第一章 第一课时 1.1.1 空间向量及其线性运算-高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册同步试题精编（Word含答案解析）
文档属性
| 名称 | 第一章 第一课时 1.1.1 空间向量及其线性运算-高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册同步试题精编（Word含答案解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 638.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-01 20:08:20 | ||
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文档简介
1.1.1 空间向量及其线性运算
学习目标：
1．理解空间向量的概念．（难点）
2．掌握空间向量的线性运算．（重点）
3．掌握共线向量定理、共面向量定理及推论的应用．（重点、难点）
方法要点：
1．空间向量的概念问题
在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反．
2．利用数乘运算进行向量表示的注意点
（1）数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．
（2）明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙利用线段的中点进行解题．
3．向量共线的判定及应用
（1）证明空间图形中的两直线平行，可以转化为证明两直线的方向向量共线问题．解题时应注意向量共线与两直线平行的区别．
（2）判断或证明两向量，共线，就是寻找实数，使成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达．
（3）判断或证明空间中的三点（如，，）共线的方法：是否存在实数，使＝；
4．解决向量共面的策略
（1）若已知点在平面内，则有或，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数．
（2）证明三个向量共面方法：
①设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若，则向量，，共面；
②寻找平面，证明这些向量与平面平行．
（3）证明空间四点，，，共面方法：
①；
②对空间任一点，；
③对空间任一点，；
④（或，或）．
典型例题：
题组一 向量概念的应用
例1 （1）下列关于空间向量的说法中正确的是（ ）
A．方向相反的两个向量是相反向量
B．空间中任意两个单位向量必相等
C．若向量，满足，则
D．相等向量其方向必相同
（2）（多选）下列说法中正确的是（ ）
A．若，则，的长度相同，方向相同或相反
B．若向量是向量的相反向量，则
C．空间向量的加法满足结合律
D．任一向量与它的相反向量不相等
变式：下列关于空间向量的命题中，正确的命题的序号是________．
①长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；
②平行且模相等的两个向量是相等向量；
③若，则；
④两个向量相等，则它们的起点与终点相同．
题组二 空间向量线性运算
例2 在空间四边形中，为的重心，，，分别为边，和的中点，化简下列各表达式．
（1）；
（2）．
变式：在平行六面体中，为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A． B． C． D．
题组三 向量共线判定及应用
例3 如图所示，已知四边形是空间四边形，，分别是边，的中点，，分别是边，上的点，且，．求证：四边形是梯形．
变式：（1）已知，，三点共线，为直线外空间任意一点，若，则________．
（2）如图所示，在正方体中，在上，且，在对角线上，且．求证：，，三点共线．
题组三 向量共面的判定
例4 已知，，三点不共线，平面外一点满足．
（1）判断，，三个向量是否共面；
（2）判断是否在平面内．
变式（1）如图所示，已知矩形和矩形所在的平面互相垂直，点，分别在对角线，上，且，．求证：向量，，共面．
（2）已知，，，分别是空间四边形的边，，，的中点，求证：
①，，，四点共面；
②平面．
当堂检测：
1．设有四边形，为空间任意一点，且，则四边形是（ ）
A．空间四边形 B．平行四边形 C．等腰梯形 D．矩形
2．若空间中任意四点，，，满足，其中，则（ ）
A．直线
B．直线
C．点可能在直线上，也可能不在直线上
D．以上都不对
3．在下列条件中，使与、、一定共面的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知点在平面内，并且对空间任意一点，都有，则的值是（ ）
A．1 B．0 C．3 D．
5．已知非零向量，不共线，则使与共线的的值是________．
参考答案
例1（1）答案 D
解析 A中，方向相反，长度相等的两个向量是相反向量；B中，单位向量模都相等而方向不确定；C中，向量作为矢量不能比较大小，故选D．
