2018-2019学年上海市浦东新区交中初级中学八年级（上）期中数学试卷（Word版 含解析）
文档属性
| 名称 | 2018-2019学年上海市浦东新区交中初级中学八年级（上）期中数学试卷（Word版 含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 458.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-01 09:16:00 | ||
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文档简介
2018-2019学年上海市浦东新区交中初级中学八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共6题，每小题4分，共24分）
1．（4分）在△ABC中，如果BC＝AB（ ）
A．30° B．60° C．90° D．无法确定
2．（4分）如果是二次根式，那么x应满足的条件是（ ）
A．x≠2的实数 B．x＜2的实数
C．x＞2的实数 D．x＞0且x≠2的实数
3．（4分）下列各题都有两个函数，这两个函数不是同一个函数的选项是（ ）
（1）y＝|x|和y＝（）2；
（2）y＝x和y＝（）2；
（3）y＝2x和y＝；
（4）y＝x和y＝；
（5）y＝x和y＝．
A．（1）（2）（4）（5） B．（1）（2）（5）
C．（2）（3）（4） D．（1）（2）（3）（4）
4．（4分）如图，点P是x轴正半轴上的一动点，过点P作x轴的垂线于点Q，连接OQ．当点P沿x轴的正方向运动时（ ）
A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．保持不变 D．无法确定
5．（4分）下列关系中，成反比例函数的是（ ）
A．圆的面积S与半径r的关系
B．三角形的面积一定，它的底边a与这边上的高h的关系
C．人的年龄与身高的关系
D．小明从家到学校，剩下的路程s与速度v的关系
6．（4分）如图，已知点D是∠ABC的平分线上一点，点P在BD上，PC⊥BC，垂足分别为A（ ）
A．AD＝CP B．△ABP≌△CBP C．△ABD≌△CBD D．∠ADB＝∠CDB
二、填空题（本大题共12题，每小题4分，共48分）
7．（4分）已知f（x）＝﹣6，则f（﹣6） f（6）（填“＞”、“＜”或“＝”）．
8．（4分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC比BC长2cm，如果△ADC的周长为12cm cm．
9．（4分）命题“等腰三角形两底角相等”的逆命题是 ，逆命题是 命题（填“真”或“假”）．
10．（4分）方程x2+2x＝999的解是 ．
11．（4分）当m 时，关于x的方程（m2﹣9）x2+（m﹣3）x+2m＝0是一元一次方程．
12．（4分）如果，那么a的取值范围是 ．
13．（4分）设的整数部分a，小数部分为b ，b＝ ．
14．（4分）在实数范围内分解因式3x2+2xy﹣9y2＝ ．
15．（4分）某超市一月份的营业额为200万元，第一季度的营业总额为1000万元，设平均每月的营业增长率x ．
16．（4分）在函数y＝（a为常数）的图象上有三点（﹣3，y1），（﹣1，y2），（2，y3），则函数值y1，y2，y3的大小关系是 ．
17．（4分）若直角三角形两直角边上的中线分别是5，2，则斜边长为 ．
18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，点D是BC边上一动点（不与点B、C重合），将∠B沿直线DE翻折，点B落在射线BC上的点F处，BD的长为 ．
三、解答题（本大题共7题，共78分）
19．（10分）（1）计算：（2）×5；
（2）化简并求值： [﹣]÷，b＝3+．
20．（10分）关于x的方程kx2+（k+2）x+＝0有两个不相等的实数根；
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k的值，请说明理由．
21．（10分）如图，已知在△ABC中，BC＝10，且AB＝BD，E、F分别是AD、BC的中点
22．（10分）如图所示，已知：在△ABC中，AE平分∠BAC，EF⊥AC，交AC的延长线于点F．试证明AB＝AC+2CF．
23．（12分）已知：如图，矩形OABC的顶点B（m，2）在正比例函数，点A在x轴上，点C在y轴上，与AB边交于点N，且BM＝3CM．求此反比例函数的解析式及点N的坐标．
24．（12分）已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2BC，分别以AB、AC为边，DE交AB于点F．
求证：（1）请问线段AE与线段BC有何关系，并加以证明．
（2）EF＝FD．
25．（14分）如图，E是正方形ABCD的边AD上的动点，F是边BC延长线上的一点，AB＝12，设AE＝x
（1）当△BEF是等边三角形时，求BF的长；
