得△ACF∽△BCE．（保留作图痕迹，不写作法）
11．如图，在Rt△ABC，∠C＝90°，∠A＝30°，请把Rt△ABC分割成两个三角形，并且两个三角形都和原Rt△ABC相似．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
12．尺规作图：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝72°．请用尺规在AC上作点D，并连接BD，使得△BDC∽△ABC（保留作图痕迹，不要求写作法）．
13．如图，∠ACB＝∠CDB＝90°，在线段CD上求作一点P，使△APC∽△CDB．（不写作法，保留作图痕迹）
二．相似三角形的应用
14．有一块直角边AB＝4cm，BC＝3cm，∠B＝90°的Rt△ABC的铁片，现要按照如图所示方式截一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（　　）
A． B． C． D．
15．如图，测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，则河宽AB为　 　米．
16．李师傅用镜子测量一棵古树的高，但树旁有一条小河，不便测量镜子与树之间的距离，于是他两次利用镜子，第一次把镜子放在C点（如图所示），人在F点正好在镜中看到树尖A；第二次他把镜子放在C′处，人在F′处正好看到树尖A．已知李师傅眼睛距地面的高度为1.7m，量得CC′为12m，CF为1.8m，C′F′为3.84m，求树高．
17．如图是一个小商场的纵截面图（矩形ABCD），AD是商场的顶部，BC是商场的地面，地面由边长为80cm的正方形瓷砖铺成，从B到C共有25块瓷砖，AB和CD是商场的两面墙壁，MN是顶部正中央的一个长方形的灯饰（AM＝DN），小张同学想通过学过的几何知识来测量该商场的高度（AB）和灯饰的长度（MN），于是去商场时带了一块镜子和一根激光笔，他先把激光笔挂在墙壁CD距地面两块砖高度（CG的长）的G处，镜子水平放在地面距离C两块砖的F处，发现激光笔的反射光照到了N处：再把激光笔挂在墙壁AB距地面两块砖高度（LB的长）的L处，镜子水平放在地面距离B三块砖的P处，发现激光笔的反射光恰好又照到了N处，请你帮忙计算AB的高度和MN的长度．
18．公共自行车车桩的截面示意图如图所示，AB⊥AD，AD⊥DC，点B，C在EF上，EF∥HG，EH⊥HG，AB＝80cm，AD＝24cm，BC＝25cm，EH＝4cm，求点A到地面的距离．
19．小明利用数学课所学知识测量学校门口路灯的高度．如图：AB为路灯主杆，AE为路灯的悬臂，CD是长为1.8米的标杆．已知路灯悬臂AE与地面BG平行，当标杆竖立于地面时，主杆顶端A、标杆顶端D和地面上一点G在同一直线上，此时小明发现路灯E、标杆顶端D和地面上另一点F也在同一条直线上（路灯主杆底端B、标杆底端C和地面上点F、点G在同一水平线上）．这时小明测得FG长1.5米，路灯的正下方H距离路灯主杆底端B的距离为3米．请根据以上信息求出路灯主杆AB的高度．
20．如图，小华和同伴秋游时，发现在某地小山坡的点E处有一棵小树．他们想利用皮尺、倾角器和平面镜测量小树到山脚下的距离（即DE的长度），小华站在点B处，让同伴移动平面镜至点C处，此时小华在平面镜内可以看到点E．且测得BC＝2米，CD＝59米，∠CDE＝120°．已知小华的身高AB＝1.6米，请根据以上数据，求DE的长度．（结果保留根号）
