第一章 第八课时 1.4.1.2 空间中直线、平面的平行-高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册同步试题精编（Word含答案解析）

1.4.1.2 空间中直线、平面的平行
学习目标：
熟练掌握用方向向量、法向量证明线线、线面、面面间的平行关系．
方法要点：
1利用向量证明线线平行的思路
证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可．
2证明线面平行问题的方法
（1）证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；
（2）证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内；
（3）证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内．
3证明面面平行问题的方法
（1）利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行．
（2）将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明．
典型例题：
题组一 证明线线平行
例1 在长方体中，，点M在棱上，且，点S在上，且，点N，R分别为的中点．求证：．
变式 如图所示，在正方体中，E，F分别为和的中点．求证：四边形是平行四边形．
题组二 证明线面平行
例2 在四棱锥中，四边形是正方形，侧棱垂直于底面，E是的中点．证明：平面．
变式 在如图所示的多面体中，平面，，，，，，，，G是的中点，求证：平面．
题组三 证明面面平行
例3 已知正方体的棱长为2，E，F分别是的中点，
求证：平面平面．
变式 在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，F是棱的中点．
试用向量的方法证明：平面平面．
当堂检测：
1．已知向量分别是直线的方向向量，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．如果直线l的方向向量是，且直线l上有一点P不在平面α上，平面α的法向量是，那么（ ）
A． B． C． D．l与α斜交
3．若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，能使的是（ ）
A． B．
C． D．
4．设平面的一个法向量分别为，则的位置关系为____________．
5．已知直线平面，且l的一个方向向量为则实数m的值是________．
参考答案
例1.【答案】，证明见详解
【解析】
【分析】
【详解】证明方法一 如图所示，建立空间直角坐标系，
根据题意得．
则分别为的方向向量，
所以，
所以，所以，因为，
所以．
方法二 设，
则，
．
所以，所以．
又，所以．
变式 【答案】四边形是平行四边形，证明见详解
【解析】
【分析】
【详解】证明以点D为坐标原点，分别以为正交基底建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴四边形是平行四边形．
例2【答案】
【解析】
【分析】
【详解】
证明如图所示，建立空间直角坐标系，D是坐标原点，设．
连接，交于点G，连接，
依题意得．
方法一设平面的法向量为，
又，
，
则有
即
即
令，则所以，
又，
所以．
所以．
又平面，所以平面．
方法二 因为四边形是正方形，
所以G是此正方形的中心，
故点G的坐标为，所以．
又，
所以，这表明．
而平面，且平面，
所以平面．
方法三 假设存在实数使得，
即，
则有
解得
所以，又平面，
所以平面．
变式 【答案】平面，证明见详解
【解析】
【分析】
【详解】证明∵平面平面平面，
∴．
又∵，
∴两两垂直．
以点E为坐标原点，分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
由已知得，，
∴．
设平面的法向量为，
则即
令，得，则，
∴，即．
∵平面，
∴平面．
例3.【答案】
【解析】
【分析】
【详解】证明建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
设是平面的法向量，
则，
即得
令，则，所以可取．
同理，设是平面的一个法向量．
由，
得
解得
令，得，
所以．
因为，即，
所以平面平面．
变式 【答案】平面平面，证明见详解
【解析】
【分析】
【详解】证明因为，F是棱的中点，
所以，所以为正三角形．
因为为等腰梯形，，所以．
取的中点M，连接，
则，所以．
以D为原点，为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，
则，
所以，
所以，
所以，
又平面平面，
所以平面平面．
当堂检测
1．【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】由题意得，，∴．
2．【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】∵直线l的方向向量是，平面α的法向量是，
∴，
∴直线l在平面α内或者与平面平行，
又直线l上有一点P不在平面α上，
∴．
3．【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】若，则．
而A中，
B中，
C中，只有D选项中．
4．【答案】平行
【解析】
【分析】
【详解】∵，∴．
5．【答案】
【解析】
【分析】
【详解】∵平面，
∴存在实数x，y，使，
∴，
∴∴．