（2）求y与x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）把△ABE沿着直线BE翻折，点A落在点A′处，试探索：△A′BF能否为等腰三角形？如果能；如果不能，请说明理由．
2018-2019学年上海市浦东新区交中初级中学八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6题，每小题4分，共24分）
1．（4分）在△ABC中，如果BC＝AB（ ）
A．30° B．60° C．90° D．无法确定
【分析】根据含30度角的直角三角形性质即可得出结论．
【解答】解：在△ABC中，只有BC＝，无法判断∠A的度数，
故选：D．
2．（4分）如果是二次根式，那么x应满足的条件是（ ）
A．x≠2的实数 B．x＜2的实数
C．x＞2的实数 D．x＞0且x≠2的实数
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式组求解．
【解答】解：根据题意得：，
∴3﹣x＜0，
∴x＞2．
故选：C．
3．（4分）下列各题都有两个函数，这两个函数不是同一个函数的选项是（ ）
（1）y＝|x|和y＝（）2；
（2）y＝x和y＝（）2；
（3）y＝2x和y＝；
（4）y＝x和y＝；
（5）y＝x和y＝．
A．（1）（2）（4）（5） B．（1）（2）（5）
C．（2）（3）（4） D．（1）（2）（3）（4）
【分析】判断两个函数是否为同一个函数的方法：①判断两个函数的x的取值范围是否相同；②判断两个函数的表达式是否相同，由此可求解．
【解答】解：（1）y＝（）2，中x取值为x≥0，y＝|x|中x取值为全体实数，
∴y＝|x|和y＝（）2不是同一个函数；
（2）y＝x中x取值为全体实数，y＝（）2中x取值为x≥0，
∴y＝x和y＝（）5不是同一个函数；
（3）y＝＝2x，
∴y＝2x和y＝是同一个函数；
（4）y＝x中x取值为全体实数，y＝，
∴y＝x和y＝不是同一个函数；
（5）y＝＝|x|，
∴y＝x和y＝不是同一个函数；
∴（1）（2）（4）（5）不是同一个函数，
故选：A．
4．（4分）如图，点P是x轴正半轴上的一动点，过点P作x轴的垂线于点Q，连接OQ．当点P沿x轴的正方向运动时（ ）
A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．保持不变 D．无法确定
【分析】因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S＝|k|，所以当点P沿x轴的正方向运动时，Rt△QOP的面积保持不变．
【解答】解：由题意得：Rt△QOP的面积保持不变总是|k|．
故选：C．
5．（4分）下列关系中，成反比例函数的是（ ）
A．圆的面积S与半径r的关系
B．三角形的面积一定，它的底边a与这边上的高h的关系
C．人的年龄与身高的关系
D．小明从家到学校，剩下的路程s与速度v的关系
【分析】根据实际问题分别列出函数关系式，进而得出答案．
【解答】解：A、圆的面积S与半径r的关系2，是二次函数关系，故此选项错误；
B、三角形的面积一定，则S＝，即a＝，故此选项正确；
C、人的年龄与身高的关系，故此选项错误；
D、小明从家到学校，s＝总路程﹣vt，故此选项错误；
故选：B．
6．（4分）如图，已知点D是∠ABC的平分线上一点，点P在BD上，PC⊥BC，垂足分别为A（ ）
A．AD＝CP B．△ABP≌△CBP C．△ABD≌△CBD D．∠ADB＝∠CDB
【分析】根据角平分线的性质得出距离相等，结合其它条件证三角形全等，得出结论与各选项进行比对，答案可得．
【解答】解：∵点D是∠ABC的平分线上一点，点P在BD上，PC⊥BC，
∴△ABP≌△CBP
∴AB＝BC，点D是∠ABC的平分线上一点，
∴△ABD≌△CBD，
∴AD＝CD，
故A不对．
故选：A．
二、填空题（本大题共12题，每小题4分，共48分）
7．（4分）已知f（x）＝﹣6，则f（﹣6） ＝ f（6）（填“＞”、“＜”或“＝”）．
【分析】由题意，无论x为何值，该函数的函数值均为﹣6，由此可得结论．
【解答】解：∵f（﹣6）＝﹣6，f（6）＝﹣5，
∴f（﹣6）＝f（6）．
故答案为：＝．
8．（4分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC比BC长2cm，如果△ADC的周长为12cm 10 cm．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到CD＝DA＝DB，而AD+DC+AC＝12，得DB+DC+AC＝12，由AC比BC长2cm，得到DB+DC+BC+2＝12，即可得到△BDC的周长．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，
∴CD＝DA＝DB，
∵△ADC的周长为12cm，
∴AD+DC+AC＝12，
∴DB+DC+AC＝12，
而AC比BC长2cm，