21．如图，建筑物BC上有一根旗杆AB，小芳计划用学过的知识测量该建筑物的高度，测量方法如下：在该建筑物底部所在的平地上有一棵小树FD，小芳沿CD后退，发现地面上的点E、树顶F、旗杆顶端A恰好在一条直线上，继续后退，发现地面上的点G、树顶F、建筑物顶端B恰好在一条直线上，已知旗杆AB＝3米，FD＝4米，DE＝5米，EG＝1.5米，点A、B、C在一条直线上，点C、D、E、G在一条直线上，AC、FD均垂直于CG，请你帮助小芳求出这座建筑物的高BC．
22．如图，某同学正向着教学楼（AB）走去，他发现教学楼后面有一座5G信号接收塔（DC），可过了一会抬头一看：“怎么看不到接收塔了？”心里很是纳闷．经过了解，教学楼、接收塔的高分别是21.6m和31.6m，它们之间的距离为30m，该同学的眼睛距地面高度（EF）是1.6m．当他刚发现接收塔的顶部D恰好被教学楼的顶部A挡住时，他与教学楼（AB）之间的距离为多少米？
23．如图所示是测量河宽的示意图，AE与BC相交于点D，AB⊥BC于点B，CE⊥BC于点C，测得BD＝150m，DC＝75m，EC＝60m，求河宽AB．
24．如图，小华和同伴在春游期间，发现在某地小山坡的点E处有一颗盛开着桃花的小桃树，他想利用平面镜测量的方式计算一下小桃树到山脚下的距离，即DE的长度，小华站在点B的位置，让同伴移动平面镜至点C处，此时小华在平面镜内可以看到点E，且BC＝3米，CD＝11.5米，∠CDE＝120°，已知小华的身高AB为2米，请你利用以上的数据求出DE的长度．（结果保留根号）
25．已知不等臂跷跷板AB长为3米，当AB的一端点A碰到地面时，（如图一）点B离地高1.5米；当AB的另一端点B碰到地面时，（如图二）点A离地高1米，求跷跷板AB的支撑点O到地面的距离为多少米？
26．课外活动，数学刘老师带领学生用下面的方法来测量学校教学楼AB的高度，在一块平面镜上做一个标记，并将镜子放在距离教学大楼底端A点15米的地面E处，刘老师让小燕同学来回移动，直至看到教学楼顶端B在镜子中的像与镜子上的标记重合．此时测得小燕与镜子的距离CE＝1.8米，小燕的眼睛距地面高度DC＝1.6米．请你计算出教学楼的高度AB是多少米？
27．“创新实践”小组想利用镜子与皮尺测量大树AB的高度，因大树底部有障碍物，无法直接测量到大树底部的距离．聪明的小颖借鉴《海岛算经》的测量方法设计出如图所示的测量方案：测量者站在点F处，将镜子放在点M处时，刚好看到大树的顶端，沿大树方向向前走2.8米，到达点D处，将镜子放在点N处时，刚好看到大树的顶端（点F，M，D，N，B在同一条直线上）．若测得FM＝1.5米，DN＝1.1米，测量者眼睛到地面的距离为1.6米，求大树AB的高度．
28．小亮想用镜子测量一棵松树的高度，如图所示，第一次他把镜子水平放置在C点，人在F点时正好在镜子中看到树尖A；第二次把镜子水平放置在D点，人在G点正好看到树尖A，已知B、C、F、D、H在水平地面的同一直线上，小亮的眼睛距离地面1.7m，得CD＝34m，CF＝1.7m，DH＝3.4m，请你求出松树的高．
29．为更好筹备“十四运”的召开，小颖及其小组成员将利用所学知识测量一个广告牌的高度EF．在第一次测量中，小颖来回走动，走到点D时，其影子末端与广告牌影子末端重合于点H，其中DH＝1m．随后，组员在直线DF上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线DF上的对应位置为点G．镜子不动，小颖从点D沿着直线FD后退5m到B点时，恰好在镜子中看到顶端E的像与标记G重合，此时BG＝2m．
如图，已知AB⊥BF，CD⊥BF，EF⊥BF，小颖的身高为1.5m（眼睛到头顶距离忽略不计），平面镜的厚度忽略不计．根据以上信息，求广告牌的高度EF．
30．如图，AB和CD表示两根直立于地面的柱子，AD和BC表示起固定作用的两根钢筋，AD与BC的交点为E，已知AB＝6m，CD＝9m，求点E离地面的高度EF．
