2021-2022学年人教版八年级数学上册13.3等腰三角形 填空题专题训练（word版、含解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年人教版八年级数学上册13.3等腰三角形 填空题专题训练（word版、含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 406.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-01 14:59:20 | ||
图片预览
文档简介
2021-2022学年人教版八年级数学上册《13.3等腰三角形》填空题专题训练（附答案）
一、填空题
1．如图，BD是△ABC的内角平分线，CE是△ABC的外角平分线，过A分别作AF⊥BD、AG⊥CE，垂足分别为F、G，连接FG，若AB＝6，AC＝5，BC＝4，则FG的长度为 ．
2．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，∠ACB＝3∠B，CE⊥AD，AC＝8，BC＝BD，则CE＝ ．
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，以点B为圆心，BC长为半径画弧交AC于点C和点D，再分别以点C和点D为圆心，大于DC长为半径画弧，两弧相交于点F，作射线BF交AC于点E．若∠A＝40°，则∠EBC＝ 度．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝35°，D是BC边上的动点，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠DAC的度数为 ．
5．如图，△ABC中，∠A＝∠ACB，CP平分∠ACB，BD，CD分别是△ABC的两外角的平分线，下列结论中：①CP⊥CD；②∠P＝∠A；③BC＝CD；④∠D＝90°﹣∠A；⑤PD∥AC．其中正确的结论是 （直接填写序号）．
6．如图，∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的相邻外角∠ACG的平分线相交于点F，过F作DF∥BC交AB于D，若BD＝8cm，DE＝3cm，则CE的长为 ．
7．如图，在△ABC中，∠B＝25°，∠A＝100°，点P在△ABC的三边上运动，当△PAC成为等腰三角形时，其顶角的度数是 ．
8．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE分别交AC，AB于点D，E．若∠DBC＝15°，则∠A＝ ．
9．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为30°，则底角∠B的度数是 ．
10．等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，则它的腰长、底边长分别为 ．
11．如图，△ABC中，∠B，∠C的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，分别交AB、AC于D、E，若AB+AC＝10，则△ADE的周长等于 ．
如图△ABC面积为6cm2，AP垂直∠ABC平分线BP于点P，则△PBC的面积是 cm2．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E分别为AB、AC上的点，∠BDE、∠CED的平分线分别交BC于点F、G，EG∥AB．若∠A＝38°，则∠BFD的度数为 ．
14．如图，△ABC中，AB＝8，AC＝2，∠BAC的外角平分线交BC延长线于点E，BD⊥AE于D，若AE＝AC，则AD的长为 ．
15．如图，在△ABA1中，∠B＝28°，AB＝A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2＝A1C，连接A2C．完成下列问题：
（1）∠A1A2C的度数等于 度；
（2）如果继续在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3＝A2D，连接A3D，…，依此进行下去，那么以An为顶点的锐角的度数等于 度．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，PD垂直平分AB，连接BD并延长，交边AC于点E．若△BCE是等腰三角形，则∠BAC的度数为 ．
17．已知△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，且∠BAD＝40°．点E是边AC上的一点，若△ADE为等腰三角形，则∠EDC的度数是 ．
18．如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，∠A＝100°，D为BC的中点，点E在AB上，∠BDE＝15°，P是等腰△ABC腰上的一点，若△EDP是以DE为腰的等腰三角形，则∠EDP的大小为 ．
19．如图，D是等边三角形ABC外一点，AD＝3，CD＝2，则BD的最大值是 ．
20．△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交直线AC于点D，若∠BDA＝64°，则∠ACB是 度．
21．如图所示，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，D为BC的中点，点E在AB上，∠AED＝73°，若点P是等腰△ABC的腰上的一点，则当△EDP为以DE为腰的等腰三角形时，∠EDP的度数是 ．
22．如图，已知AG⊥BD，AF⊥CE，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，若BF＝2，ED＝3，GC＝4，则△ABC的周长为 ．