∴DB+DC+BC+2＝12，
∴DB+DC+BC＝10，
即△BDC的周长为10cm．
故答案为10．
9．（4分）命题“等腰三角形两底角相等”的逆命题是 两个角相等三角形是等腰三角形 ，逆命题是 真 命题（填“真”或“假”）．
【分析】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题，继而也能判断出真假．
【解答】解：因为原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，
所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个角相等三角形是等腰三角形”，是真命题．
故答案为：两个角相等三角形是等腰三角形，真．
10．（4分）方程x2+2x＝999的解是 x1＝﹣1+10，x2＝﹣1﹣10 ．
【分析】利用配方法求解即可．
【解答】解：∵x2+2x＝999，
∴x8+2x+1＝999+4，即（x+1）2＝1000，
∴x+8＝±10，
∴x1＝﹣1+10，x6＝﹣1﹣10，
故答案为：x1＝﹣8+10，x2＝﹣1﹣10．
11．（4分）当m ﹣3 时，关于x的方程（m2﹣9）x2+（m﹣3）x+2m＝0是一元一次方程．
【分析】根据一元一次方程的定义，列出关于m的方程m2﹣9＝0，且m﹣3≠0，然后解关于m的方程求值即可．
【解答】解：由题意，得m2﹣9＝6且m﹣3≠0，
解得m＝﹣6，
故答案为：﹣3．
12．（4分）如果，那么a的取值范围是 a≤0 ．
【分析】根据二次根式的性质得到＝|a|，则|a|＝﹣a，然后根据绝对值的意义即可得到a的取值范围．
【解答】解：∵＝|a|，
而，
∴|a|＝﹣a，
∴a≤7．
故答案为a≤0．
13．（4分）设的整数部分a，小数部分为b 2 ，b＝ ．
【分析】先把式子分母有理化可得，再估算出所在的范围即可．
【解答】解：＝，
∵82＜5＜72，
∴，
∴，
∴，
∵的整数部分a，
∴a＝8，b＝＝．
故答案为：2；．
14．（4分）在实数范围内分解因式3x2+2xy﹣9y2＝ 3（x+）（x+） ．
【分析】解关于x 的一元二次方程3x2+2xy﹣9y2＝0，求得两根为x1，x2，将多项式写成3（x﹣x1）（x﹣x2）即可．
【解答】解：关于x 的一元二次方程3x2+7xy﹣9y2＝4的根为：
x1＝，x6＝，
∴3x8+2xy﹣9y2＝3（x﹣）（x﹣）（x+）．
故答案为：7（x+）（x+）．
15．（4分）某超市一月份的营业额为200万元，第一季度的营业总额为1000万元，设平均每月的营业增长率x 200+200（1+x）+200（1+x）2＝1000 ．
【分析】增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），由此可以求出第二个月和第三个月的营业额，而第一季度的总营业额已经知道，所以可以列出一个方程．
【解答】解：设平均每月营业额的增长率为x，
则第二个月的营业额为：200×（1+x），
第三个月的营业额为：200×（1+x）6，
则由题意列方程为：
200+200（1+x）+200（1+x）4＝1000．
故答案为：200+200（1+x）+200（1+x）6＝1000．
16．（4分）在函数y＝（a为常数）的图象上有三点（﹣3，y1），（﹣1，y2），（2，y3），则函数值y1，y2，y3的大小关系是 y2＞y1＞y3 ．
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出反比例函数的图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的值判断出y1，y2，y3的大小关系即可．
【解答】解：∵﹣a2﹣1＜6，
∴函数y＝（a为常数）的图象在二，且在每一象限内y随x的增大而增大，
∵﹣7＜﹣1＜0，
∴点（﹣5，y1），（﹣1，y3）在第二象限，
∴y2＞y1＞4，
∵2＞0，
∴点（7，y3）在第四象限，
∴y3＜7，
∴y2＞y1＞y3．
故答案为：y2＞y1＞y7．
17．（4分）若直角三角形两直角边上的中线分别是5，2，则斜边长为 2 ．
【分析】设AE＝EC＝a，CD＝BD＝b，根据勾股定理列出方程组，解方程求出a、b，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：设AE＝EC＝a，CD＝BD＝b，
由勾股定理得：，
解得：，（负数舍去），
则斜边长＝＝2，
故答案为：2．
18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，点D是BC边上一动点（不与点B、C重合），将∠B沿直线DE翻折，点B落在射线BC上的点F处，BD的长为 或 ．
【分析】由直角三角形的性质可得∠BAC＝60°，AC＝1，AB＝2，分两种情况讨论，由锐角三角函数和折叠的性质可求解．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，
