人教版 2021-2022学年八年级数学上册13.3等腰三角形 解答题专题训练（word版、含解析）
文档属性
| 名称 | 人教版 2021-2022学年八年级数学上册13.3等腰三角形 解答题专题训练（word版、含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 432.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-01 15:13:50 | ||
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文档简介
2021-2022学年人教版八年级数学上册《13.3等腰三角形》解答题专题训练（附答案）
1．如图，一个六边形的六个内角都是120°，AB＝1，BC＝CD＝3，DE＝2，求该六边形的周长．
2．如图，已知△ABC是等边三角形，D是边AC的中点，连接BD，EC⊥BC于点C，CE＝BD．求证：△ADE是等边三角形．
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．
4．如图，在△ABC中，BC＝8cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB，PE∥AC．
（1）求△PDE的周长；
（2）若∠A＝50°，求∠BPC的度数．
5．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，垂足为D．
（1）请你写出图中所有的等腰三角形；
（2）请你判断AD与BE垂直吗？并说明理由．
（3）如果BC＝10，求AB+AE的长．
6．如图，在△ABC中，∠A＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E．
（1）若∠B＝40°，求∠CDE的度数．
（2）若DE＝4，试添加一个条件，并求出BC的长度．
7．已知△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，DE∥BC．
（1）如图1，如果点E是边AC的中点，AC＝8，求DE的长；
（2）如图2，若DE平分∠ADC，∠ABC＝30°，在BC边上取点F使BF＝DF，若BC＝9，求DF的长．
8．如图，在△ABC中，AB＝AC．过点A作BC的平行线交∠ABC的角平分线于点D，连接CD．
（1）求证：△ACD为等腰三角形．
（2）若∠BAD＝140°，求∠BDC的度数．
9．如图，已知在△ABC中，CF平分∠ACB，且AF⊥CF于点F，BE平分△ABC的一个外角，且AE⊥BE于点E．
（1）求证：EF∥BC．
（2）若BC＝5，AC＝4，EF＝4，求AB的长．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC的平分线BE交AC于点D，AF⊥AB交BE于点F．
（1）如图1，若∠BAC＝40°，求∠AFE的度数．
（2）如图2，若BD⊥AC，垂足为D，BF＝8，求DF的长．
11．如图①，△ABC中，AB＝AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F．
（1）图中有几个等腰三角形？猜想：EF与BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由．
（2）如图②，若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？如果有，分别指出它们．在第（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？
（3）如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．这时图中还有等腰三角形吗？EF与BE、CF关系又如何？说明你的理由．
12．在等边△ABC中，
（1）如图1，P，Q是BC边上两点，AP＝AQ，∠BAP＝20°，求∠AQB的度数；
（2）点P，Q是BC边上的两个动点（不与B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP＝AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．
①依题意将图2补全；
②求证：PA＝PM．
13．已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．
（1）【特殊情况，探索结论】
如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE DB（填“＞”、“＜”或“＝”）．
（2）【特例启发，解答题目】
如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE DB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）．
（3）【拓展结论，设计新题】
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．
14．在等边△ABC中，D为AC的中点，延长BC至点E，使CE＝DC，连接ED并延长交AB于点F．
（1）求证：△DBE是等腰三角形；
（2）DF与DE有怎样的数量关系？请说明理由．
15．如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
（1）点M、N运动几秒时，M、N两点重合？
（2）点M、N运动几秒时，可得到等边三角形△AMN？
（3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间．
16．在△ABC中，AB＝AC．
