第一章 第四课时 1.2.2 空间向量基本定理的初步应用-高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册同步试题精编（Word含答案解析）

1.2.2 空间向量基本定理的初步应用
分层演练 综合提升
基础巩固
1．如图，已知空间四边形中，，顺次连接各边中点P，Q，R，S，所得图形是（ ）
A．长方形 B．正方形 C．梯形 D．菱形
2．如图，长方体中，，E，F，G分别是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A．0 B． C． D．
3．如图，二面角等于，A，B是棱l上两点，分别在平面α，β内，，且，则的长等于（ ）
A． B． C．4 D．5
4．如图，在空间四边形中，，，，则异面直线与所成角的大小是________．
5．在平行六面体中，设，E，F分别是的中点．
（1）用向量表示；
（2）若，求实数x，y，z的值．
能力提升
6．在四面体中，G是底面的重心，且，则等于（ ）
A． B． C．1 D．3
7．如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，M是侧棱的中点，则异面直线和所成的角的大小是________．
8．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是________．（填序号）
①；
②；
③向量与的夹角是；
④与所成角的余弦值为．
挑战创新
9．（多选）在四面体中，以上说法正确的有（ ）
A．若，则可知
B．若Q为的重心，则
C．若，则
D．若四面体各棱长都为2，M，N分别为的中点，则
10．如图，正方体中，P是的中点，O是底面的中心．求证：平面．
参考答案
基础巩固
1．【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】
因为．
同理，所以，
所以四边形为平行四边形．
又，
所以，即．
又，
故，而，
所以，故四边形为菱形．
2．【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】根据题意可得，
，
从而得到和垂直，故其所成角的余弦值为0．
3．【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】∵二面角等于，，所以，
∵，
∴
．即．
4．【答案】
【解析】
【分析】
【详解】依题意可知
．
设直线与所成角为α，则，故．
5．【答案】
【解析】
【分析】
【详解】（1）如图，连接，
，
．
（2）
，
∴．
能力提升
6．【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】连接（图略），
，
∴，则．
7．【答案】
【解析】
【分析】
【详解】不妨设棱长为2，则，
，
则．
8．【答案】①②
【解析】
【分析】
【详解】以顶点A为端点的三条棱长都相等，它们彼此的夹角都是，
可设棱长为1，则，
，
而
，所以①正确．
，所以②正确．
向量，
显然为等边三角形，则．
所以向量与的夹角是，向量与的夹角是，则③不正确．
又，
则，
，
，
所以，
所以④不正确，故①②正确．
挑战创新
9．【答案】ABC
【解析】
【分析】
【详解】对于A，∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，故A正确；
对于B，若Q为的重心，则，
∴，
∴，即，故B正确；
对于C，∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故C正确；
对于D，∵
，
∴，
∵
．
∴，故D错误，故选ABC．
10．【答案】平面，证明见详解
【解析】
【分析】
【详解】证明如图，连接，则过点O，令，则，
且，
．
∴
．
∴，即．
又，
∴
，
∴，
即．又平面，
∴平面．