23．已知a、b、c是△ABC的三边的长，且满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，则此三角形的形状为 ．
24．如图，已知点P是射线BM上一动点（P不与B重合），∠AOB＝30°，∠ABM＝60°，当∠OAP＝ 时，以A、O、B中的任意两点和P点为顶点的三角形是等腰三角形．
25．已知a，b，c为△ABC的三边长．b，c满足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a为方程|x﹣4|＝2的解，则△ABC的形状为 三角形．
26．如图，在△ABC中，高AD和BE交于点H，且BH＝AC，则∠ABC＝ ．
27．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC＝ 度．
参考答案
1．解：延长AF交BC于H，延长AG交BC于Q，如图，
∵BD平分∠ABC，
∴∠HBF＝∠ABF，
∵AF⊥BD，
∴∠AFB＝∠HFB＝90°，
∴∠BHA＝∠BAH，
∴AB＝BH＝6，AF＝FH，
同理，AC＝CQ＝5，AG＝QG，
∴CH＝BH﹣BC＝6﹣4＝2，
∴HQ＝CQ﹣CH＝5﹣2＝3，
∵AF＝FH，AG＝QG，
∴FG是△AHQ的中位线，
∴FG＝HQ＝，
故答案为：．
2．解：延长CE交AB于F，过点D作DH⊥AB于H，DN⊥AC于N，过点A作AM⊥BC于M，如图所示：
∵CE⊥AD，
∴∠AEF＝∠AEC＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠FAE＝∠CAE，DH＝DN，
在△AEF与△AEC中，，
∴△AEF≌△AEC（ASA），
∴AF＝AC＝8，∠AFE＝∠ACE，EF＝CE，
∵∠AFC＝∠B+∠ECD，
∴∠ACF＝∠B+∠ECD，
∴∠ACB＝2∠ECD+∠B，
∵∠ACB＝3∠B，
∴2∠ECD+∠B＝3∠B，
∴∠B＝∠ECD，
∴CF＝BF，
∵BC＝BD，
∴＝，
S△ADB＝DH AB＝AM BD，S△ACD＝DN AC＝AM CD，
∴＝，
即＝＝，
∴AB＝AC＝，
∴CF＝BF＝﹣8＝，
∴CE＝CF＝，
故答案为：．
3．解：∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ACB＝（180°﹣40°）÷2＝70°，
由题意可知，BC＝BD，
∴∠BDC＝∠ACB＝70°，
∴∠CBD＝180°﹣70°×2＝40°，
由题意可知，BF平分∠DBC，
∴∠EBC＝∠CBD＝20°．
故答案为：20．
4．解：如图，∵AB＝AC，∠B＝35°，
∴∠B＝∠C＝35°，
∴∠BAC＝110°，
当∠BAD＝90°时，
∠DAC＝110°﹣90°＝20°；
当∠ADB＝90°时，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠DAC＝∠BAD＝55°．
故答案为：20°或55°．
5．解：∵CP平分∠ACB，CD平分∠BCF，
∴∠PCB＝ACB，∠BCD＝BCF，
∵∠ACB+∠BCF＝180°，
∴∠PCD＝∠PCB+∠BCD＝ACB+＝（∠ACB+∠BCF）＝90°，
∴CP⊥CD；故①正确；
延长CB，
∵BD平分∠CBE，∠CBE＝∠ABH，
∴BP平分∠ABH，
∴∠PBH＝∠BCP+∠P，
∵∠A+2∠PCB＝2∠PBH，
∴∠A+2∠PCB＝2∠BCP+2∠P，
∴∠A＝2∠P，
即：∠P＝∠A，故②正确；
假设BC＝CD，
∴∠CBD＝∠D，
∵∠EBD＝∠CBD，
∴∠EBD＝∠D，
∴AB∥CD，
∴∠DCF＝∠A，
∵∠ACB＝∠A，CD平分∠BCF，
∴∠ACB＝∠BCD＝∠DCF，
∴∠A＝∠ACB＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
而△ABC中，∠A＝∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形，
∴假设不成立，故③错误；
∵BD、CD分别是△ABC的两个外角∠EBC、∠FCB的平分线，
∴∠EBD＝∠DBC，∠BCD＝∠DCF，
∴∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，
∴∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
而∠ABC＝180°﹣2∠DBC，
∠ACB＝180°﹣2∠DCB，
∴∠A+180°﹣2∠DBC+180°﹣2∠DCB＝180°，
∴∠A﹣2（∠DBC+∠DCB）＝﹣180°，
∴∠A﹣2（180°﹣∠D）＝﹣180°，
∴∠A﹣2∠D＝180°，
∴∠D＝90°﹣∠A，故④正确；
∵∠EBC＝∠A+∠ACB，∠A＝∠ACB，
∴∠A＝∠EBC，
∵∠EBD＝EBC，
∴∠EBD＝∠A，
∴PD∥AC．故⑤正确；
故答案为：①②④⑤．
6．解：∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∵DF∥BC，
∴∠DFB＝∠CBF，
∴∠ABF＝∠DFB，
∴BD＝DF＝8cm，
同理，CE＝EF，
∵EF＝DF﹣DE＝5cm，
∴CE＝5cm，
故答案为：5cm．
7．解：①如图1，点P在AB上时，AP＝AC，顶角为∠A＝100°，
②∵∠B＝25°，∠A＝100°，
∴∠C＝180°﹣25°﹣100°＝55°，
如图2，点P在BC上时，若AC＝PC，顶角为∠C＝55°，
如图3，若AC＝AP，则顶角为∠CAP＝180°﹣2∠C＝180°﹣2×55°＝70°，
综上所述，顶角为100°或55°或70°．
故答案为：100°或55°或70°．
8．解：设∠A＝x，
∵DE垂直平分线AB，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝x，