（1）如图1，如果∠BAD＝30°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠EDC＝
（2）如图2，如果∠BAD＝40°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠EDC＝
（3）思考：通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？请用式子表示：
（4）如图3，如果AD不是BC上的高，AD＝AE，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并说明理由．
17．如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且AD＝AE，连接DE．
（1）如图①，若∠B＝∠C＝35°，∠BAD＝80°，求∠CDE的度数；
（2）如图②，若∠ABC＝∠ACB＝75°，∠CDE＝18°，求∠BAD的度数；
（3）当点D在直线BC上（不与点B、C重合）运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高．
（1）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；
（2）若D在底边的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由．
19．如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC．
求证：△BDE是等腰三角形．
20．如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB＝AC，AD∥BE，∠GBE的平分线与AD交于点D，连接CD．
（1）求证：①AB＝AD；②CD平分∠ACE．
（2）猜想∠BDC与∠BAC之间有何数量关系？并对你的猜想加以证明．
参考答案
1．解：如图，延长并反向延长BC，AF，DE．
∵六边形ABCDEF的每个内角都是120°
∴∠G＝∠H＝∠P＝60°，
∴△GHP是等边三角形，
∴六边形ABCDEF的周长＝GH+BC+CD+DE＝（1+3+3）+（3+3）+2＝15．
答：该六边形周长是15．
2．证明：∵△ABC是等边三角形，D为边AC的中点，
∴BD⊥AC，即∠ADB＝90°，
∵EC⊥BC，
∴∠BCE＝90°，
∴∠DBC+∠DCB＝90°，∠ECD+∠BCD＝90°，
∴∠ACE＝∠DBC，
∵在△CBD和△ACE中
∴△CBD≌△ACE（SAS），
∴CD＝AE，∠AEC＝∠BDC＝90°，
∵D为边AC的中点，∠AEC＝90°，
∴AD＝DE，
∴AD＝AE＝DE，
即△ADE是等边三角形，
3．证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
在△DBE和△ECF中
，
∴△DBE≌△ECF，
∴DE＝EF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）∵△DBE≌△ECF，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝（180°﹣40°）＝70°
∴∠1+∠2＝110°
∴∠3+∠2＝110°
∴∠DEF＝70°
4．解：（1）∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠ABP＝∠PBD，∠ACP＝∠PCE，
∵PD∥AB，PE∥AC，
∴∠ABP＝∠BPD，∠ACP＝∠CPE，
∴∠PBD＝∠BPD，∠PCE＝∠CPE，
∴BD＝PD，CE＝PE，
∴△PDE的周长＝PD+DE+PE＝BD+DE+EC＝BC＝8cm．
（2）∵∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝130°，
∴∠ABC+∠ACB＝65°，
∵∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB＝65°，
∴∠BPC＝180°﹣65°＝115°．
5．解：（1）根据等腰三角形的定义判断，△ABC等腰直角三角形；
∵BE为角平分线，而AE⊥AB，ED⊥CE，故AE＝DE，故△ADE均为等腰三角形；
∵BE＝BE，∠ABE＝∠DEB，
∴△ABE≌△DBE（SAS），
∴AB＝BD，
∴△ABD和△ADE均为等腰三角形；
∵∠C＝45°，ED⊥DC，
∴△EDC也符合题意，
综上所述符合题意的三角形为有△ABC，△ABD，△ADE，△EDC；
（2）AD与BE垂直．
证明：∵△ABE≌△DBE（SAS），
∴BA＝BD，EA＝EC，
∴BE垂直平分相等AD，即AD⊥BE．
（3）∵BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，EA⊥AB，
∴AE＝DE，
在Rt△ABE和Rt△DBE中
∴Rt△ABE≌Rt△DBE（HL），
∴AB＝BD，
又△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，
∴∠C＝45°，又ED⊥BC，
∴△DCE为等腰直角三角形，
∴DE＝DC，
即AB+AE＝BD+DC＝BC＝10．
6．解：（1）∵∠A＝90°，∠B＝40°，
∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝50°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝ACB＝25°，
∵DE∥BC，
∴∠CDE＝∠DCB＝25°；
（2）添加条件为：∠B＝30°，
∵∠A＝90°，∠B＝30°，
∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝60°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠DCA＝ACB＝30°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B＝30°，∠EDC＝∠DCB＝30°，
∴∠EDC＝∠ECD，
∴DE＝CE，
∵DE＝4，
∴AE＝DE＝2，CE＝DE＝4，
∴AC＝6，
∴BC＝2AC＝12．
7．解：（1）∵DC平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠ACD，
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠BCD，
∴∠EDC＝∠ACD，
∴ED＝EC，
∵点E是边AC的中点，AC＝8，
∴EC＝AC＝4，
∴DE＝4；
（2）∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠CDE＝∠BCD，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠B＝∠BCD，
∴DB＝DC．
如图2，作DG⊥BC于点G，
∵DB＝DC，DG⊥BC，
∴GB＝BC＝×9＝4.5，
∵∠ABC＝30°，BF＝DF，
∴∠BDF＝∠B＝30°，
∴∠DFG＝∠B+∠BDF＝60°，
∴∠FDG＝30°，
∴BF＝DF＝2FG，
∴GF＝1.5，
∴DF＝2FG＝3．
8．（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠1＝∠2．
∵AD∥BC，
∴∠2＝∠3．
∴∠1＝∠3．
∴AB＝AD．
∵AB＝AC，
∴AC＝AD，
∴△ACD为等腰三角形；
（2）解：由（1）知，∠1＝∠2＝∠3，
∵∠BAD＝140°，∠BAD+∠1+∠3＝180°，
∴∠1＝∠2＝∠3＝（180°﹣∠BAD）＝20°，
∠ABC＝40°，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝40°，
由（1）知，AD＝AC，
∴∠ACD＝∠ADC＝∠BDC+∠3＝∠BDC+20°，
∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD＝180°，
∴40°+（∠BDC+20°）+（∠BDC+20°）＝180°，
∴∠BDC＝50°．
9．（1）证明：延长AF交BCA于M，延长AE交CB的延长线与N，
∵AF⊥CF，
∴∠AFC＝∠MFC＝90°，
∵CF平分∠ACB，
∴∠ACF＝∠MCF，
在△ACF和△MCF中，
，
∴△ACF≌△MCF（ASA），
∴AF＝MF，
同理AE＝NE，
∴EF∥MN，
∴EF∥BC；
（2）解：∵AF＝MF，AE＝NE，
∴MN＝2EF＝2×4＝8，
∵AC＝4，
∴CM＝AC＝4，
∴CN＝MN+CM＝12，
∵BC＝5，
∴AB＝BN＝CN﹣BC＝7．
10．解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝40°，
∴∠ABC＝70°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABF＝35°，
∵AF⊥AB，
∴∠BAF＝90°，
∴∠AFE＝125°．
（2）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝CDB＝90°，
∴△ABD≌△CBD（ASA），
∴AB＝BC，
∵AB＝AC，
∴三角形ABC是等边三角形，
∴∠ABF＝30°，
∴AF＝4，
在Rt△ADF中，
DF＝2．
11．解：（1）图中有5个等腰三角形，
EF＝BE+CF，
∵△BEO≌△CFO，且这两个三角形均为等腰三角形，
可得EF＝EO+FO＝BE+CF；
（2）还有两个等腰三角形，为△BEO、△CFO，
如下图所示：∵EF∥BC，
∴∠2＝∠3，
又∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴△BEO为等腰三角形，在△CFO中，同理可证．
∴EF＝BE+CF存在．
（3）有等腰三角形：△BEO、△CFO，此时EF＝BE﹣CF，
∵如下图所示：OE∥BC，∴∠5＝∠6，
又∠4＝∠5，∴∠4＝∠6，
∴△BEO是等腰三角形，
在△CFO中，同理可证△CFO是等腰三角形，
∵BE＝EO，OF＝FC，
∴BE＝EF+FO＝EF+CF，
∴EF＝BE﹣CF
12．解：（1）∵△ABC为等边三角形
∴∠B＝60°
∴∠APC＝∠BAP+∠B＝80°
∵AP＝AQ
∴∠AQB＝∠APC＝80°，
（2）①补全图形如图所示，
②证明：过点A作AH⊥BC于点H，如图．
由△ABC为等边三角形，AP＝AQ，
可得∠PAB＝∠QAC，
∵点Q，M关于直线AC对称，
∴∠QAC＝∠MAC，AQ＝AM
∴∠MAC+∠PAC＝∠PAB+∠PAC＝60°，
∵AP＝AM，
∴△APM为等边三角形
∴PA＝PM．
13．解：（1）当E为AB的中点时，AE＝DB；
（2）AE＝DB，理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F，
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴△AEF为等边三角形，
∴AE＝EF，BE＝CF，
∵ED＝EC，
∴∠D＝∠ECD，
∵∠DEB＝60°﹣∠D，∠ECF＝60°﹣∠ECD，
∴∠DEB＝∠ECF，
在△DBE和△EFC中，
，
∴△DBE≌△EFC（SAS），
∴DB＝EF，
则AE＝DB；
