第3章 第4课时 函数的最值-高中数学人教A版（2019）必修第一册同步试题精编（Word含答案解析）

函数的最值
学习目标：
1.理解最值的概念．
2.能结合函数的单调性和简单函数的性质求函数的最值.
知识要点：
1.函数的最大值
设函数的定义域为，如果存在实数满足：
（1），都有_______；
（2），使得________.
那么，我们称是的最大值.
2. 函数的最小值
设函数的定义域为，如果存在实数满足：
（1），都有_____；
（2），使得_____.
那么，我们称是的最小值.
典型例题：
题组一　二次函数的最值问题
例1. 当时，求函数的最大值（其中为常数）．
变式：设求函数的最小值的解析式.
题组二　根据函数的最值求参数
例2.已知函数，当函数在上的最小值为-3时，求实数的值.
变式：已知二次函数在区间上的最大值为3，求实数a的值．
题组三　其他函数的最值问题
例3.求下列函数的值域：
（1），.（2），（3）
变式：求下列函数的值域：
（1）；（2）
题组四　分段函数的单调性
例4. 设函数（为常数），对任意，当时，，求实数的取值范围.
变式：已知函数在上满足：对任意，都有，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题组五　不等式的恒成立与有解问题
例5. 已知函数.
（1）若 ，试求函数的最小值；
（2）对于任意的，不等式成立，试求a的取值范围.
变式：已知函数的零点为
（1）求二次函数的解析式；
（2）若对于任意的，不等式恒成立，求的取值范围．
（3）若对于任意的，不等式恒成立，求的取值范围．
当堂检测：
1.函数的值域为______
2.已知函数.当时，函数的最大值与最小值之差为，求的值.
2. 当时，若关于的不等式有解，则实数的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
3. 已知是上的减函数，则实数的取值范围为______．
4. 已知二次函数的最小值为，且.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在区间上的最大值．
参考答案：
知识要点：
1.（1）；（2）.
2.（1）；（2）.
典型例题：
例1. (1) 当对称轴在所给范围左侧，即时：当时，；
(2) 当对称轴在所给范围之间，即时：
当时，；
(3) 当对称轴在所给范围右侧．即时：当时，．
综上所述：．
变式：，，
函数图像的对称轴为直线，
∴当时，即时，
.
当，即时，在上是减函数，
∴.
当时，在上是增函数，
∴.
综上：.
例2.由题意得函数图像的开口向上，对称轴方程为.
①当，即时，在上单调递减，
∴，解得，符合题意；
②当，即时，由题意得.得，
∴或，不合题意，舍去；
③当，即时，在上单调递增，
∴，解得，符合题意.综上可知，或.
变式：（1）令，得，此时抛物线开口向下，对称轴为，且
故不合题意；
（2）令，得，此时抛物线开口向上，闭区间的右端点距离对称轴远些，故符合题意；
（3）若，得，经检验，符合题意．
综上，或
例3. （1）函数，
设，则，∵，∴
那么函数转化为
其对称轴，∴在上单调递增
∴，即，故得的值域为.
（2），
因为且，所以或，
所以或，所以值域为.
（3），
当时，，
当时，，或，
所以或且，
综上，所以值域为：.
变式：（1）
，
当时，，
当时，，
，，
综上，所以值域为：.
（2）易知．
又
．
时，有最大值，或时，有最小值0，
所以时，易得，故求的值域为．
例4.（1）由题意，函数在定义域上增，则，而且,
所以.
变式：C
由题意，得到在上单调递减，
因此只需，解得.
故选：C.
例5.（1）最小值为；（2）.
解：（1）依题意得.
因为，所以 .
当且仅当，即时，等号成立.所以.
故当时，的最小值为 .
（2）因为，所以要使得“任意的，不等式成立”，只要“在上恒成立”.
不妨设，
则只要在上恒成立.
所以 即，解得.
所以的取值范围是.
变式：（1）由题知2和3是方程的两个根．
由根与系数的关系得即，所以．
（2）不等式对于任意恒成立，由于的对称轴是，
由二次函数的知识可得，当时二次函数取最大值，
所以只需，即，解得或．
（3）当时，取得最小值为12，故，即
解得，即的取值范围为.
当堂检测：
1.
，
令，由在单调递减，在单调递增，
所以，当时，，当时，
所以，
值域为：.
2.函数在上单调递增，
此时函数的最大值为，最小值为，
所以，即，解得.
2. A
不等式有解即不等式有解，
令，
当时，，
因为当时不等式有解，
所以，实数的取值范围是，
故选：A.
3.
解：当时，为减函数，故
又因为是上的减函数，
所以，解得.所以实数的取值范围为
故答案为：
4. （1）设，由于该函数有最小值，则，
由已知条件可得，解得，故；
（2）.
①当时，函数在区间上单调递减，则；
②当时，函数在区间上单调递减，在上单调递增，
所以，.
当时，因为，故当时，.
当时，因为，故当时，.
综上所述，.