2018-2019学年黑龙江省鸡西市密山实验中学八年级（上）期中数学试卷（五四学制）（Word版 含解析）

2018-2019学年黑龙江省鸡西市密山实验中学八年级（上）期中数学试卷（五四学制）
一、填空题（每小题3分，共30分）
1．（3分）若点P在线段AB的垂直平分线上，PA＝5，则PB＝　 　．
2．（3分）若分式有意义，则x的取值范围为　 　．
3．（3分）已知点A（x，﹣4）与点B（3，y）关于x轴对称　 　．
4．（3分）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长是　 　cm．
5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，若BD＝10　 　．
6．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，若∠A＝40°，则∠ABD＝　 　．
7．（3分）当a　 　时，（a﹣）0＝1．
8．（3分）若5x﹣3y﹣2＝0，则105x÷103y＝　 　．
9．（3分）在平面直角坐标系中，已知A坐标（﹣2，2），在y轴上确定一点P，则符合条件的点P共有 　 　个．
10．（3分）观察下列图形它们是按一定规律排列的，依照此规律，第20个图形共有 　 　个★．
二、选择题（每小题3分，共30分）
11．（3分）下列计算中正确的是（　　）
A．a2+b3＝2a5 B．a4÷a＝a4 C．a2 a4＝a8 D．（﹣a2）3＝﹣a6
12．（3分）下面有4个汽车标志图案，其中是轴对称图形的是（　　）
A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③
13．（3分）如图，已知△ABC是等边三角形，点O是BC上任意一点，OF分别于两边垂直，等边三角形的高为2（　　）
A．1 B．3 C．2 D．4
14．（3分）如图，AC＝BC＝10cm，∠B＝15°，则AD的长为（　　）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
15．（3分）若x2+kxy+9y2是一个完全平方式，则k的取值为（　　）
A．±6 B．6 C．3 D．±81
16．（3分）已知a2+b2＝25，且ab＝12，则（a+b）2的值是（　　）
A．13 B．49 C．37 D．1
17．（3分）下列约分正确的是（　　）
A． B．
C． D．
18．（3分）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则这个等腰三角形的顶角是（　　）
A．30° B．60° C．150° D．30°或150°
19．（3分）如（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，则m的值为（　　）
A．﹣3 B．3 C．0 D．1
20．（3分）如图所示，已知△ABC和△CDE均是等边三角形，点B、C、D在同一条直线上，AD与CE交于点N，AC与BE交于点M，则下列结论：①AD＝BE；②AN＝BM；④∠BOC＝∠DOC，⑤△CMN为等边三角形，则∠BED＝100°．其中正确的结论个数为（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
三、解答题（共60分）
21．（10分）先化简再求值
（1）x2（x﹣1）﹣x（x2+x﹣1），其中；
（2）（2x+3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）其中．
22．（8分）计算
（1）（x﹣2）（x2+4）；
（2）（6x4÷8x3）÷（﹣2x2）；
（3）（2a﹣3b）（3b+2a）；
（4）（2a+b+c）2．
23．（8分）因式分解
（1）x3﹣9x；
（2）25x2﹣16y2；
（3）（m+n）2﹣4m（m+n）+4m2；
（4）（a﹣b）2+4ab．
24．（4分）已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9，求xy与x2+y2的值．
25．（6分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．
（1）求出△ABC的面积；
（2）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（3）写出点A1，B1，C1的坐标．
26．（6分）如图△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E
27．（8分）如图：在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，且MN∥BC，求证：△AMN的周长等于AB+AC．
28．（10分）已知等腰直角△ABC，直线l经过点C，过点A，垂足分别为D，E．