（3）点E在AB延长线上时，如图所示，同理可得△DBE≌△EFC，
∴DB＝EF＝2，BC＝1，
则CD＝BC+DB＝3．
故答案为：（1）＝；（2）＝
14．（1）证明：连接BD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵D为AC的中点，
∴∠DBC＝30°，
∵CD＝CE，
∴∠E＝∠CDE，
∵∠ACB＝∠E+∠CDE＝2∠E＝60°，
∴∠E＝30°，
∴∠E＝∠DBC，
∴△DBE是等腰三角形；
（2）解：DE＝2DF．
理由：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝60°，
∵D为AC的中点，
∴∠DBC＝∠ABD＝∠ABC＝30°，
∵∠E＝30°，
∴∠DBC＝∠E，
∴DE＝BD，
∵∠BFE＝90°，∠ABD＝30°，
∴BD＝2DF，
即DE＝2DF．
15．解：（1）设点M、N运动x秒时，M、N两点重合，
x×1+12＝2x，
解得：x＝12；
（2）设点M、N运动t秒时，可得到等边三角形△AMN，如图①，
AM＝t×1＝t，AN＝AB﹣BN＝12﹣2t，
∵三角形△AMN是等边三角形，
∴t＝12﹣2t，
解得t＝4，
∴点M、N运动4秒时，可得到等边三角形△AMN．
（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，
由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处，
如图②，假设△AMN是等腰三角形，
∴AN＝AM，
∴∠AMN＝∠ANM，
∴∠AMC＝∠ANB，
∵AB＝BC＝AC，
∴△ACB是等边三角形，
∴∠C＝∠B，
在△ACM和△ABN中，
∵，
∴△ACM≌△ABN（AAS），
∴CM＝BN，
设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，
∴CM＝y﹣12，NB＝36﹣2y，CM＝NB，
y﹣12＝36﹣2y，
解得：y＝16．故假设成立．
∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M、N运动的时间为16秒．
16．解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠BAD＝30°，
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝75°，
∴∠EDC＝15°．
（2）∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠BAD＝40°，
∴∠BAD＝∠CAD＝40°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝70°，
∴∠EDC＝20°．
（3）∠BAD＝2∠EDC（或∠EDC＝∠BAD）
（4）仍成立，理由如下
∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，
∴∠BAD+∠B＝∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠AED+∠EDC＝（∠EDC+∠C）+∠EDC
＝2∠EDC+∠C
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C
∴∠BAD＝2∠EDC．
故分别填15°，20°，∠EDC＝∠BAD
17．解：（1）∵∠B＝∠C＝35°，
∴∠BAC＝110°，
∵∠BAD＝80°，
∴∠DAE＝30°，
∴∠ADE＝∠AED＝75°，
∴∠CDE＝180°﹣35°﹣30°﹣75°＝40°；
（2）∵∠ACB＝75°，∠CDE＝18°，
∴∠E＝75°﹣18°＝57°，
∴∠ADE＝∠AED＝57°，
∴∠ADC＝39°，
∵∠ABC＝∠ADB+∠DAB＝75°，
∴∠BAD＝36°；
（3）设∠ABC＝∠ACB＝y°，∠ADE＝∠AED＝x°，∠CDE＝α，∠BAD＝β
①如图1，当点D在点B的左侧时，∠ADC＝x°﹣α，
∴，
（1）﹣（2）得2α﹣β＝0，
∴2α＝β；
②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC＝x°+α，
∴，
（2）﹣（1）得α＝β﹣α，
∴2α＝β；
③如图3，当点D在点C右侧时，∠ADC＝x°﹣α，
∴，
（2）﹣（1）得2α﹣β＝0，
∴2α＝β．
综上所述，∠BAD与∠CDE的数量关系是2∠CDE＝∠BAD．
18．解：（1）DE+DF＝CG．
证明：连接AD，
则S△ABC＝S△ABD+S△ACD，即AB CG＝AB DE+AC DF，
∵AB＝AC，
∴CG＝DE+DF．
（2）当点D在BC延长线上时，（1）中的结论不成立，但有DE﹣DF＝CG．
理由：连接AD，则S△ABD＝S△ABC+S△ACD，
即AB DE＝AB CG+AC DF
∵AB＝AC，
∴DE＝CG+DF，
即DE﹣DF＝CG．
同理当D点在CB的延长线上时，则有DF﹣DE＝CG，说明方法同上．
19．证明：∵DE∥AC，
∴∠1＝∠3，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3，
∵AD⊥BD，
∴∠2+∠B＝90°，∠3+∠BDE＝90°，
∴∠B＝∠BDE，
∴BE＝DE，
∴△BDE是等腰三角形．
20．解：（1）①∵AD∥BE，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD；
②∵AD∥BE，
∴∠ADC＝∠DCE，
由①知AB＝AD，
又∵AB＝AC，
∴AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC，