∴∠ABC＝15°+x，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC＝15°+x，
在△ABC中，根据三角形内角和等于180°得，
15°+x+15°+x+x＝180°，
解得x＝50°．
故答案为：50°．
9．解：当△ABC为锐角三角形时，
如图1，设AB的垂直平分线交线段AC于点D，交AB于点E，
∵∠ADE＝30°，DE⊥AB，
∴∠A＝90°﹣30°＝60°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠A）＝60°；
当△ABC为钝角三角形时，
如图2，设AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，
∵∠ADE＝30°，DE⊥AB，
∴∠DAB＝60°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠B+∠C＝∠DAB，
∴∠B＝30°；
综上可知∠B的度数为60°或30°，
故答案为：60°或30°．
10．解：设等腰三角形的腰长为2x，
由题意得2x+x＝9或2x+x＝12，
解得x＝3或4，
∴等腰三角形的腰长为6或8，
∵等腰三角形的周长为9+12＝21，
∴该等腰三角形的底边长为：21﹣2×6＝9或21﹣2×8＝5，
∵6+6＝12＞9，5+8＞8，
∴等腰三角形的腰长，底边长分别为：6，9或8，5．
故答案为6，9或8，5．
11．解：∵BF平分∠ABC，
∴∠DBF＝∠CBF，
∵DE∥BC，
∴∠CBF＝∠DFB，
∴∠DBF＝∠DFB，
∴BD＝DF，
同理FE＝EC，
∴△ADE的周长＝AD+AE+ED＝AD+DF+AE+EF＝（AD+BD）+（AE+CE）＝AB+AC＝10，
故答案为：10．
12．解：延长AP交BC于点E，如图所示．
∵AP垂直∠ABC的平分线BP于点P，
∴∠ABP＝∠EBP．
在△ABP和△EBP中，
，
∴△ABP≌△EBP（ASA），
∴AP＝EP．
∵△APC和△EPC等底同高，
∴S△APC＝S△CPE，
∴S△PBC＝S△BPE+S△CPE＝S△ABC＝×6＝3（cm2），
故答案为：3．
13．解：∵AB＝AC，∠A＝38°，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣38°）＝71°，
∵EG平分∠DEC，
∴∠CEG＝∠DEG，
∵EG∥AB，
∴∠CEG＝∠A，∠GED＝∠ADE，
∴∠A＝∠EDA＝38°，
∵FD平分∠BDE，
∴∠BDF＝∠FDE＝71°，
∴∠BFD＝180﹣71°﹣71°＝38°，
故答案为：38°．
14．解：延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG，延长BA至F，
∵BD垂直平分AG，
∴BA＝BG＝8，
∠BAG＝∠G
∵∠BAG＝∠EAF，∠BAC的外角平分线交BC延长线于点E，
∴∠EAF＝∠G，∠CAE＝∠EAF，
∴∠G＝∠CAE，
∴AC∥GB，
∴∠ACE＝∠GBE，
∵AE＝AC＝2，
∴∠ACE＝∠E，
∴∠GBE＝∠E，
∴GB＝GE＝8，
∵DG+AD＝GE﹣AE，
∴2AD＝6，
∴AD＝3．
故答案为3．
15．解：（1）在△ABA1中，∠B＝28°，AB＝A1B，
∴∠BA1A＝＝＝76°，
∵A1A2＝A1C，∠BA1A是△A1A2C的外角，
∴∠A1A2C＝∠BA1A＝×76°＝38°；
（2）同理可得，∠DA3A2＝19°，∠EA4A3＝9.5°，
∴以An为顶点的锐角的度数等于度．
故答案为：38，．
16．解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝α，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝＝90°﹣α，
∵PD垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠BAD＝α，
∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝90°﹣2α，
∴∠BEC＝∠ABE+∠BAC＝3α，
当BE＝BC时，
∠BEC＝∠C，即90°﹣α＝3α，
解得α＝22.5°，
∴∠BAC＝2α＝45°；
当BE＝CE时，
∠EBC＝∠C，此时点E和点A重合，舍去；
当CE＝BC时，
∠BEC＝∠EBC，即90°﹣2α＝3α，
解得α＝18°，
∴∠BAC＝2α＝36°．
故∠BAC的度数为45°或36°．
故答案为：45°或36°．
17．解：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，且∠BAD＝40°，
∴∠CAD＝∠BAD＝40°，∠ADC＝90°，
①AE1＝DE1时，
∠ADE1＝∠CAD＝40°，
则∠E1DC＝90°﹣40°＝50°；
②AE2＝AD时，
∠ADE2＝∠AE2D＝（180°﹣40°）÷2＝70°，
则∠E2DC＝90°﹣70°＝20°．
故∠EDC的度数是50°或20°．
故答案为：50°或20°．
18．解：∵AB＝AC，∠A＝100°，
∴∠B＝（180°﹣∠A）＝40°，
∵∠BDE＝15°，
∴∠AED＝55°，
∵当△DEP是以DE为腰的等腰三角形，
①当点P在AB上，
∵DE＝DP1，
∴∠DP1E＝∠AED＝55°，
∴∠EDP1＝180°﹣55°﹣55°＝70°，
②当点P在AC上，
∵AB＝AC，D为BC的中点，
∴∠BAD＝∠CAD，
过D作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H，
∴DG＝DH，
在Rt△DEG与Rt△DP2H中，
，
∴Rt△DEG≌Rt△DP2H（HL），
∴∠AP2D＝∠AED＝55°，
∵∠BAC＝100°，