（1）当点D，E分别在AB的同侧时（如图1），求证：AD+BE＝DE；
（2）当点D，E分别在AB的异侧（如图2，图3时），线段AD，DE之间又有怎样的关系，请直接写出结论．
2018-2019学年黑龙江省鸡西市密山实验中学八年级（上）期中数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、填空题（每小题3分，共30分）
1．（3分）若点P在线段AB的垂直平分线上，PA＝5，则PB＝　5　．
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得PB＝PA．
【解答】解：∵点P在线段AB的垂直平分线上，
∴PB＝PA＝5．
故答案为：5．
2．（3分）若分式有意义，则x的取值范围为　x≠1　．
【分析】分式有意义，分母不等于零．
【解答】解：依题意得 x﹣1≠0，即x≠7时有意义．
故答案是：x≠6．
3．（3分）已知点A（x，﹣4）与点B（3，y）关于x轴对称　7　．
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得x、y的值，进而可得x+y的值．
【解答】解：∵点A（x，﹣4）与点B（3，
∴x＝4，y＝4，
∴x+y＝7，
故答案为：3．
4．（3分）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长是　19　cm．
【分析】由已知条件，利用线段的垂直平分线的性质，得到AD＝CD，AC＝2AE，结合周长，进行线段的等量代换可得答案．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD＝CD，AC＝2AE＝6cm，
又∵△ABD的周长＝AB+BD+AD＝13cm，
∴AB+BD+CD＝13cm，
即AB+BC＝13cm，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝13+5＝19cm．
故答案为19．
5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，若BD＝10　5　．
【分析】求出∠ABC，求出∠DBC，根据含30度角的直角三角形性质求出DC＝BD，代入求出即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝180°﹣30°﹣90°＝60°，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠DBC＝∠ABC＝30°，
∵∠C＝90°，
∴CD＝BD＝，
故答案为：5．
6．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，若∠A＝40°，则∠ABD＝　30°　．
【分析】根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC＝∠C，再求出∠CBD，然后根据∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD代入数据计算即可得解．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣40°）＝70°，
∵BD＝BC，
∴∠CBD＝180°﹣70°×4＝40°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD
＝70°﹣40°
＝30°．
故答案为：30°．
7．（3分）当a　≠　时，（a﹣）0＝1．
【分析】直接利用零指数幂的性质分析得出答案．
【解答】解：当a≠时，（a﹣）0＝6．
故答案为：≠．
8．（3分）若5x﹣3y﹣2＝0，则105x÷103y＝　100　．
【分析】根据同底数幂的除法法则，可将所求代数式化为：105x﹣3y，而5x﹣3y的值可由已知的方程求出，然后代数求值即可．
【解答】解：∵5x﹣3y﹣4＝0，
∴5x﹣2y＝2，
∴105x÷107y＝105x﹣3y＝107＝100．
9．（3分）在平面直角坐标系中，已知A坐标（﹣2，2），在y轴上确定一点P，则符合条件的点P共有 　4　个．
【分析】分类讨论：①以OP为底时；②以AP为底时；③以AO为底边时．在直角坐标系中利用辅助线即可得到点P的位置．
【解答】解：因为△AOP为等腰三角形，所以可分成三类讨论：
①AO＝AP（有一个），
此时只要以A为圆心AO长为半径画圆，可知圆与y轴交于O点和另一个点；
②AO＝OP（有两个），
此时只要以O为圆心AO长为半径画圆，可知圆与y轴交于两个点；
③AP＝OP（一个），
作AO的中垂线，与y轴有一个交点．
综上所述，共有4个．
故答案为：4．
10．（3分）观察下列图形它们是按一定规律排列的，依照此规律，第20个图形共有 　60　个★．
【分析】排列组成的图形都是三角形．第一个图形中有1×3＝3个★，