（2）答案 BC
解析 ，说明与模相等，但方向不确定；对于的相反向量，故，从而B正确；空间向量的加法满足结合律，C正确；零向量的相反向量仍是零向量．故选BC．
变式：答案 ①
解析 根据向量的定义，知长度相等、方向相同的两个向量是相等向量，①正确；平行且模相等的两个向量可能是相等向量，也可能是相反向量，②不正确；当时，也有，③不正确；只要模相等、方向相同，两个向量就是相等向量，与向量的起点和终点无关，④不正确．综上可知只有①正确．
例2 解 （1）因为是的重心，所以，
所以，又因为，
所以由向量的加法法则，可知．
从而．
（2）如图所示，分别取，的中点，，连接，，
则四边形为平行四边形，且有，，而，，
所以．
变式答案 A
解析
．
例3 证明 ∵，分别是，的中点，
∴，，
则
，
∴且．
又不在直线上，
∴四边形是梯形．
变式：（1）答案 1
解析 由于，，三点共线，所以存在实数，使得，即，
所以，所以，，
所以．
（2）证明 设，，，
因为，，
所以，，
所以，
，
所以
．
又，
所以，所以，，三点共线．
例4 解（1）∵，
∴，
∴，
∴向量，，共面．
（2）由（1）知，向量，，共面，而它们有共同的起点，且，，三点不共线，
∴，，，共面，即在平面内．
变式（1）证明 因为在上，且，
所以．
同理．
所以
．
又与不共线，根据向量共面的充要条件可知，，共面．
（2）证明 如图，连接，．
①因为，由向量共面的充要条件知向量，，共面，即，，，四点共面．
②因为，所以．
又平面，平面，所以平面．
当堂检测：
1．【答案】B
【解析】
【分析】由题意，化简可得，利用向量相等证明四边形为平行四边形．
【详解】由已知得，即，是相等向量，因此，的模相等，方向相同，即四边形是平行四边形．故选B．
【点睛】本题主要考查了向量的加法，向量相等的意义，属于中档题．
2．【答案】A
【解析】
【分析】利用减法法则化简已知得，再根据，有公共起点，即可判断得解．
【详解】因为，所以，
所以，
即，
即，所以与共线．
又，有公共起点，所以，，三点在同一直线上，即直线．
故选：A
3．【答案】C
【解析】
【分析】根据四点共面需要满足的条件，对四个选项进行逐一分析即可得到结果．
【详解】空间的四点、、、四点共面，
只需满足，
且即可，
对于A，中，故此时四点、、、四点不共面；
对于B，中，此时四点、、、四点不共面；
对于C，，，
即，，此时四点、、、四点共面；
对于D，，则，，此时四点、、、四点不共面；
故选：C
【点睛】本题考查空间中四点共面的判断，注意四点共面判断的二级结论的使用即可．
4．【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：因为，且，，，四点共面，所以必有，解得，故选D．
考点：空间向量的共面问题．
5．【答案】
【解析】
【分析】由平面向量共线定理可设，由平面向量基本定理列方程即可求解．
【详解】若与共线，
则
因为非零向量，不共线，
所以，即，所以，
故答案为：
学习目标：
1．理解空间向量的概念．（难点）
2．掌握空间向量的线性运算．（重点）
3．掌握共线向量定理、共面向量定理及推论的应用．（重点、难点）
方法要点：
1．空间向量的概念问题
在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反．
2．利用数乘运算进行向量表示的注意点
（1）数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．
（2）明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙利用线段的中点进行解题．
3．向量共线的判定及应用
（1）证明空间图形中的两直线平行，可以转化为证明两直线的方向向量共线问题．解题时应注意向量共线与两直线平行的区别．
（2）判断或证明两向量，共线，就是寻找实数，使成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达．
（3）判断或证明空间中的三点（如，，）共线的方法：是否存在实数，使＝；
4．解决向量共面的策略
（1）若已知点在平面内，则有或，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数．
（2）证明三个向量共面方法：
①设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若，则向量，，共面；
②寻找平面，证明这些向量与平面平行．
（3）证明空间四点，，，共面方法：
①；
②对空间任一点，；
③对空间任一点，；
④（或，或）．
典型例题：
题组一 向量概念的应用
例1 （1）下列关于空间向量的说法中正确的是（ ）
A．方向相反的两个向量是相反向量
B．空间中任意两个单位向量必相等
C．若向量，满足，则
D．相等向量其方向必相同
（2）（多选）下列说法中正确的是（ ）
A．若，则，的长度相同，方向相同或相反
B．若向量是向量的相反向量，则
C．空间向量的加法满足结合律
D．任一向量与它的相反向量不相等