∴∠EDP2＝150°，
③当点P在AC上，
同理证得Rt△DEG≌Rt△DPH（HL），
∴∠EDG＝∠P3DH，
∴∠EDP3＝∠GDH＝180°﹣100°＝80°，
④当点P在AB上，EP＝ED时，∠EDP＝（180°﹣55°）＝62.5°．
故答案为：62.5°或70°或80°或150°．
19．解：以CD为边作等边△DCE，连接AE．
∵BC＝AC，CD＝CE，∠BCA＝∠DCE＝60°，
∴∠BCD＝∠ACE，
在△BCD和△ACE中，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴BD＝AE，
在△ADE中，
∵AD＝3，DE＝CD＝2，
∴AE≤AD+DE，
∴AE≤5，
∴AE的最大值为5，
∴BD的最大值为5．
故答案为：5．
20．解：如图1，∵DE垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∴∠BAC＝∠ABD，
∵∠BDA＝64°，
∴∠BAC＝∠ABD＝58°，
∴∠ACB＝61°；
如图2，∵DE垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∴∠BAD＝∠ABD，
∵∠BDA＝64°，
∴∠BAD＝∠ABD＝58°，
∴∠BAC＝122°，
∴∠ACB＝29°．
故∠ACB是61或29度．
故答案为：61或29．
21．解：∵AB＝AC，∠B＝50°，∠AED＝73°，
∴∠EDB＝23°，
∵当△DEP是以DE为腰的等腰三角形，
①当点P在AB上，
∵DE＝DP1，
∴∠DP1E＝∠AED＝73°，
∴∠EDP1＝180°﹣73°﹣73°＝34°，
②当点P在AC上，
∵AB＝AC，D为BC的中点，
∴∠BAD＝∠CAD，
过D作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H，
∴DG＝DH，
在Rt△DEG与Rt△DP2H中，，
∴Rt△DEG≌Rt△DP2H（HL），
∴∠AP2D＝∠AED＝73°，
∵∠BAC＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴∠EDP2＝134°，
③当点P在AC上，
同理证得Rt△DEG≌Rt△DPH（HL），
∴∠EDG＝∠P3DH，
∴∠EDP3＝∠GDH＝180°﹣80°＝100°，
④当点P在AB上，EP＝ED时，∠EDP＝（180°﹣73°）＝53.5°．
故答案为：34°或53.5°或100°或134°．
22．解：由AG⊥BD，BD是∠ABC的平分线，
可得∠ADB＝∠GDB＝90°，∠ABD＝∠GBD，BD为公共边，
∴△ADB≌△GDB，∴AB＝GB，
∵AF⊥CE，CE是∠ACB的角平分线，
同理可证；AC＝FC，
即△ABG和△ACF都是等腰三角形．
又因AG⊥BD，AF⊥CE，所以E、D分别是AF和AG的中点，
即ED是△AFG的中位线，∴FG＝2DE，
则△ABC的周长为：AB+BC+AC＝BF+FG+BF+FG+CG+FG+CG
由BF＝2，ED＝3，GC＝4，FG＝2DE＝6得则△ABC的周长为30．
故答案为：30
23．解：由已知条件a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0化简得，
（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0
∴a﹣b＝0，b﹣c＝0
即 a＝b，b＝c
∴a＝b＝c
故答案为等边三角形．
24．解：分为以下5种情况：
①OA＝OP，
∵∠AOB＝30°，OA＝OP，
∴∠OAP＝∠OPA＝（180°﹣30°）＝75°；
②OA＝AP，
∵∠AOB＝30°，OA＝AP，
∴∠APO＝∠AOB＝30°，
∴∠OAP＝180°﹣∠AOB﹣∠APO＝180°﹣30°﹣30°＝120°；
③AB＝AP，
∵∠AOM＝60°，AB＝AP，
∴∠APO＝∠ABM＝60°，
∴∠OAP＝180°﹣∠AOB﹣∠APO＝180°﹣30°﹣60°＝90°；
④AB＝BP，
∵∠ABM＝60°，AB＝BP，
∴∠BAP＝∠APO＝（180°﹣60°）＝60°，
∴∠OAP＝180°﹣∠AOB﹣∠APO＝180°﹣30°﹣60°＝90°；
⑤AP＝BP，
∵∠ABM＝60°，AP＝BP，
∴∠ABO＝∠PAB＝60°，
∴∠APO＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠OAP＝180°﹣∠AOB﹣∠APO＝180°﹣30°﹣60°＝90°；
所以当∠OAP＝75°或120°或90°时，以A、O、B中的任意两点和P点为顶点的三角形是等腰三角形，
故答案为：75°或120°或90°．
25．解：∵（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，
∴b﹣2＝0，c﹣3＝0，
解得：b＝2，c＝3，
∵a为方程|x﹣4|＝2的解，
∴a﹣4＝±2，
解得：a＝6或2，
∵a、b、c为△ABC的三边长，b+c＜6，
∴a＝6不合题意，舍去，
∴a＝2，
∴a＝b＝2，
∴△ABC是等腰三角形，
故答案为：等腰．
26．解：∵△ABC为锐角三角形，
∴高AD和BE在三角形内．
∵高AD和BE交于点H，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°．
∵∠EBD+∠BHD＝90°，∠AHE+∠HAE＝90°，∠BHD＝∠AHE，
∴∠EAD＝∠EBD，
又∵BH＝AC，∠ADC＝∠BDH＝90°，
∴△BDH≌△ADC（AAS），
∴BD＝AD，
∵∠ADB＝90°，
∴∠ABC＝45°．
故答案为45°
27．解：∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝（180°﹣∠A）＝×（180°﹣40°）＝70°，