第二个图形中有2×3＝6个★，
第三个图形中有3×3＝9个★，
…
第20个图形共有20×3＝60个★．
【解答】解：根据规律可知
第n个图形有3n个★，
所以第20个图形共有20×3＝60个★．
二、选择题（每小题3分，共30分）
11．（3分）下列计算中正确的是（　　）
A．a2+b3＝2a5 B．a4÷a＝a4 C．a2 a4＝a8 D．（﹣a2）3＝﹣a6
【分析】根据合并同类项，可判断A；根据同底数幂的除法，可判断B；根据同底数幂的乘法，可判断C；根据积的乘方，可判断D．
【解答】解：A、不是同类项不能合并；
B、同底数幂的除法底数不变指数相减；
C、同底数幂的乘法底数不变指数相加；
D、积的乘方等于乘方的积；
故选：D．
12．（3分）下面有4个汽车标志图案，其中是轴对称图形的是（　　）
A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③
【分析】利用轴对称图形性质，关于某条直线对称的图形叫轴对称图形得出即可．
【解答】解：只有第4个不是轴对称图形，其它3个都是轴对称图形．
故选：D．
13．（3分）如图，已知△ABC是等边三角形，点O是BC上任意一点，OF分别于两边垂直，等边三角形的高为2（　　）
A．1 B．3 C．2 D．4
【分析】利用等边三角形的特殊角求出OE与OF的和，可得出其与三角形的高相等，进而可得出结论．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝∠C＝60°
又∵OE⊥AB，OF⊥AC，
∴OE＝OB sin60°＝OBOC．
∴OE+OF＝（OB+OC）＝．
在等边△ABC中，高h＝BC．
∴OE+OF＝h．
又∵等边三角形的高为2，
∴OE+OF＝2，
解法二：三角形ABC的面积等于三角形AOB的面积+三角形AOC的面积，三角形ABC是等边三角形，高OF+高OE等于三角形ABC的高2．
故选：C．
14．（3分）如图，AC＝BC＝10cm，∠B＝15°，则AD的长为（　　）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【分析】根据等边对等角的性质可得∠B＝∠BAC，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠ACD＝30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答即可．
【解答】解：∵AC＝BC，
∴∠B＝∠BAC＝15°，
∴∠ACD＝∠B+∠BAC＝15°+15°＝30°，
∵AD⊥BC，
∴AD＝AC＝．
故选：C．
15．（3分）若x2+kxy+9y2是一个完全平方式，则k的取值为（　　）
A．±6 B．6 C．3 D．±81
【分析】根据完全平方式的定义解决此题．
【解答】解：x2+kxy+9y5＝x2+kxy+（3y）8．
∵x2+kxy+9y2是一个完全平方式，
∴kxy＝±2x 3y＝±2xy．
∴k＝±6．
故选：A．
16．（3分）已知a2+b2＝25，且ab＝12，则（a+b）2的值是（　　）
A．13 B．49 C．37 D．1
【分析】根据完全平方公式解决此题．
【解答】解：∵a2+b2＝25，ab＝12，
∴（a+b）2＝a2+b2+8ab＝25+2×12＝49．
故选：B．
17．（3分）下列约分正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据分式的基本性质作答．
【解答】解：A、，错误；
B、，错误；
C、，正确；
D、，错误．
故选：C．
18．（3分）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则这个等腰三角形的顶角是（　　）
A．30° B．60° C．150° D．30°或150°
【分析】读到此题我们首先想到等腰三角形分为锐角、直角、钝角等腰三角形，当为等腰直角三角形时不可能出现题中所说情况所以舍去不计，我们可以通过画图来讨论剩余两种情况．
【解答】解：①当为锐角三角形时可以画图，
高与左边腰成60°夹角，由三角形内角和为180°可得，
②当为钝角三角形时可画图，
此时垂足落到三角形外面，因为三角形内角和为180°，
由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为30°，
∴三角形的顶角为150°，
故选：D．
19．（3分）如（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，则m的值为（　　）
A．﹣3 B．3 C．0 D．1
【分析】先用多项式乘以多项式的运算法则展开求它们的积，并且把m看作常数合并关于x的同类项，令x的系数为0，得出关于m的方程，求出m的值．
【解答】解：∵（x+m）（x+3）＝x2+8x+mx+3m＝x2+（8+m）x+3m，