∴∠BAC＝60°，AC＝1，
若点F在线段BC上，∠AFE＝90°时，
由折叠可得：BD＝DF，∠B＝∠EFD＝30°，
∴∠AFC＝60°，
∵tan∠AFC＝＝，
∴CF＝，
∴BD＝（BC﹣CF）＝，
若点F在BC的延长线上，∠EAF＝90°，
由折叠可得：BD＝DF，
∵cos∠ABF＝＝，
∴BF＝，
∴BD＝，
故答案为：或．
三、解答题（本大题共7题，共78分）
19．（10分）（1）计算：（2）×5；
（2）化简并求值： [﹣]÷，b＝3+．
【分析】（1）根据二次根式的性质、二次根式的乘法法则计算；
（2）根据二次根式的混合运算法则把原式化简，根据二次根式的乘法法则求出ab，代入计算得到答案．
【解答】解：（1）原式＝（4﹣+12＝（16﹣＝80；
（2）原式＝ [﹣
＝ （﹣
＝
＝8，
∵a＝3﹣，b＝3+，
∴ab＝（3﹣）×（3+，
∴原式＝6×＝4．
20．（10分）关于x的方程kx2+（k+2）x+＝0有两个不相等的实数根；
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k的值，请说明理由．
【分析】（1）由于x的方程kx2+（k+2）x+＝0有两个不相等的实数根，由此可以得到判别式是正数，这样就可以得到关于k的不等式，解不等式即可求解；
（2）不存在符合条件的实数k．设方程kx2+（k+2）x+＝0的两根分别为x1、x2，由根与系数关系有：x1+x2＝﹣，x1 x2＝，又+＝，然后把前面的等式代入其中即可求k，然后利用（1）即可判定结果．
【解答】解：（1）由Δ＝[（k+2）]2﹣3×k ＞0，
∴k＞﹣4
又∵k≠0，
∴k的取值范围是k＞﹣1，且k≠3；
（2）不存在符合条件的实数k
理由：设方程kx2+（k+2）x+＝0的两根分别为x1、x3，
由根与系数关系有：x1+x2＝﹣，x1 x2＝，
又∵+＝＝0，
∴＝0，
解得k＝﹣2，
由（1）知，k＝﹣5时，原方程无实解，
∴不存在符合条件的k的值．
21．（10分）如图，已知在△ABC中，BC＝10，且AB＝BD，E、F分别是AD、BC的中点
【分析】连接BE，根据等腰三角形的性质得到BE⊥AD，根据直角三角形的性质计算即可．
【解答】解：连接BE，
∵AB＝BD，AE＝DE，
∴BE⊥AD，
∴∠BEC＝90°，又BF＝FC，
∴EF＝BC＝4．
22．（10分）如图所示，已知：在△ABC中，AE平分∠BAC，EF⊥AC，交AC的延长线于点F．试证明AB＝AC+2CF．
【分析】过E点作EG⊥AB于G，利用角平分线的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．
【解答】证明：过E点作EG⊥AB于G，连接BE，
∵AE平分∠BAC，EF⊥AC，
∴GE＝EF，
在Rt△AGE与Rt△AFE中，
，
∴Rt△AGE≌Rt△AFE（HL），
∴AG＝AF，
∵DE垂直平分BC于点D，
∴BE＝CE，
在Rt△BGE与Rt△FCE中，
，
∴Rt△BGE≌Rt△FCE（HL），
∴BG＝CF，
∴AB＝AG+BG＝AF+BG＝AC+CF+BG＝AC+2CF．
23．（12分）已知：如图，矩形OABC的顶点B（m，2）在正比例函数，点A在x轴上，点C在y轴上，与AB边交于点N，且BM＝3CM．求此反比例函数的解析式及点N的坐标．
【分析】本题需先根据题意求出m的值，再求出点B的坐标，再根据BM＝3CM，得出点M的坐标，即可求出反比例函数的解析式，然后设N点的坐标为（4，y），代入反比例函数的解析式即可求出点N的坐标．
【解答】解：因为B（m，2）在正比例函数y＝，
所以m＝4，B（4
所以CB＝6，
而BM＝3CM，
所以CM＝1，
所以M（3，2）
设反比例函数的解析式为y＝（k≠0），
因为M、N在反比例函数的图象上，
所以k＝5，即反比例函数的解析式为y＝
设N点的坐标为（4，y）
则y＝，即N点的坐标为（4，）
24．（12分）已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2BC，分别以AB、AC为边，DE交AB于点F．
求证：（1）请问线段AE与线段BC有何关系，并加以证明．
（2）EF＝FD．
【分析】（1）由等边三角形的性质可得出结论．
（2）过点E作EG⊥AB于G，根据等边三角形的性质求出GE＝AD，再求出∠DAF＝∠EGF，然后利用“角角边”证明△ADF和△GEF全等，再根据全等三角形对应边相等证明即可．
【解答】（1）解：AE＝2BC．
理由：∵△ABE是等边三角形，
∴AE＝AB，
∵AB＝2BC，
∴AE＝6BC．
（2）证明：如图，过点E作EG⊥AB于G，
∵△ABE是等边三角形，
∴GE＝AB，
在△ABC中，AC＝，
∵△ACD是等边三角形，
∴AD＝AC，∠CAD＝60°，
∴GE＝AD，
∵∠DAF＝∠CAD+∠BAC＝60°+30°＝90°，
∴∠DAF＝∠EGF＝90°，
在△ADF和△GEF中，
，
∴△ADF≌△GEF（AAS），