∵MN垂直平分线AB，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝40°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70°﹣40°＝30°．
故答案为：30．
一、填空题
1．如图，BD是△ABC的内角平分线，CE是△ABC的外角平分线，过A分别作AF⊥BD、AG⊥CE，垂足分别为F、G，连接FG，若AB＝6，AC＝5，BC＝4，则FG的长度为 ．
2．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，∠ACB＝3∠B，CE⊥AD，AC＝8，BC＝BD，则CE＝ ．
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，以点B为圆心，BC长为半径画弧交AC于点C和点D，再分别以点C和点D为圆心，大于DC长为半径画弧，两弧相交于点F，作射线BF交AC于点E．若∠A＝40°，则∠EBC＝ 度．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝35°，D是BC边上的动点，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠DAC的度数为 ．
5．如图，△ABC中，∠A＝∠ACB，CP平分∠ACB，BD，CD分别是△ABC的两外角的平分线，下列结论中：①CP⊥CD；②∠P＝∠A；③BC＝CD；④∠D＝90°﹣∠A；⑤PD∥AC．其中正确的结论是 （直接填写序号）．
6．如图，∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的相邻外角∠ACG的平分线相交于点F，过F作DF∥BC交AB于D，若BD＝8cm，DE＝3cm，则CE的长为 ．
7．如图，在△ABC中，∠B＝25°，∠A＝100°，点P在△ABC的三边上运动，当△PAC成为等腰三角形时，其顶角的度数是 ．
8．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE分别交AC，AB于点D，E．若∠DBC＝15°，则∠A＝ ．
9．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为30°，则底角∠B的度数是 ．
10．等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，则它的腰长、底边长分别为 ．
11．如图，△ABC中，∠B，∠C的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，分别交AB、AC于D、E，若AB+AC＝10，则△ADE的周长等于 ．
如图△ABC面积为6cm2，AP垂直∠ABC平分线BP于点P，则△PBC的面积是 cm2．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E分别为AB、AC上的点，∠BDE、∠CED的平分线分别交BC于点F、G，EG∥AB．若∠A＝38°，则∠BFD的度数为 ．
14．如图，△ABC中，AB＝8，AC＝2，∠BAC的外角平分线交BC延长线于点E，BD⊥AE于D，若AE＝AC，则AD的长为 ．
15．如图，在△ABA1中，∠B＝28°，AB＝A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2＝A1C，连接A2C．完成下列问题：
（1）∠A1A2C的度数等于 度；
（2）如果继续在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3＝A2D，连接A3D，…，依此进行下去，那么以An为顶点的锐角的度数等于 度．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，PD垂直平分AB，连接BD并延长，交边AC于点E．若△BCE是等腰三角形，则∠BAC的度数为 ．
17．已知△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，且∠BAD＝40°．点E是边AC上的一点，若△ADE为等腰三角形，则∠EDC的度数是 ．
18．如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，∠A＝100°，D为BC的中点，点E在AB上，∠BDE＝15°，P是等腰△ABC腰上的一点，若△EDP是以DE为腰的等腰三角形，则∠EDP的大小为 ．
19．如图，D是等边三角形ABC外一点，AD＝3，CD＝2，则BD的最大值是 ．
20．△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交直线AC于点D，若∠BDA＝64°，则∠ACB是 度．
21．如图所示，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，D为BC的中点，点E在AB上，∠AED＝73°，若点P是等腰△ABC的腰上的一点，则当△EDP为以DE为腰的等腰三角形时，∠EDP的度数是 ．
22．如图，已知AG⊥BD，AF⊥CE，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，若BF＝2，ED＝3，GC＝4，则△ABC的周长为 ．
23．已知a、b、c是△ABC的三边的长，且满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，则此三角形的形状为 ．
24．如图，已知点P是射线BM上一动点（P不与B重合），∠AOB＝30°，∠ABM＝60°，当∠OAP＝ 时，以A、O、B中的任意两点和P点为顶点的三角形是等腰三角形．