31．新型冠状病毒感染引发“疫情就是命令，现场就是战场”．家住武汉火神山医院旁的小华，目睹这与时间赛跑的建设场面，在家里的小华从离窗台A水平距离2m的M点望去，通过窗台A处刚好俯瞰到远处医院箱式板房顶部远端E点，小华又向窗户方向前进0.8m到Q点，恰好通过窗台A处看到板房顶部近处D点，已知AB、CD、EF、MN都垂直于地面BC，N、F在直线BC上，MQ、DE都平行于地面BC，BC长300m，请你帮助小华计算DE的长度．
32．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看一到位于A处的树木（即点D在直线AC上）．
33．如图，小明家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间的地板F处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点D射进房间的地板E处，小明测得窗子距地面的高度OD＝1m，窗高CD＝1.5m，并测得OE＝1m，OF＝5m，求围墙AB的高度．
34．数学实践小组想利用镜子的反射测量池塘边一棵树的高度AB．测量和计算的部分步骤如下：
①如图，树与地面垂直，在地面上的点C处放置一块镜子，小明站在BC的延长线上，当小明在镜子中刚好看到树的顶点A时，测得小明到镜子的距离CD＝2米，小明的眼睛E到地面的距离ED＝1.5米；
②将镜子从点C沿BC的延长线向后移动10米到点F处，小明向后移动到点H处时，小明的眼睛G又刚好在镜子中看到树的顶点A，这时测得小明到镜子的距离FH＝3米；
③计算树的高度AB；
35．西安市的大雁塔又名“慈恩寺塔”，是国家级文物保护单位，玄奘为保存由天竺经丝绸之路带回长安的经卷主持修建了大雁塔，最初五层，后加盖至九层，是西安市的标志性建筑之一，某校社会实践小组为了测量大雁塔的高度，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC＝4米，将标杆CD向后平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得FG＝6米，GC＝53米，请你根据以上数据，计算大雁塔的高度AB．
参考答案
一．作图-相似变换
1．解：如图，点E即为所求．
2．解：如图，点P即为所求作．
3．解：如图，直线AD即为所求作．
4．解：如图，点P即为所求作．
5．解：如图所示：点P即为所求．
6．解：如图，△ACD即为所求．
7．解：如图，点P即为所求．
理由：∵AB＝AC，∠A＝36°
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣36°）＝72°，
∵BP平分∠ABC，
∴∠PBC＝∠ABC＝36°，
∵∠PBC＝∠A＝36°，∠C＝∠C，
∴△PBC∽△BAC．
8．解：如图，点P即为所求．
9．解：如图所示：△APB∽△BAC，点P即为所求．
10．解：如图，△ACF即为所求．
11．解：如图所示，△ACD、△CBD都与Rt△ABC相似．
12．解：如图，点D即为所求．
13．解：如图所示，点P即为所求．
二．相似三角形的应用
14．解：如图，过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q．
∵S△ABC＝ AB BC＝ AC BP，
∴BP＝．
∵DE∥AC，
∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C，
∴△BDE∽△BAC，
∴．
设DE＝x，则有：，
解得x＝，