∴EF＝DF．
25．（14分）如图，E是正方形ABCD的边AD上的动点，F是边BC延长线上的一点，AB＝12，设AE＝x
（1）当△BEF是等边三角形时，求BF的长；
（2）求y与x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）把△ABE沿着直线BE翻折，点A落在点A′处，试探索：△A′BF能否为等腰三角形？如果能；如果不能，请说明理由．
【分析】（1）当△BEF是等边三角形时，有∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝90°﹣60°＝30°，则可解Rt△ABE，求得BF即BE的长．
（2）作EG⊥BF，垂足为点G，则四边形AEGB是矩形，在Rt△EGF中，由勾股定理知，EF2＝（BF﹣BG）2+EG2．即y2＝（y﹣x）2+122．故可求得y与x的关系．
（3）当把△ABE沿着直线BE翻折，点A落在点A'处，应有∠BA'F＝∠BA'E＝∠A＝90°，若△A'BF成为等腰三角形，必须使A'B＝A'F＝AB＝12，有FA′＝EF﹣A′E＝y﹣x＝12，故可由（1）得到的y与x的关系式建立方程组求得AE的值．
【解答】解：（1）当△BEF是等边三角形时，∠ABE＝30°．
∵AB＝12，
∴AE＝，
∴BF＝BE＝．
（2）作EG⊥BF，垂足为点G，
根据题意，得EG＝AB＝12，EF＝y，
∴y2＝（y﹣x）5+122，
∴所求的函数解析式为（0＜x＜12）．
（3）∵∠AEB＝∠FBE＝∠FEB，
∴点A'落在EF上，
∴A'E＝AE，∠BA'F＝∠BA'E＝∠A＝90，
∴要使△A'BF成为等腰三角形，必须使A'B＝A'F．
而A'B＝AB＝12，A'F＝EF﹣A'E＝BF﹣A'E，
∴y﹣x＝12．
∴﹣x＝12．
整理得x2+24x﹣144＝0，
解得，
经检验：都原方程的根，
但不符合题意，
当AE＝时，△A'BF为等腰三角形．
一、选择题（本大题共6题，每小题4分，共24分）
1．（4分）在△ABC中，如果BC＝AB（ ）
A．30° B．60° C．90° D．无法确定
2．（4分）如果是二次根式，那么x应满足的条件是（ ）
A．x≠2的实数 B．x＜2的实数
C．x＞2的实数 D．x＞0且x≠2的实数
3．（4分）下列各题都有两个函数，这两个函数不是同一个函数的选项是（ ）
（1）y＝|x|和y＝（）2；
（2）y＝x和y＝（）2；
（3）y＝2x和y＝；
（4）y＝x和y＝；
（5）y＝x和y＝．
A．（1）（2）（4）（5） B．（1）（2）（5）
C．（2）（3）（4） D．（1）（2）（3）（4）
4．（4分）如图，点P是x轴正半轴上的一动点，过点P作x轴的垂线于点Q，连接OQ．当点P沿x轴的正方向运动时（ ）
A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．保持不变 D．无法确定
5．（4分）下列关系中，成反比例函数的是（ ）
A．圆的面积S与半径r的关系
B．三角形的面积一定，它的底边a与这边上的高h的关系
C．人的年龄与身高的关系
D．小明从家到学校，剩下的路程s与速度v的关系
6．（4分）如图，已知点D是∠ABC的平分线上一点，点P在BD上，PC⊥BC，垂足分别为A（ ）
A．AD＝CP B．△ABP≌△CBP C．△ABD≌△CBD D．∠ADB＝∠CDB
二、填空题（本大题共12题，每小题4分，共48分）
7．（4分）已知f（x）＝﹣6，则f（﹣6） f（6）（填“＞”、“＜”或“＝”）．
8．（4分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC比BC长2cm，如果△ADC的周长为12cm cm．
9．（4分）命题“等腰三角形两底角相等”的逆命题是 ，逆命题是 命题（填“真”或“假”）．
10．（4分）方程x2+2x＝999的解是 ．
11．（4分）当m 时，关于x的方程（m2﹣9）x2+（m﹣3）x+2m＝0是一元一次方程．
12．（4分）如果，那么a的取值范围是 ．
13．（4分）设的整数部分a，小数部分为b ，b＝ ．
14．（4分）在实数范围内分解因式3x2+2xy﹣9y2＝ ．
15．（4分）某超市一月份的营业额为200万元，第一季度的营业总额为1000万元，设平均每月的营业增长率x ．
16．（4分）在函数y＝（a为常数）的图象上有三点（﹣3，y1），（﹣1，y2），（2，y3），则函数值y1，y2，y3的大小关系是 ．
17．（4分）若直角三角形两直角边上的中线分别是5，2，则斜边长为 ．
18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，点D是BC边上一动点（不与点B、C重合），将∠B沿直线DE翻折，点B落在射线BC上的点F处，BD的长为 ．
三、解答题（本大题共7题，共78分）
19．（10分）（1）计算：（2）×5；
（2）化简并求值： [﹣]÷，b＝3+．
20．（10分）关于x的方程kx2+（k+2）x+＝0有两个不相等的实数根；