25．已知a，b，c为△ABC的三边长．b，c满足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a为方程|x﹣4|＝2的解，则△ABC的形状为 三角形．
26．如图，在△ABC中，高AD和BE交于点H，且BH＝AC，则∠ABC＝ ．
27．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC＝ 度．
参考答案
1．解：延长AF交BC于H，延长AG交BC于Q，如图，
∵BD平分∠ABC，
∴∠HBF＝∠ABF，
∵AF⊥BD，
∴∠AFB＝∠HFB＝90°，
∴∠BHA＝∠BAH，
∴AB＝BH＝6，AF＝FH，
同理，AC＝CQ＝5，AG＝QG，
∴CH＝BH﹣BC＝6﹣4＝2，
∴HQ＝CQ﹣CH＝5﹣2＝3，
∵AF＝FH，AG＝QG，
∴FG是△AHQ的中位线，
∴FG＝HQ＝，
故答案为：．
2．解：延长CE交AB于F，过点D作DH⊥AB于H，DN⊥AC于N，过点A作AM⊥BC于M，如图所示：
∵CE⊥AD，
∴∠AEF＝∠AEC＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠FAE＝∠CAE，DH＝DN，
在△AEF与△AEC中，，
∴△AEF≌△AEC（ASA），
∴AF＝AC＝8，∠AFE＝∠ACE，EF＝CE，
∵∠AFC＝∠B+∠ECD，
∴∠ACF＝∠B+∠ECD，
∴∠ACB＝2∠ECD+∠B，
∵∠ACB＝3∠B，
∴2∠ECD+∠B＝3∠B，
∴∠B＝∠ECD，
∴CF＝BF，
∵BC＝BD，
∴＝，
S△ADB＝DH AB＝AM BD，S△ACD＝DN AC＝AM CD，
∴＝，
即＝＝，
∴AB＝AC＝，
∴CF＝BF＝﹣8＝，
∴CE＝CF＝，
故答案为：．
3．解：∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ACB＝（180°﹣40°）÷2＝70°，
由题意可知，BC＝BD，
∴∠BDC＝∠ACB＝70°，
∴∠CBD＝180°﹣70°×2＝40°，
由题意可知，BF平分∠DBC，
∴∠EBC＝∠CBD＝20°．
故答案为：20．
4．解：如图，∵AB＝AC，∠B＝35°，
∴∠B＝∠C＝35°，
∴∠BAC＝110°，
当∠BAD＝90°时，
∠DAC＝110°﹣90°＝20°；
当∠ADB＝90°时，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠DAC＝∠BAD＝55°．
故答案为：20°或55°．
5．解：∵CP平分∠ACB，CD平分∠BCF，
∴∠PCB＝ACB，∠BCD＝BCF，
∵∠ACB+∠BCF＝180°，
∴∠PCD＝∠PCB+∠BCD＝ACB+＝（∠ACB+∠BCF）＝90°，
∴CP⊥CD；故①正确；
延长CB，
∵BD平分∠CBE，∠CBE＝∠ABH，
∴BP平分∠ABH，
∴∠PBH＝∠BCP+∠P，
∵∠A+2∠PCB＝2∠PBH，
∴∠A+2∠PCB＝2∠BCP+2∠P，
∴∠A＝2∠P，
即：∠P＝∠A，故②正确；
假设BC＝CD，
∴∠CBD＝∠D，
∵∠EBD＝∠CBD，
∴∠EBD＝∠D，
∴AB∥CD，
∴∠DCF＝∠A，
∵∠ACB＝∠A，CD平分∠BCF，
∴∠ACB＝∠BCD＝∠DCF，
∴∠A＝∠ACB＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
而△ABC中，∠A＝∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形，
∴假设不成立，故③错误；
∵BD、CD分别是△ABC的两个外角∠EBC、∠FCB的平分线，
∴∠EBD＝∠DBC，∠BCD＝∠DCF，
∴∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，
∴∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
而∠ABC＝180°﹣2∠DBC，
∠ACB＝180°﹣2∠DCB，
∴∠A+180°﹣2∠DBC+180°﹣2∠DCB＝180°，
∴∠A﹣2（∠DBC+∠DCB）＝﹣180°，
∴∠A﹣2（180°﹣∠D）＝﹣180°，
∴∠A﹣2∠D＝180°，
∴∠D＝90°﹣∠A，故④正确；
∵∠EBC＝∠A+∠ACB，∠A＝∠ACB，
∴∠A＝∠EBC，
∵∠EBD＝EBC，
∴∠EBD＝∠A，
∴PD∥AC．故⑤正确；
故答案为：①②④⑤．
6．解：∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∵DF∥BC，
∴∠DFB＝∠CBF，
∴∠ABF＝∠DFB，
∴BD＝DF＝8cm，
同理，CE＝EF，
∵EF＝DF﹣DE＝5cm，
∴CE＝5cm，
故答案为：5cm．
7．解：①如图1，点P在AB上时，AP＝AC，顶角为∠A＝100°，
②∵∠B＝25°，∠A＝100°，
∴∠C＝180°﹣25°﹣100°＝55°，
如图2，点P在BC上时，若AC＝PC，顶角为∠C＝55°，
如图3，若AC＝AP，则顶角为∠CAP＝180°﹣2∠C＝180°﹣2×55°＝70°，
综上所述，顶角为100°或55°或70°．
故答案为：100°或55°或70°．
8．解：设∠A＝x，
∵DE垂直平分线AB，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝x，
∴∠ABC＝15°+x，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC＝15°+x，
在△ABC中，根据三角形内角和等于180°得，
15°+x+15°+x+x＝180°，
解得x＝50°．
故答案为：50°．
9．解：当△ABC为锐角三角形时，