又∵（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，
∴4+m＝0，
解得m＝﹣3．
故选：A．
20．（3分）如图所示，已知△ABC和△CDE均是等边三角形，点B、C、D在同一条直线上，AD与CE交于点N，AC与BE交于点M，则下列结论：①AD＝BE；②AN＝BM；④∠BOC＝∠DOC，⑤△CMN为等边三角形，则∠BED＝100°．其中正确的结论个数为（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【分析】根据等边三角形的性质可得AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE，再求出∠ACD＝∠BCE，然后利用“边角边”证明△ACD和△BCE全等，根据全等三角形对应边相等可得AD＝BE，判断出①正确，全等三角形对应角相等可得∠ADC＝∠BEC，∠CAD＝∠CBE，再求出∠ACN＝∠BCM＝60°，然后利用“边角边”证明△ACN和△BCM全等，根据全等三角形对应边相等可得AN＝BM，CM＝CN，判断出②正确，利用全等三角形的性质得出BE＝AD，S△ACD＝S△BCE，由角平分线的性质得到∠BOC＝∠DOC，判断出④正确；判断出△CMN为等边三角形，判断出⑤正确，根据等边三角形的性质可得∠CMN＝60°，得到∠ACB＝∠CMN，再根据内错角相等，两直线平行可得MN∥BD，判断出③正确；求出∠ADC，即为∠BEC，再根据∠BED＝∠BEC+∠CED计算即可得解，从而判断出⑥正确．
【解答】解：∵△ABC和△CDE均是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，
∴∠ACB+∠ACE＝∠DCE+∠ACE，
即∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，（故①正确）；
∠ADC＝∠BEC，∠CAD＝∠CBE，
∵∠ACN＝180°﹣2×60°＝60°，
∴∠ACN＝∠BCM＝60°，
在△ACN和△BCM中，
，
∴△ACN≌△BCM（ASA），
∴AN＝BM，CM＝CN，（故②正确）；
∵∠ACN＝60°，CM＝CN，
∴△CMN为等边三角形，（故⑤正确）；
∴∠CMN＝60°，
∴∠ACB＝∠CMN＝60°，
∴MN∥BD，（故③正确）；
过C作CG⊥BE于G，CH⊥AD于H，
∵△ACD≌△BCE，
∴BE＝AD，S△ACD＝S△BCE，
∴×BE×CG＝，
∴CG＝CH，
∵CG⊥BE，CH⊥AD，
∴∠BOC＝∠DOC．
故④正确；
∵∠ADE＝20°，
∴∠ADC＝∠CDE﹣∠ADE＝60°﹣20°＝40°，
∴∠BEC＝40°，
∴∠BED＝∠BEC+∠CED＝40°+60°＝100°，（故⑥正确）；
综上所述，结论正确的是①②③④⑤⑥共7个．
故选：D．
三、解答题（共60分）
21．（10分）先化简再求值
（1）x2（x﹣1）﹣x（x2+x﹣1），其中；
（2）（2x+3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）其中．
【分析】（1）先根据单项式乘多项式算乘法，再合并同类项，最后代入求出答案即可；
（2）先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
【解答】解：（1）x2（x﹣1）﹣x（x2+x﹣1）
＝x3﹣x4﹣x3﹣x2+x
＝﹣8x2+x，
当时，原式＝﹣2×（）2+＝0；
（2）（2x+2y）2﹣（2x+y）（5x﹣y）
＝4x2+12xy+3y2﹣4x2+y2
＝12xy+10y2，
当时，原式＝12×）+10×（﹣）2
＝﹣2+8.5
＝0.2．
22．（8分）计算
（1）（x﹣2）（x2+4）；
（2）（6x4÷8x3）÷（﹣2x2）；
（3）（2a﹣3b）（3b+2a）；
（4）（2a+b+c）2．
【分析】（1）利用多项式乘多项式法则计算可求解；
（2）利用多项式除以单项式法则计算可求解；
（3）利用多项式乘多项式法则计算可求解；
（4）利用完全平方公式计算，再利用完全平方公式及单项式乘多项式法则计算可求解．
【解答】解：（1）（x﹣2）（x2+7）
＝x3+4x﹣7x2﹣8；
（2）（4x4÷8x5）÷（﹣2x2）
＝﹣6x2﹣4x；
（3）（8a﹣3b）（3b+8a）
＝6ab+4a3﹣9b2﹣3ab
＝4a2﹣2b2；
（4）（2a+b+c）5
＝（2a+b）2+6（2a+b）c+c2
＝6a2+4ab+b7+4ac+2bc+c5．
23．（8分）因式分解
（1）x3﹣9x；
（2）25x2﹣16y2；
（3）（m+n）2﹣4m（m+n）+4m2；
（4）（a﹣b）2+4ab．
【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式即可；
（2）直接利用平方差公式即可；
（3）直接利用完全平方公式即可进行因式分解；