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k的值，请说明理由．
21．（10分）如图，已知在△ABC中，BC＝10，且AB＝BD，E、F分别是AD、BC的中点
22．（10分）如图所示，已知：在△ABC中，AE平分∠BAC，EF⊥AC，交AC的延长线于点F．试证明AB＝AC+2CF．
23．（12分）已知：如图，矩形OABC的顶点B（m，2）在正比例函数，点A在x轴上，点C在y轴上，与AB边交于点N，且BM＝3CM．求此反比例函数的解析式及点N的坐标．
24．（12分）已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2BC，分别以AB、AC为边，DE交AB于点F．
求证：（1）请问线段AE与线段BC有何关系，并加以证明．
（2）EF＝FD．
25．（14分）如图，E是正方形ABCD的边AD上的动点，F是边BC延长线上的一点，AB＝12，设AE＝x
（1）当△BEF是等边三角形时，求BF的长；
（2）求y与x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）把△ABE沿着直线BE翻折，点A落在点A′处，试探索：△A′BF能否为等腰三角形？如果能；如果不能，请说明理由．
2018-2019学年上海市浦东新区交中初级中学八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6题，每小题4分，共24分）
1．（4分）在△ABC中，如果BC＝AB（ ）
A．30° B．60° C．90° D．无法确定
【分析】根据含30度角的直角三角形性质即可得出结论．
【解答】解：在△ABC中，只有BC＝，无法判断∠A的度数，
故选：D．
2．（4分）如果是二次根式，那么x应满足的条件是（ ）
A．x≠2的实数 B．x＜2的实数
C．x＞2的实数 D．x＞0且x≠2的实数
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式组求解．
【解答】解：根据题意得：，
∴3﹣x＜0，
∴x＞2．
故选：C．
3．（4分）下列各题都有两个函数，这两个函数不是同一个函数的选项是（ ）
（1）y＝|x|和y＝（）2；
（2）y＝x和y＝（）2；
（3）y＝2x和y＝；
（4）y＝x和y＝；
（5）y＝x和y＝．
A．（1）（2）（4）（5） B．（1）（2）（5）
C．（2）（3）（4） D．（1）（2）（3）（4）
【分析】判断两个函数是否为同一个函数的方法：①判断两个函数的x的取值范围是否相同；②判断两个函数的表达式是否相同，由此可求解．
【解答】解：（1）y＝（）2，中x取值为x≥0，y＝|x|中x取值为全体实数，
∴y＝|x|和y＝（）2不是同一个函数；
（2）y＝x中x取值为全体实数，y＝（）2中x取值为x≥0，
∴y＝x和y＝（）5不是同一个函数；
（3）y＝＝2x，
∴y＝2x和y＝是同一个函数；
（4）y＝x中x取值为全体实数，y＝，
∴y＝x和y＝不是同一个函数；
（5）y＝＝|x|，
∴y＝x和y＝不是同一个函数；
∴（1）（2）（4）（5）不是同一个函数，
故选：A．
4．（4分）如图，点P是x轴正半轴上的一动点，过点P作x轴的垂线于点Q，连接OQ．当点P沿x轴的正方向运动时（ ）
A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．保持不变 D．无法确定
【分析】因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S＝|k|，所以当点P沿x轴的正方向运动时，Rt△QOP的面积保持不变．
【解答】解：由题意得：Rt△QOP的面积保持不变总是|k|．
故选：C．
5．（4分）下列关系中，成反比例函数的是（ ）
A．圆的面积S与半径r的关系
B．三角形的面积一定，它的底边a与这边上的高h的关系
C．人的年龄与身高的关系
D．小明从家到学校，剩下的路程s与速度v的关系
【分析】根据实际问题分别列出函数关系式，进而得出答案．
【解答】解：A、圆的面积S与半径r的关系2，是二次函数关系，故此选项错误；
B、三角形的面积一定，则S＝，即a＝，故此选项正确；
C、人的年龄与身高的关系，故此选项错误；
D、小明从家到学校，s＝总路程﹣vt，故此选项错误；
故选：B．
6．（4分）如图，已知点D是∠ABC的平分线上一点，点P在BD上，PC⊥BC，垂足分别为A（ ）
A．AD＝CP B．△ABP≌△CBP C．△ABD≌△CBD D．∠ADB＝∠CDB
【分析】根据角平分线的性质得出距离相等，结合其它条件证三角形全等，得出结论与各选项进行比对，答案可得．
【解答】解：∵点D是∠ABC的平分线上一点，点P在BD上，PC⊥BC，
∴△ABP≌△CBP
∴AB＝BC，点D是∠ABC的平分线上一点，
∴△ABD≌△CBD，
∴AD＝CD，
故A不对．
故选：A．