如图1，设AB的垂直平分线交线段AC于点D，交AB于点E，
∵∠ADE＝30°，DE⊥AB，
∴∠A＝90°﹣30°＝60°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠A）＝60°；
当△ABC为钝角三角形时，
如图2，设AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，
∵∠ADE＝30°，DE⊥AB，
∴∠DAB＝60°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠B+∠C＝∠DAB，
∴∠B＝30°；
综上可知∠B的度数为60°或30°，
故答案为：60°或30°．
10．解：设等腰三角形的腰长为2x，
由题意得2x+x＝9或2x+x＝12，
解得x＝3或4，
∴等腰三角形的腰长为6或8，
∵等腰三角形的周长为9+12＝21，
∴该等腰三角形的底边长为：21﹣2×6＝9或21﹣2×8＝5，
∵6+6＝12＞9，5+8＞8，
∴等腰三角形的腰长，底边长分别为：6，9或8，5．
故答案为6，9或8，5．
11．解：∵BF平分∠ABC，
∴∠DBF＝∠CBF，
∵DE∥BC，
∴∠CBF＝∠DFB，
∴∠DBF＝∠DFB，
∴BD＝DF，
同理FE＝EC，
∴△ADE的周长＝AD+AE+ED＝AD+DF+AE+EF＝（AD+BD）+（AE+CE）＝AB+AC＝10，
故答案为：10．
12．解：延长AP交BC于点E，如图所示．
∵AP垂直∠ABC的平分线BP于点P，
∴∠ABP＝∠EBP．
在△ABP和△EBP中，
，
∴△ABP≌△EBP（ASA），
∴AP＝EP．
∵△APC和△EPC等底同高，
∴S△APC＝S△CPE，
∴S△PBC＝S△BPE+S△CPE＝S△ABC＝×6＝3（cm2），
故答案为：3．
13．解：∵AB＝AC，∠A＝38°，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣38°）＝71°，
∵EG平分∠DEC，
∴∠CEG＝∠DEG，
∵EG∥AB，
∴∠CEG＝∠A，∠GED＝∠ADE，
∴∠A＝∠EDA＝38°，
∵FD平分∠BDE，
∴∠BDF＝∠FDE＝71°，
∴∠BFD＝180﹣71°﹣71°＝38°，
故答案为：38°．
14．解：延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG，延长BA至F，
∵BD垂直平分AG，
∴BA＝BG＝8，
∠BAG＝∠G
∵∠BAG＝∠EAF，∠BAC的外角平分线交BC延长线于点E，
∴∠EAF＝∠G，∠CAE＝∠EAF，
∴∠G＝∠CAE，
∴AC∥GB，
∴∠ACE＝∠GBE，
∵AE＝AC＝2，
∴∠ACE＝∠E，
∴∠GBE＝∠E，
∴GB＝GE＝8，
∵DG+AD＝GE﹣AE，
∴2AD＝6，
∴AD＝3．
故答案为3．
15．解：（1）在△ABA1中，∠B＝28°，AB＝A1B，
∴∠BA1A＝＝＝76°，
∵A1A2＝A1C，∠BA1A是△A1A2C的外角，
∴∠A1A2C＝∠BA1A＝×76°＝38°；
（2）同理可得，∠DA3A2＝19°，∠EA4A3＝9.5°，
∴以An为顶点的锐角的度数等于度．
故答案为：38，．
16．解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝α，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝＝90°﹣α，
∵PD垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠BAD＝α，
∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝90°﹣2α，
∴∠BEC＝∠ABE+∠BAC＝3α，
当BE＝BC时，
∠BEC＝∠C，即90°﹣α＝3α，
解得α＝22.5°，
∴∠BAC＝2α＝45°；
当BE＝CE时，
∠EBC＝∠C，此时点E和点A重合，舍去；
当CE＝BC时，
∠BEC＝∠EBC，即90°﹣2α＝3α，
解得α＝18°，
∴∠BAC＝2α＝36°．
故∠BAC的度数为45°或36°．
故答案为：45°或36°．
17．解：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，且∠BAD＝40°，
∴∠CAD＝∠BAD＝40°，∠ADC＝90°，
①AE1＝DE1时，
∠ADE1＝∠CAD＝40°，
则∠E1DC＝90°﹣40°＝50°；
②AE2＝AD时，
∠ADE2＝∠AE2D＝（180°﹣40°）÷2＝70°，
则∠E2DC＝90°﹣70°＝20°．
故∠EDC的度数是50°或20°．
故答案为：50°或20°．
18．解：∵AB＝AC，∠A＝100°，
∴∠B＝（180°﹣∠A）＝40°，
∵∠BDE＝15°，
∴∠AED＝55°，
∵当△DEP是以DE为腰的等腰三角形，
①当点P在AB上，
∵DE＝DP1，
∴∠DP1E＝∠AED＝55°，
∴∠EDP1＝180°﹣55°﹣55°＝70°，
②当点P在AC上，
∵AB＝AC，D为BC的中点，
∴∠BAD＝∠CAD，
过D作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H，
∴DG＝DH，
在Rt△DEG与Rt△DP2H中，
，
∴Rt△DEG≌Rt△DP2H（HL），
∴∠AP2D＝∠AED＝55°，
∵∠BAC＝100°，
∴∠EDP2＝150°，
③当点P在AC上，
同理证得Rt△DEG≌Rt△DPH（HL），
∴∠EDG＝∠P3DH，
∴∠EDP3＝∠GDH＝180°﹣100°＝80°，
④当点P在AB上，EP＝ED时，∠EDP＝（180°﹣55°）＝62.5°．
故答案为：62.5°或70°或80°或150°．