∴∠ACD＝∠DCE，
∴CD平分∠ACE；
（2）∠BDC＝∠BAC，
∵BD、CD分别平分∠ABE，∠ACE，
∴∠DBC＝∠ABC，∠DCE＝∠ACE，
∵∠BDC+∠DBC＝∠DCE，
∴∠BDC+∠ABC＝∠ACE，
∵∠BAC+∠ABC＝∠ACE，
∴∠BDC+∠ABC＝∠ABC+∠BAC，
∴∠BDC＝∠BAC．
1．如图，一个六边形的六个内角都是120°，AB＝1，BC＝CD＝3，DE＝2，求该六边形的周长．
2．如图，已知△ABC是等边三角形，D是边AC的中点，连接BD，EC⊥BC于点C，CE＝BD．求证：△ADE是等边三角形．
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．
4．如图，在△ABC中，BC＝8cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB，PE∥AC．
（1）求△PDE的周长；
（2）若∠A＝50°，求∠BPC的度数．
5．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，垂足为D．
（1）请你写出图中所有的等腰三角形；
（2）请你判断AD与BE垂直吗？并说明理由．
（3）如果BC＝10，求AB+AE的长．
6．如图，在△ABC中，∠A＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E．
（1）若∠B＝40°，求∠CDE的度数．
（2）若DE＝4，试添加一个条件，并求出BC的长度．
7．已知△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，DE∥BC．
（1）如图1，如果点E是边AC的中点，AC＝8，求DE的长；
（2）如图2，若DE平分∠ADC，∠ABC＝30°，在BC边上取点F使BF＝DF，若BC＝9，求DF的长．
8．如图，在△ABC中，AB＝AC．过点A作BC的平行线交∠ABC的角平分线于点D，连接CD．
（1）求证：△ACD为等腰三角形．
（2）若∠BAD＝140°，求∠BDC的度数．
9．如图，已知在△ABC中，CF平分∠ACB，且AF⊥CF于点F，BE平分△ABC的一个外角，且AE⊥BE于点E．
（1）求证：EF∥BC．
（2）若BC＝5，AC＝4，EF＝4，求AB的长．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC的平分线BE交AC于点D，AF⊥AB交BE于点F．
（1）如图1，若∠BAC＝40°，求∠AFE的度数．
（2）如图2，若BD⊥AC，垂足为D，BF＝8，求DF的长．
11．如图①，△ABC中，AB＝AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F．
（1）图中有几个等腰三角形？猜想：EF与BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由．
（2）如图②，若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？如果有，分别指出它们．在第（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？
（3）如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．这时图中还有等腰三角形吗？EF与BE、CF关系又如何？说明你的理由．
12．在等边△ABC中，
（1）如图1，P，Q是BC边上两点，AP＝AQ，∠BAP＝20°，求∠AQB的度数；
（2）点P，Q是BC边上的两个动点（不与B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP＝AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．
①依题意将图2补全；
②求证：PA＝PM．
13．已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．
（1）【特殊情况，探索结论】
如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE DB（填“＞”、“＜”或“＝”）．
（2）【特例启发，解答题目】
如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE DB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）．
（3）【拓展结论，设计新题】
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．
14．在等边△ABC中，D为AC的中点，延长BC至点E，使CE＝DC，连接ED并延长交AB于点F．
（1）求证：△DBE是等腰三角形；
（2）DF与DE有怎样的数量关系？请说明理由．
15．如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
（1）点M、N运动几秒时，M、N两点重合？
（2）点M、N运动几秒时，可得到等边三角形△AMN？
（3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间．
16．在△ABC中，AB＝AC．
（1）如图1，如果∠BAD＝30°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠EDC＝
（2）如图2，如果∠BAD＝40°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠EDC＝
（3）思考：通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？请用式子表示：
（4）如图3，如果AD不是BC上的高，AD＝AE，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并说明理由．
17．如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且AD＝AE，连接DE．
（1）如图①，若∠B＝∠C＝35°，∠BAD＝80°，求∠CDE的度数；
（2）如图②，若∠ABC＝∠ACB＝75°，∠CDE＝18°，求∠BAD的度数；
（3）当点D在直线BC上（不与点B、C重合）运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高．
（1）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；
（2）若D在底边的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由．
19．如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC．
求证：△BDE是等腰三角形．
20．如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB＝AC，AD∥BE，∠GBE的平分线与AD交于点D，连接CD．
（1）求证：①AB＝AD；②CD平分∠ACE．
（2）猜想∠BDC与∠BAC之间有何数量关系？并对你的猜想加以证明．
参考答案
1．解：如图，延长并反向延长BC，AF，DE．
∵六边形ABCDEF的每个内角都是120°
∴∠G＝∠H＝∠P＝60°，
∴△GHP是等边三角形，
∴六边形ABCDEF的周长＝GH+BC+CD+DE＝（1+3+3）+（3+3）+2＝15．
答：该六边形周长是15．
2．证明：∵△ABC是等边三角形，D为边AC的中点，
∴BD⊥AC，即∠ADB＝90°，
∵EC⊥BC，
∴∠BCE＝90°，
∴∠DBC+∠DCB＝90°，∠ECD+∠BCD＝90°，
∴∠ACE＝∠DBC，
∵在△CBD和△ACE中
∴△CBD≌△ACE（SAS），
∴CD＝AE，∠AEC＝∠BDC＝90°，
∵D为边AC的中点，∠AEC＝90°，
∴AD＝DE，
∴AD＝AE＝DE，
即△ADE是等边三角形，
3．证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
在△DBE和△ECF中
，
∴△DBE≌△ECF，
∴DE＝EF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）∵△DBE≌△ECF，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝（180°﹣40°）＝70°
∴∠1+∠2＝110°
∴∠3+∠2＝110°
∴∠DEF＝70°
4．解：（1）∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠ABP＝∠PBD，∠ACP＝∠PCE，
∵PD∥AB，PE∥AC，
∴∠ABP＝∠BPD，∠ACP＝∠CPE，
∴∠PBD＝∠BPD，∠PCE＝∠CPE，
∴BD＝PD，CE＝PE，
∴△PDE的周长＝PD+DE+PE＝BD+DE+EC＝BC＝8cm．
（2）∵∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝130°，
∴∠ABC+∠ACB＝65°，
∵∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB＝65°，
∴∠BPC＝180°﹣65°＝115°．
5．解：（1）根据等腰三角形的定义判断，△ABC等腰直角三角形；
∵BE为角平分线，而AE⊥AB，ED⊥CE，故AE＝DE，故△ADE均为等腰三角形；
∵BE＝BE，∠ABE＝∠DEB，
∴△ABE≌△DBE（SAS），
∴AB＝BD，
∴△ABD和△ADE均为等腰三角形；
∵∠C＝45°，ED⊥DC，
∴△EDC也符合题意，
综上所述符合题意的三角形为有△ABC，△ABD，△ADE，△EDC；
（2）AD与BE垂直．
证明：∵△ABE≌△DBE（SAS），
∴BA＝BD，EA＝EC，
∴BE垂直平分相等AD，即AD⊥BE．
（3）∵BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，EA⊥AB，
∴AE＝DE，
在Rt△ABE和Rt△DBE中
∴Rt△ABE≌Rt△DBE（HL），
∴AB＝BD，
又△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，
∴∠C＝45°，又ED⊥BC，
∴△DCE为等腰直角三角形，
∴DE＝DC，
即AB+AE＝BD+DC＝BC＝10．
6．解：（1）∵∠A＝90°，∠B＝40°，
∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝50°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝ACB＝25°，
∵DE∥BC，
∴∠CDE＝∠DCB＝25°；
（2）添加条件为：∠B＝30°，
∵∠A＝90°，∠B＝30°，
∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝60°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠DCA＝ACB＝30°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B＝30°，∠EDC＝∠DCB＝30°，