故选：D．
15．解：∵∠ADB＝∠EDC，∠ABC＝∠ECD＝90°，
∴△ABD∽△ECD，
∴，则AB＝，
∴AB＝＝100（米）．
故答案为：100．
16．解：根据反射定律可以推出∠ACB＝∠ECF，∠AC′B＝∠E′C′F′，
∴△BAC∽△FEC、△AC′B∽△E′C′F′，
设AB＝x，BC＝y
∴，
解得．
∴这棵古树的高为10m．
17．解：过点N作NT⊥BC于T．则四边形ABTN，四边形CDNT都是矩形，设AB＝NT＝CD＝xcm．
由题意，BC＝80×25＝2000（cm），CG＝CF＝LB＝2×80＝160（cm），BP＝3×80＝240（cm），
∵∠B＝∠PTN＝90°，∠NPT＝∠LPB，
∴△LBP∽△NTP，
∴＝，
∴＝，
∴PT＝x，
同法可证，△GCF∽△NTF，
可得FT＝NT＝x，
∵BP+PT+TF+CF＝2000，
∴240+x+x+160＝2000，
∴x＝640，
∴DN＝CT＝640+160＝800（cm），AB＝CD＝640（cm），
∴AM＝DN＝800（cm），
∴MN＝AD﹣AM﹣DN＝2000﹣1600＝400（cm），
答：AB的高度为640cm，MN的长度为400cm．
18．解：过点A作AM⊥BF于点M，过点C作CN⊥AB于点N，
∵AB⊥AD，AD⊥DC，
∴AB∥CD，
∵AD＝24cm，则NC＝24cm，
∵∠AMB＝∠CNB＝90°，∠ABM＝∠CBN，
∴△BNC∽△BMA，
∴，
∴，
则：AM＝＝，
故点A到地面的距离是：+4＝（cm）．
答：点A到地面的距离为cm．
19．解：过点D作DM⊥AB于M，交EH于点N，
∵AE∥BG，AB⊥BG，
∴AE⊥AB，
∵DM⊥AB，
∴AE∥MD∥BG，
∴AM等于△ADE的边AE上的高，
∵AB⊥BG，EH⊥BG，CD⊥BG，
∴AB∥EH∥CD，
∴AE＝BH＝3米．BM＝CD＝1.8米，
∵AE∥BG，
∴△ADE∽△GDF，
∴，即，
∴AM＝3.6（米），
∴AB＝AM+BM＝5.4（米），
答：路灯主杆AB的高度为5.4米．
20．解：过E作EF⊥BC于F，
∵∠CDE＝120°，
∴∠EDF＝60°，
设EF为x米，DF＝x米，DE＝x米，
∵∠B＝∠EFC＝90°，
∵∠ACB＝∠ECD，
∴△ABC∽△EFC，
∴，
即＝，
解得：x＝60+16，
∴DE＝（60+16）
＝（40+32）米，
答：DE的长度为（40+32）米．
21．解：由题意可得，∠ACE＝∠EDF＝90°，∠AEC＝∠FED，
∴△ACE∽△FDE，
∴，
即，
∴CD＝，
由题意可得，∠BCG＝∠FDG＝90°，∠BGC＝∠FGD，
∴△BCG∽△FDG，
∴，
即，
∴6.5BC＝4（CD+6.5），
∴6.5BC＝4×，
∴BC＝14（米），
∴这座建筑物的高BC为14米．
22．解：如图，过E作EG⊥CD交AB于H，CD于G，
根据题意可得：四边形EFCG是矩形，
∴EF＝HB＝CG＝1.6m，EH＝FB，HG＝BC＝30m，
∴AH＝20m，DG＝30m，
由AH∥DG得：△AEH∽△DEG，
∴，
即∴．
∴EH＝60．
答：某同学与教学楼（AB）之间的距离为60米．
23．解：∵AB⊥BC，CE⊥BC，
∴AB∥CE，
∴△ABD∽△ECD，
∴＝，即＝，
∴AB＝120（m）．
答：河宽AB为120m．
24．解：过E作EF⊥BC于F．
∵∠CDE＝120°，
∴∠EDF＝60°，
设DF为x米，DE＝2x米，EF＝x米，
∵∠B＝∠EFC＝90°，
∵∠ACB＝∠ECD，
∴△ABC∽△EFC，
∴＝，
∴＝，
∴x＝3+2，
∴DE＝（6+4）米
答：DE的长度为（6+4）米．