变式：下列关于空间向量的命题中，正确的命题的序号是________．
①长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；
②平行且模相等的两个向量是相等向量；
③若，则；
④两个向量相等，则它们的起点与终点相同．
题组二 空间向量线性运算
例2 在空间四边形中，为的重心，，，分别为边，和的中点，化简下列各表达式．
（1）；
（2）．
变式：在平行六面体中，为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A． B． C． D．
题组三 向量共线判定及应用
例3 如图所示，已知四边形是空间四边形，，分别是边，的中点，，分别是边，上的点，且，．求证：四边形是梯形．
变式：（1）已知，，三点共线，为直线外空间任意一点，若，则________．
（2）如图所示，在正方体中，在上，且，在对角线上，且．求证：，，三点共线．
题组三 向量共面的判定
例4 已知，，三点不共线，平面外一点满足．
（1）判断，，三个向量是否共面；
（2）判断是否在平面内．
变式（1）如图所示，已知矩形和矩形所在的平面互相垂直，点，分别在对角线，上，且，．求证：向量，，共面．
（2）已知，，，分别是空间四边形的边，，，的中点，求证：
①，，，四点共面；
②平面．
当堂检测：
1．设有四边形，为空间任意一点，且，则四边形是（ ）
A．空间四边形 B．平行四边形 C．等腰梯形 D．矩形
2．若空间中任意四点，，，满足，其中，则（ ）
A．直线
B．直线
C．点可能在直线上，也可能不在直线上
D．以上都不对
3．在下列条件中，使与、、一定共面的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知点在平面内，并且对空间任意一点，都有，则的值是（ ）
A．1 B．0 C．3 D．
5．已知非零向量，不共线，则使与共线的的值是________．
参考答案
例1（1）答案 D
解析 A中，方向相反，长度相等的两个向量是相反向量；B中，单位向量模都相等而方向不确定；C中，向量作为矢量不能比较大小，故选D．
（2）答案 BC
解析 ，说明与模相等，但方向不确定；对于的相反向量，故，从而B正确；空间向量的加法满足结合律，C正确；零向量的相反向量仍是零向量．故选BC．
变式：答案 ①
解析 根据向量的定义，知长度相等、方向相同的两个向量是相等向量，①正确；平行且模相等的两个向量可能是相等向量，也可能是相反向量，②不正确；当时，也有，③不正确；只要模相等、方向相同，两个向量就是相等向量，与向量的起点和终点无关，④不正确．综上可知只有①正确．
例2 解 （1）因为是的重心，所以，
所以，又因为，
所以由向量的加法法则，可知．
从而．
（2）如图所示，分别取，的中点，，连接，，
则四边形为平行四边形，且有，，而，，
所以．
变式答案 A
解析
．
例3 证明 ∵，分别是，的中点，
∴，，
则
，
∴且．
又不在直线上，
∴四边形是梯形．
变式：（1）答案 1
解析 由于，，三点共线，所以存在实数，使得，即，
所以，所以，，
所以．
（2）证明 设，，，
因为，，
所以，，
所以，
，
所以
．
又，
所以，所以，，三点共线．
例4 解（1）∵，
∴，
∴，
∴向量，，共面．
（2）由（1）知，向量，，共面，而它们有共同的起点，且，，三点不共线，
∴，，，共面，即在平面内．
变式（1）证明 因为在上，且，
所以．
同理．
所以
．
又与不共线，根据向量共面的充要条件可知，，共面．
（2）证明 如图，连接，．
①因为，由向量共面的充要条件知向量，，共面，即，，，四点共面．
②因为，所以．
又平面，平面，所以平面．
当堂检测：
1．【答案】B
【解析】
【分析】由题意，化简可得，利用向量相等证明四边形为平行四边形．
【详解】由已知得，即，是相等向量，因此，的模相等，方向相同，即四边形是平行四边形．故选B．
【点睛】本题主要考查了向量的加法，向量相等的意义，属于中档题．
2．【答案】A
【解析】
【分析】利用减法法则化简已知得，再根据，有公共起点，即可判断得解．
【详解】因为，所以，
所以，
即，
即，所以与共线．
又，有公共起点，所以，，三点在同一直线上，即直线．
故选：A
3．【答案】C
【解析】
【分析】根据四点共面需要满足的条件，对四个选项进行逐一分析即可得到结果．
【详解】空间的四点、、、四点共面，
只需满足，
且即可，
对于A，中，故此时四点、、、四点不共面；
对于B，中，此时四点、、、四点不共面；
对于C，，，
即，，此时四点、、、四点共面；
对于D，，则，，此时四点、、、四点不共面；
故选：C
【点睛】本题考查空间中四点共面的判断，注意四点共面判断的二级结论的使用即可．
4．【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：因为，且，，，四点共面，所以必有，解得，故选D．
考点：空间向量的共面问题．
5．【答案】
【解析】
【分析】由平面向量共线定理可设，由平面向量基本定理列方程即可求解．
【详解】若与共线，
则
因为非零向量，不共线，
所以，即，所以，
故答案为：