（4）先进行整理，再利用完全平方公式即可．
【解答】解：（1）原式＝x（x2﹣9）
＝x（x+2）（x﹣3）；
（2）原式＝（5x+3y）（5x﹣4y）；
（3）原式＝[（m+n）﹣7m]2
＝（n﹣m）2；
（4）原式＝a5﹣2ab+b2+5ab
＝a2+2ab+b8
＝（a+b）2．
24．（4分）已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9，求xy与x2+y2的值．
【分析】利用完全平方公式把已知条件展开，然后相减即可求出xy的值，相加即可求出x2+y2的值．
【解答】解：∵（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝4，
∴x2+2xy+y2＝25①，
x2﹣2xy+y3＝9②，
①﹣②得，4xy＝16，
①+②得，6（x2+y2）＝34，解得x6+y2＝17．
故答案为：4，17．
25．（6分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．
（1）求出△ABC的面积；
（2）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（3）写出点A1，B1，C1的坐标．
【分析】（1）利用三角形的面积求法即可得出答案；
（2）首先找出A、B、C三点关于y轴的对称点，再顺次连接即可；
（3）根据坐标系写出各点坐标即可．
【解答】解：（1）如图所示：△ABC的面积：×8×5＝7.7；
（2）如图所示：
（3）A1（1，8），B1（1，8），C1（4，3）．
26．（6分）如图△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E
【分析】根据等边三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB＝60°，∠DBC＝30°，再根据角之间的关系求得∠DBC＝∠CED，根据等角对等边即可得到DB＝DE．
【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，BD是中线，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°．
∠DBC＝30°（等腰三角形三线合一）．
又∵CE＝CD，
∴∠CDE＝∠CED．
又∵∠BCD＝∠CDE+∠CED，
∴∠CDE＝∠CED＝∠BCD＝30°．
∴∠DBC＝∠DEC．
∴DB＝DE（等角对等边）．
27．（8分）如图：在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，且MN∥BC，求证：△AMN的周长等于AB+AC．
【分析】根据角平分线的定义可得∠ABO＝∠CBO，根据两直线平行，内错角相等可得∠CBO＝∠BOM，从而得到∠ABO＝∠BOM，再根据等角对等边可得BM＝OM，同理可得CN＝ON，然后即可求出△AMN的周长＝AB+AC．
【解答】解：∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO＝∠CBO，
∵MN∥BC，
∴∠CBO＝∠BOM，
∴∠ABO＝∠BOM，
∴BM＝OM，
同理可得CN＝ON，
∴△AMN的周长＝AM+MO+ON+AN＝AM+BM+CN+AN＝AB+AC．
28．（10分）已知等腰直角△ABC，直线l经过点C，过点A，垂足分别为D，E．
（1）当点D，E分别在AB的同侧时（如图1），求证：AD+BE＝DE；
（2）当点D，E分别在AB的异侧（如图2，图3时），线段AD，DE之间又有怎样的关系，请直接写出结论．
【分析】（1）K型全等模型的基本型，通过在△ACD和△BCE中利用角的互余关系证明等角，从而证明全等；
（2）由（1）的思路可得结论．
【解答】（1）证明：在Rt△ADC中，∠ACD+∠CAD＝90°，
在Rt△BEC中，∠ACD+∠BCE＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴AD＝CE，CD＝EB，
∵CE+CD＝DE，
∴AD+BE＝DE．
（2）图2中，BE+DE＝AD，
证明：在Rt△ADC中，∠ACD+∠CAD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴AD＝CE，CD＝EB，
∵CD+DE＝CE，
∴BE+DE＝AD．
图3中，AD+DE＝BE，
证明：在Rt△ADC中，∠ACD+∠CAD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
∴∠CAD＝∠BCE，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴AD＝CE，CD＝EB，
∵CE+DE＝CD，
∴AD+DE＝BE．