∴∠EDC＝∠ECD，
∴DE＝CE，
∵DE＝4，
∴AE＝DE＝2，CE＝DE＝4，
∴AC＝6，
∴BC＝2AC＝12．
7．解：（1）∵DC平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠ACD，
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠BCD，
∴∠EDC＝∠ACD，
∴ED＝EC，
∵点E是边AC的中点，AC＝8，
∴EC＝AC＝4，
∴DE＝4；
（2）∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠CDE＝∠BCD，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠B＝∠BCD，
∴DB＝DC．
如图2，作DG⊥BC于点G，
∵DB＝DC，DG⊥BC，
∴GB＝BC＝×9＝4.5，
∵∠ABC＝30°，BF＝DF，
∴∠BDF＝∠B＝30°，
∴∠DFG＝∠B+∠BDF＝60°，
∴∠FDG＝30°，
∴BF＝DF＝2FG，
∴GF＝1.5，
∴DF＝2FG＝3．
8．（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠1＝∠2．
∵AD∥BC，
∴∠2＝∠3．
∴∠1＝∠3．
∴AB＝AD．
∵AB＝AC，
∴AC＝AD，
∴△ACD为等腰三角形；
（2）解：由（1）知，∠1＝∠2＝∠3，
∵∠BAD＝140°，∠BAD+∠1+∠3＝180°，
∴∠1＝∠2＝∠3＝（180°﹣∠BAD）＝20°，
∠ABC＝40°，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝40°，
由（1）知，AD＝AC，
∴∠ACD＝∠ADC＝∠BDC+∠3＝∠BDC+20°，
∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD＝180°，
∴40°+（∠BDC+20°）+（∠BDC+20°）＝180°，
∴∠BDC＝50°．
9．（1）证明：延长AF交BCA于M，延长AE交CB的延长线与N，
∵AF⊥CF，
∴∠AFC＝∠MFC＝90°，
∵CF平分∠ACB，
∴∠ACF＝∠MCF，
在△ACF和△MCF中，
，
∴△ACF≌△MCF（ASA），
∴AF＝MF，
同理AE＝NE，
∴EF∥MN，
∴EF∥BC；
（2）解：∵AF＝MF，AE＝NE，
∴MN＝2EF＝2×4＝8，
∵AC＝4，
∴CM＝AC＝4，
∴CN＝MN+CM＝12，
∵BC＝5，
∴AB＝BN＝CN﹣BC＝7．
10．解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝40°，
∴∠ABC＝70°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABF＝35°，
∵AF⊥AB，
∴∠BAF＝90°，
∴∠AFE＝125°．
（2）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝CDB＝90°，
∴△ABD≌△CBD（ASA），
∴AB＝BC，
∵AB＝AC，
∴三角形ABC是等边三角形，
∴∠ABF＝30°，
∴AF＝4，
在Rt△ADF中，
DF＝2．
11．解：（1）图中有5个等腰三角形，
EF＝BE+CF，
∵△BEO≌△CFO，且这两个三角形均为等腰三角形，
可得EF＝EO+FO＝BE+CF；
（2）还有两个等腰三角形，为△BEO、△CFO，
如下图所示：∵EF∥BC，
∴∠2＝∠3，
又∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴△BEO为等腰三角形，在△CFO中，同理可证．
∴EF＝BE+CF存在．
（3）有等腰三角形：△BEO、△CFO，此时EF＝BE﹣CF，
∵如下图所示：OE∥BC，∴∠5＝∠6，
又∠4＝∠5，∴∠4＝∠6，
∴△BEO是等腰三角形，
在△CFO中，同理可证△CFO是等腰三角形，
∵BE＝EO，OF＝FC，
∴BE＝EF+FO＝EF+CF，
∴EF＝BE﹣CF
12．解：（1）∵△ABC为等边三角形
∴∠B＝60°
∴∠APC＝∠BAP+∠B＝80°
∵AP＝AQ
∴∠AQB＝∠APC＝80°，
（2）①补全图形如图所示，
②证明：过点A作AH⊥BC于点H，如图．
由△ABC为等边三角形，AP＝AQ，
可得∠PAB＝∠QAC，
∵点Q，M关于直线AC对称，
∴∠QAC＝∠MAC，AQ＝AM
∴∠MAC+∠PAC＝∠PAB+∠PAC＝60°，
∵AP＝AM，
∴△APM为等边三角形
∴PA＝PM．
13．解：（1）当E为AB的中点时，AE＝DB；
（2）AE＝DB，理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F，
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴△AEF为等边三角形，
∴AE＝EF，BE＝CF，
∵ED＝EC，
∴∠D＝∠ECD，
∵∠DEB＝60°﹣∠D，∠ECF＝60°﹣∠ECD，
∴∠DEB＝∠ECF，
在△DBE和△EFC中，
，
∴△DBE≌△EFC（SAS），
∴DB＝EF，
则AE＝DB；
（3）点E在AB延长线上时，如图所示，同理可得△DBE≌△EFC，
∴DB＝EF＝2，BC＝1，
则CD＝BC+DB＝3．
故答案为：（1）＝；（2）＝
14．（1）证明：连接BD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵D为AC的中点，
∴∠DBC＝30°，
∵CD＝CE，
∴∠E＝∠CDE，