25．解：如图所示：过点B作BN⊥AH于点N，AM⊥BH于点M，
可得HO∥BN，
则△AOH∽△ABN，
故＝，
∵AB长为3米，BN长为1.5米，
∴＝①，
同理可得：△BOH∽△BAM，
则＝，
∵AB长为3米，AM长为1米，
∴＝②，
由①和②可得：AO＝1.2，OH＝0.6，
答：跷跷板AB的支撑点O到地面的距离为0.6米．
26．解：由题意得，∠AEB＝∠CED，∠BAE＝∠DCE＝90°，
∴△ABE∽△CDE，
∴，
即，
∴AB＝．
答：教学大楼的高度AB是米．
27．解：设NB的长为x米，则MB＝x+1.1+2.8﹣1.5＝（x+2.4）米．
由题意，得∠CND＝∠ANB，∠CDN＝∠ABN＝90°，
∴△CND∽△ANB，
∴．
同理，△EMF∽△AMB，
∴．
∵EF＝CD，
∴，即．
解得x＝6.6，
∵，
∴．
解得AB＝9.6．
答：大树AB的高度为9.6米．
28．解：根据反射定律可以推出∠ACB＝∠ECF，∠ADB＝∠GDH，
∵AB⊥BC，EF⊥BC，GH⊥BC，
∴△BAC∽△FEC、△ADB∽△GDH，
设AB＝x，BC＝y，
∴，
解得．
答；这棵松树的高为34米．
29．解：设广告牌的高度EF为xm，
依题意知：DB＝5m，BG＝2m，DH＝1m，AB＝CD＝1.5m．
∴GD＝DB﹣BG＝3m，
∴FG＝GD+DF＝4m．
∵CD⊥BF，EF⊥BF，
∴CD∥EF．
∴△EFH∽△CDH．
∴＝，即＝．
∴＝．
∴DF＝x﹣1．
由平面镜反射规律可得：∠EGF＝∠AGB．
∵AB⊥BF，
∴∠ABG＝90°＝∠EFG．
∴△EFG∽△ABG．
∴＝，即＝．
∴＝．
∴x＝3．
故广告牌的高度EF为3m．
30．解：∵AB∥CD，
∴△ABE∽△DCE，
∴＝＝＝，
∵EF∥AB，
∴△DEF∽△DAB，
∴＝，
∴，
解得EF＝．
∴点E离地面的高度EF为m．
31．解：延长ED交AB于H，延长MQ交BA的延长线于T．
由题意MT＝2m，MQ＝0.8m，
∴QT＝MT﹣MQ＝2﹣0.8＝1.2（m），
∵四边形BCDH是矩形，
∴DH＝BC＝300（m），
∵QT∥DH，
∴＝＝＝，
∵MT∥DE，
∴＝，
∴＝，
∴EH＝500（m），
∴DE＝500﹣300＝200（m）
32．解：DH＝100，DK＝100，AH＝15，
∵AH∥DK，
∴∠CDK＝∠A，
而∠CKD＝∠AHD，
∴△CDK∽△DAH，
∴＝，即＝，
∴CK＝．
答：出南门步恰好看一到位于A处的树木．
33．解：延长OD，
∵DO⊥BF，
∴∠DOE＝90°，
∵OD＝1m，OE＝1m，
∴∠DEB＝45°，
∵AB⊥BF，
∴∠BAE＝45°，
∴AB＝BE，
设AB＝EB＝xm，
∵AB⊥BF，CO⊥BF，
∴AB∥CO，
∴△ABF∽△COF，
∴＝，
∴＝，
解得：x＝4．
经检验：x＝4是原方程的解．
答：围墙AB的高度是4m．
34．解：设AB＝x米，BC＝y米．
∵∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD
∴△ABC∽△EDC
∴＝，
∴＝，
∵∠ABF＝∠GHF＝90°，∠AFB＝∠GFH，
∴△ABF∽△GHF，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
解得：y＝20，
把y＝20代入＝中，得x＝15，
∴树的高度AB为15米．
35．解：∵△EDC∽△EBA，△FHG∽△FBA，
∴＝，＝，
∵DC＝HG，
∴＝，
∴＝，
∴CA＝106（米），
∵＝，
∴＝，
∴AB＝55（米），
答：大雁塔的高度AB为55米．