二、填空题（本大题共12题，每小题4分，共48分）
7．（4分）已知f（x）＝﹣6，则f（﹣6） ＝ f（6）（填“＞”、“＜”或“＝”）．
【分析】由题意，无论x为何值，该函数的函数值均为﹣6，由此可得结论．
【解答】解：∵f（﹣6）＝﹣6，f（6）＝﹣5，
∴f（﹣6）＝f（6）．
故答案为：＝．
8．（4分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC比BC长2cm，如果△ADC的周长为12cm 10 cm．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到CD＝DA＝DB，而AD+DC+AC＝12，得DB+DC+AC＝12，由AC比BC长2cm，得到DB+DC+BC+2＝12，即可得到△BDC的周长．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，
∴CD＝DA＝DB，
∵△ADC的周长为12cm，
∴AD+DC+AC＝12，
∴DB+DC+AC＝12，
而AC比BC长2cm，
∴DB+DC+BC+2＝12，
∴DB+DC+BC＝10，
即△BDC的周长为10cm．
故答案为10．
9．（4分）命题“等腰三角形两底角相等”的逆命题是 两个角相等三角形是等腰三角形 ，逆命题是 真 命题（填“真”或“假”）．
【分析】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题，继而也能判断出真假．
【解答】解：因为原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，
所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个角相等三角形是等腰三角形”，是真命题．
故答案为：两个角相等三角形是等腰三角形，真．
10．（4分）方程x2+2x＝999的解是 x1＝﹣1+10，x2＝﹣1﹣10 ．
【分析】利用配方法求解即可．
【解答】解：∵x2+2x＝999，
∴x8+2x+1＝999+4，即（x+1）2＝1000，
∴x+8＝±10，
∴x1＝﹣1+10，x6＝﹣1﹣10，
故答案为：x1＝﹣8+10，x2＝﹣1﹣10．
11．（4分）当m ﹣3 时，关于x的方程（m2﹣9）x2+（m﹣3）x+2m＝0是一元一次方程．
【分析】根据一元一次方程的定义，列出关于m的方程m2﹣9＝0，且m﹣3≠0，然后解关于m的方程求值即可．
【解答】解：由题意，得m2﹣9＝6且m﹣3≠0，
解得m＝﹣6，
故答案为：﹣3．
12．（4分）如果，那么a的取值范围是 a≤0 ．
【分析】根据二次根式的性质得到＝|a|，则|a|＝﹣a，然后根据绝对值的意义即可得到a的取值范围．
【解答】解：∵＝|a|，
而，
∴|a|＝﹣a，
∴a≤7．
故答案为a≤0．
13．（4分）设的整数部分a，小数部分为b 2 ，b＝ ．
【分析】先把式子分母有理化可得，再估算出所在的范围即可．
【解答】解：＝，
∵82＜5＜72，
∴，
∴，
∴，
∵的整数部分a，
∴a＝8，b＝＝．
故答案为：2；．
14．（4分）在实数范围内分解因式3x2+2xy﹣9y2＝ 3（x+）（x+） ．
【分析】解关于x 的一元二次方程3x2+2xy﹣9y2＝0，求得两根为x1，x2，将多项式写成3（x﹣x1）（x﹣x2）即可．
【解答】解：关于x 的一元二次方程3x2+7xy﹣9y2＝4的根为：
x1＝，x6＝，
∴3x8+2xy﹣9y2＝3（x﹣）（x﹣）（x+）．
故答案为：7（x+）（x+）．
15．（4分）某超市一月份的营业额为200万元，第一季度的营业总额为1000万元，设平均每月的营业增长率x 200+200（1+x）+200（1+x）2＝1000 ．
【分析】增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），由此可以求出第二个月和第三个月的营业额，而第一季度的总营业额已经知道，所以可以列出一个方程．
【解答】解：设平均每月营业额的增长率为x，
则第二个月的营业额为：200×（1+x），
第三个月的营业额为：200×（1+x）6，
则由题意列方程为：
200+200（1+x）+200（1+x）4＝1000．
故答案为：200+200（1+x）+200（1+x）6＝1000．
16．（4分）在函数y＝（a为常数）的图象上有三点（﹣3，y1），（﹣1，y2），（2，y3），则函数值y1，y2，y3的大小关系是 y2＞y1＞y3 ．
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出反比例函数的图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的值判断出y1，y2，y3的大小关系即可．
【解答】解：∵﹣a2﹣1＜6，
∴函数y＝（a为常数）的图象在二，且在每一象限内y随x的增大而增大，
∵﹣7＜﹣1＜0，
