第一章 第六课时 1.3.2 空间向量运算的坐标表示-高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册同步试题精编（Word含答案解析）

1.3.2 空间向量运算的坐标表示
学习目标：
1．掌握空间向量的坐标表示．
2．掌握空间两点间距离公式．
3．会用向量的坐标解决一些简单的几何问题．
方法要点：
1．空间向量坐标运算的规律及注意点
（1）由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定；
（2）直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算．
（3）由条件求向量或点的坐标：把向量坐标形式设出来，通过解方程（组），求出其坐标．
2．利用空间向量的坐标运算的一般步骤
（1）建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系．
（2）求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标．
（3）论证、计算：结合公式进行论证、计算．
（4）转化：转化为平行与垂直、夹角与距离问题．
典型例题：
题组一 空间向量的坐标运算
例1 （1）已知O为坐标原点，A，B，C三点的坐标分别是．求点P的坐标，使．
（2）已知．若，且与垂直，求．
变式已知，则________，______，________．
题组二 向量的坐标表示的应用
命题角度1 空间平行垂直问题
例2 如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，M是线段的中点．
求证：（1）平面；
（2）平面．
命题角度2 夹角、距离问题
例3 如图，在直三棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）中，，棱，N为的中点．
（1）求的长；
（2）求与所成角的余弦值．
变式 如图，长为1的正方体中，E，F分别为的中点，G在棱上，且，H为的中点．
（1）求证：；
（2）求的长．
（3）求与所成角的余弦值；
命题角度3 利用空间向量解决探索性问题
例4 正方体中，若G是的中点，点H在平面上，且，试判断点H的位置．
当堂检测：
1．已知，O为坐标原点，若，则点B的坐标应为（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，且，则等于（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
3．已知向量，且与互相垂直，则k的值是（ ）
A．1 B． C． D．
4．在空间直角坐标系中，，若，则m的值为________．
5．已知，则向量与的夹角为________．
参考答案
典型例题：
例1 【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
【详解】（1），
∴．
设点P的坐标为，则，
∵，
∴，则点P的坐标为．
（2）∵，且，
∴
化简，得解得．
因此，．
变式【答案】
【解析】
【分析】
【详解】，，
∴，
∴．
例2 【答案】（1）平面，证明见详解；（2）平面证明见详解
【解析】
【分析】
【详解】证明（1）如图，建立空间直角坐标系，
设，连接，
则点N，E的坐标分别为．
∴．
又点A，M的坐标分别是，
∴．
∴．
又与不共线，∴．
又∵平面，平面，
∴平面．
（2）由（1）知．
∵，
∴，∴，
∴．
同理，．
又，且平面，平面，
∴平面．
例3 【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
【详解】如图，以C为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．
（1）依题意得，
∴，
∴线段的长为．
（2）依题意得，
∴，
∴．
又，
∴．
又异面直线所成角为锐角或直角，
故与所成角的余弦值为．
变式 【答案】（1），证明见详解；（2）（3）
【解析】
【分析】
【详解】（1）证明如图，建立空间直角坐标系，D为坐标原点，则有．
，
．
∴，
∴，即．
（2）∵，
∴，
∴．
∴的长为．
（3）∵．
∴．
又，，
∴．
即异面直线与所成角的余弦值为．
例4 【答案】H为线段的中点时，
【解析】
【分析】
【详解】解如图所示，以D为原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，则，
因为G是A1D的中点，所以点G的坐标为，
因为点H在平面上，设点H的坐标为，
因为，
，又，
所以，解得．
所以点H的坐标为，所以H为线段的中点．
即当H为线段的中点时，．
当堂检测
1．【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】．
2．【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】，由已知得，且，解得．
3．【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】依题意得，
所以，
而，
所以，解得．
4．【答案】或13
【解析】
【分析】
【详解】，
所以．
所以或13．
5．【答案】
【解析】
【分析】
【详解】∵，
∴，
，
∴，
又∵，
∴．