∵∠ACB＝∠E+∠CDE＝2∠E＝60°，
∴∠E＝30°，
∴∠E＝∠DBC，
∴△DBE是等腰三角形；
（2）解：DE＝2DF．
理由：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝60°，
∵D为AC的中点，
∴∠DBC＝∠ABD＝∠ABC＝30°，
∵∠E＝30°，
∴∠DBC＝∠E，
∴DE＝BD，
∵∠BFE＝90°，∠ABD＝30°，
∴BD＝2DF，
即DE＝2DF．
15．解：（1）设点M、N运动x秒时，M、N两点重合，
x×1+12＝2x，
解得：x＝12；
（2）设点M、N运动t秒时，可得到等边三角形△AMN，如图①，
AM＝t×1＝t，AN＝AB﹣BN＝12﹣2t，
∵三角形△AMN是等边三角形，
∴t＝12﹣2t，
解得t＝4，
∴点M、N运动4秒时，可得到等边三角形△AMN．
（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，
由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处，
如图②，假设△AMN是等腰三角形，
∴AN＝AM，
∴∠AMN＝∠ANM，
∴∠AMC＝∠ANB，
∵AB＝BC＝AC，
∴△ACB是等边三角形，
∴∠C＝∠B，
在△ACM和△ABN中，
∵，
∴△ACM≌△ABN（AAS），
∴CM＝BN，
设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，
∴CM＝y﹣12，NB＝36﹣2y，CM＝NB，
y﹣12＝36﹣2y，
解得：y＝16．故假设成立．
∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M、N运动的时间为16秒．
16．解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠BAD＝30°，
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝75°，
∴∠EDC＝15°．
（2）∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠BAD＝40°，
∴∠BAD＝∠CAD＝40°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝70°，
∴∠EDC＝20°．
（3）∠BAD＝2∠EDC（或∠EDC＝∠BAD）
（4）仍成立，理由如下
∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，
∴∠BAD+∠B＝∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠AED+∠EDC＝（∠EDC+∠C）+∠EDC
＝2∠EDC+∠C
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C
∴∠BAD＝2∠EDC．
故分别填15°，20°，∠EDC＝∠BAD
17．解：（1）∵∠B＝∠C＝35°，
∴∠BAC＝110°，
∵∠BAD＝80°，
∴∠DAE＝30°，
∴∠ADE＝∠AED＝75°，
∴∠CDE＝180°﹣35°﹣30°﹣75°＝40°；
（2）∵∠ACB＝75°，∠CDE＝18°，
∴∠E＝75°﹣18°＝57°，
∴∠ADE＝∠AED＝57°，
∴∠ADC＝39°，
∵∠ABC＝∠ADB+∠DAB＝75°，
∴∠BAD＝36°；
（3）设∠ABC＝∠ACB＝y°，∠ADE＝∠AED＝x°，∠CDE＝α，∠BAD＝β
①如图1，当点D在点B的左侧时，∠ADC＝x°﹣α，
∴，
（1）﹣（2）得2α﹣β＝0，
∴2α＝β；
②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC＝x°+α，
∴，
（2）﹣（1）得α＝β﹣α，
∴2α＝β；
③如图3，当点D在点C右侧时，∠ADC＝x°﹣α，
∴，
（2）﹣（1）得2α﹣β＝0，
∴2α＝β．
综上所述，∠BAD与∠CDE的数量关系是2∠CDE＝∠BAD．
18．解：（1）DE+DF＝CG．
证明：连接AD，
则S△ABC＝S△ABD+S△ACD，即AB CG＝AB DE+AC DF，
∵AB＝AC，
∴CG＝DE+DF．
（2）当点D在BC延长线上时，（1）中的结论不成立，但有DE﹣DF＝CG．
理由：连接AD，则S△ABD＝S△ABC+S△ACD，
即AB DE＝AB CG+AC DF
∵AB＝AC，
∴DE＝CG+DF，
即DE﹣DF＝CG．
同理当D点在CB的延长线上时，则有DF﹣DE＝CG，说明方法同上．
19．证明：∵DE∥AC，
∴∠1＝∠3，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3，
∵AD⊥BD，
∴∠2+∠B＝90°，∠3+∠BDE＝90°，
∴∠B＝∠BDE，
∴BE＝DE，
∴△BDE是等腰三角形．
20．解：（1）①∵AD∥BE，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD；
②∵AD∥BE，
∴∠ADC＝∠DCE，
由①知AB＝AD，
又∵AB＝AC，
∴AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC，
∴∠ACD＝∠DCE，
∴CD平分∠ACE；
（2）∠BDC＝∠BAC，
∵BD、CD分别平分∠ABE，∠ACE，
∴∠DBC＝∠ABC，∠DCE＝∠ACE，
∵∠BDC+∠DBC＝∠DCE，
∴∠BDC+∠ABC＝∠ACE，
∵∠BAC+∠ABC＝∠ACE，
∴∠BDC+∠ABC＝∠ABC+∠BAC，
∴∠BDC＝∠BAC．