19．解：以CD为边作等边△DCE，连接AE．
∵BC＝AC，CD＝CE，∠BCA＝∠DCE＝60°，
∴∠BCD＝∠ACE，
在△BCD和△ACE中，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴BD＝AE，
在△ADE中，
∵AD＝3，DE＝CD＝2，
∴AE≤AD+DE，
∴AE≤5，
∴AE的最大值为5，
∴BD的最大值为5．
故答案为：5．
20．解：如图1，∵DE垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∴∠BAC＝∠ABD，
∵∠BDA＝64°，
∴∠BAC＝∠ABD＝58°，
∴∠ACB＝61°；
如图2，∵DE垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∴∠BAD＝∠ABD，
∵∠BDA＝64°，
∴∠BAD＝∠ABD＝58°，
∴∠BAC＝122°，
∴∠ACB＝29°．
故∠ACB是61或29度．
故答案为：61或29．
21．解：∵AB＝AC，∠B＝50°，∠AED＝73°，
∴∠EDB＝23°，
∵当△DEP是以DE为腰的等腰三角形，
①当点P在AB上，
∵DE＝DP1，
∴∠DP1E＝∠AED＝73°，
∴∠EDP1＝180°﹣73°﹣73°＝34°，
②当点P在AC上，
∵AB＝AC，D为BC的中点，
∴∠BAD＝∠CAD，
过D作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H，
∴DG＝DH，
在Rt△DEG与Rt△DP2H中，，
∴Rt△DEG≌Rt△DP2H（HL），
∴∠AP2D＝∠AED＝73°，
∵∠BAC＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴∠EDP2＝134°，
③当点P在AC上，
同理证得Rt△DEG≌Rt△DPH（HL），
∴∠EDG＝∠P3DH，
∴∠EDP3＝∠GDH＝180°﹣80°＝100°，
④当点P在AB上，EP＝ED时，∠EDP＝（180°﹣73°）＝53.5°．
故答案为：34°或53.5°或100°或134°．
22．解：由AG⊥BD，BD是∠ABC的平分线，
可得∠ADB＝∠GDB＝90°，∠ABD＝∠GBD，BD为公共边，
∴△ADB≌△GDB，∴AB＝GB，
∵AF⊥CE，CE是∠ACB的角平分线，
同理可证；AC＝FC，
即△ABG和△ACF都是等腰三角形．
又因AG⊥BD，AF⊥CE，所以E、D分别是AF和AG的中点，
即ED是△AFG的中位线，∴FG＝2DE，
则△ABC的周长为：AB+BC+AC＝BF+FG+BF+FG+CG+FG+CG
由BF＝2，ED＝3，GC＝4，FG＝2DE＝6得则△ABC的周长为30．
故答案为：30
23．解：由已知条件a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0化简得，
（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0
∴a﹣b＝0，b﹣c＝0
即 a＝b，b＝c
∴a＝b＝c
故答案为等边三角形．
24．解：分为以下5种情况：
①OA＝OP，
∵∠AOB＝30°，OA＝OP，
∴∠OAP＝∠OPA＝（180°﹣30°）＝75°；
②OA＝AP，
∵∠AOB＝30°，OA＝AP，
∴∠APO＝∠AOB＝30°，
∴∠OAP＝180°﹣∠AOB﹣∠APO＝180°﹣30°﹣30°＝120°；
③AB＝AP，
∵∠AOM＝60°，AB＝AP，
∴∠APO＝∠ABM＝60°，
∴∠OAP＝180°﹣∠AOB﹣∠APO＝180°﹣30°﹣60°＝90°；
④AB＝BP，
∵∠ABM＝60°，AB＝BP，
∴∠BAP＝∠APO＝（180°﹣60°）＝60°，
∴∠OAP＝180°﹣∠AOB﹣∠APO＝180°﹣30°﹣60°＝90°；
⑤AP＝BP，
∵∠ABM＝60°，AP＝BP，
∴∠ABO＝∠PAB＝60°，
∴∠APO＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠OAP＝180°﹣∠AOB﹣∠APO＝180°﹣30°﹣60°＝90°；
所以当∠OAP＝75°或120°或90°时，以A、O、B中的任意两点和P点为顶点的三角形是等腰三角形，
故答案为：75°或120°或90°．
25．解：∵（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，
∴b﹣2＝0，c﹣3＝0，
解得：b＝2，c＝3，
∵a为方程|x﹣4|＝2的解，
∴a﹣4＝±2，
解得：a＝6或2，
∵a、b、c为△ABC的三边长，b+c＜6，
∴a＝6不合题意，舍去，
∴a＝2，
∴a＝b＝2，
∴△ABC是等腰三角形，
故答案为：等腰．
26．解：∵△ABC为锐角三角形，
∴高AD和BE在三角形内．
∵高AD和BE交于点H，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°．
∵∠EBD+∠BHD＝90°，∠AHE+∠HAE＝90°，∠BHD＝∠AHE，
∴∠EAD＝∠EBD，
又∵BH＝AC，∠ADC＝∠BDH＝90°，
∴△BDH≌△ADC（AAS），
∴BD＝AD，
∵∠ADB＝90°，
∴∠ABC＝45°．
故答案为45°
27．解：∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝（180°﹣∠A）＝×（180°﹣40°）＝70°，
∵MN垂直平分线AB，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝40°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70°﹣40°＝30°．
故答案为：30．