∴点（﹣5，y1），（﹣1，y3）在第二象限，
∴y2＞y1＞4，
∵2＞0，
∴点（7，y3）在第四象限，
∴y3＜7，
∴y2＞y1＞y3．
故答案为：y2＞y1＞y7．
17．（4分）若直角三角形两直角边上的中线分别是5，2，则斜边长为 2 ．
【分析】设AE＝EC＝a，CD＝BD＝b，根据勾股定理列出方程组，解方程求出a、b，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：设AE＝EC＝a，CD＝BD＝b，
由勾股定理得：，
解得：，（负数舍去），
则斜边长＝＝2，
故答案为：2．
18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，点D是BC边上一动点（不与点B、C重合），将∠B沿直线DE翻折，点B落在射线BC上的点F处，BD的长为 或 ．
【分析】由直角三角形的性质可得∠BAC＝60°，AC＝1，AB＝2，分两种情况讨论，由锐角三角函数和折叠的性质可求解．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，
∴∠BAC＝60°，AC＝1，
若点F在线段BC上，∠AFE＝90°时，
由折叠可得：BD＝DF，∠B＝∠EFD＝30°，
∴∠AFC＝60°，
∵tan∠AFC＝＝，
∴CF＝，
∴BD＝（BC﹣CF）＝，
若点F在BC的延长线上，∠EAF＝90°，
由折叠可得：BD＝DF，
∵cos∠ABF＝＝，
∴BF＝，
∴BD＝，
故答案为：或．
三、解答题（本大题共7题，共78分）
19．（10分）（1）计算：（2）×5；
（2）化简并求值： [﹣]÷，b＝3+．
【分析】（1）根据二次根式的性质、二次根式的乘法法则计算；
（2）根据二次根式的混合运算法则把原式化简，根据二次根式的乘法法则求出ab，代入计算得到答案．
【解答】解：（1）原式＝（4﹣+12＝（16﹣＝80；
（2）原式＝ [﹣
＝ （﹣
＝
＝8，
∵a＝3﹣，b＝3+，
∴ab＝（3﹣）×（3+，
∴原式＝6×＝4．
20．（10分）关于x的方程kx2+（k+2）x+＝0有两个不相等的实数根；
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k的值，请说明理由．
【分析】（1）由于x的方程kx2+（k+2）x+＝0有两个不相等的实数根，由此可以得到判别式是正数，这样就可以得到关于k的不等式，解不等式即可求解；
（2）不存在符合条件的实数k．设方程kx2+（k+2）x+＝0的两根分别为x1、x2，由根与系数关系有：x1+x2＝﹣，x1 x2＝，又+＝，然后把前面的等式代入其中即可求k，然后利用（1）即可判定结果．
【解答】解：（1）由Δ＝[（k+2）]2﹣3×k ＞0，
∴k＞﹣4
又∵k≠0，
∴k的取值范围是k＞﹣1，且k≠3；
（2）不存在符合条件的实数k
理由：设方程kx2+（k+2）x+＝0的两根分别为x1、x3，
由根与系数关系有：x1+x2＝﹣，x1 x2＝，
又∵+＝＝0，
∴＝0，
解得k＝﹣2，
由（1）知，k＝﹣5时，原方程无实解，
∴不存在符合条件的k的值．
21．（10分）如图，已知在△ABC中，BC＝10，且AB＝BD，E、F分别是AD、BC的中点
【分析】连接BE，根据等腰三角形的性质得到BE⊥AD，根据直角三角形的性质计算即可．
【解答】解：连接BE，
∵AB＝BD，AE＝DE，
∴BE⊥AD，
∴∠BEC＝90°，又BF＝FC，
∴EF＝BC＝4．
22．（10分）如图所示，已知：在△ABC中，AE平分∠BAC，EF⊥AC，交AC的延长线于点F．试证明AB＝AC+2CF．
【分析】过E点作EG⊥AB于G，利用角平分线的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．
【解答】证明：过E点作EG⊥AB于G，连接BE，
∵AE平分∠BAC，EF⊥AC，
∴GE＝EF，
在Rt△AGE与Rt△AFE中，
，
∴Rt△AGE≌Rt△AFE（HL），
∴AG＝AF，
∵DE垂直平分BC于点D，
∴BE＝CE，
在Rt△BGE与Rt△FCE中，
，
∴Rt△BGE≌Rt△FCE（HL），
∴BG＝CF，
∴AB＝AG+BG＝AF+BG＝AC+CF+BG＝AC+2CF．
23．（12分）已知：如图，矩形OABC的顶点B（m，2）在正比例函数，点A在x轴上，点C在y轴上，与AB边交于点N，且BM＝3CM．求此反比例函数的解析式及点N的坐标．
【分析】本题需先根据题意求出m的值，再求出点B的坐标，再根据BM＝3CM，得出点M的坐标，即可求出反比例函数的解析式，然后设N点的坐标为（4，y），代入反比例函数的解析式即可求出点N的坐标．
【解答】解：因为B（m，2）在正比例函数y＝，
所以m＝4，B（4
所以CB＝6，
而BM＝3CM，
所以CM＝1，
所以M（3，2）
设反比例函数的解析式为y＝（k≠0），
因为M、N在反比例函数的图象上，
所以k＝5，即反比例函数的解析式为y＝
设N点的坐标为（4，y）
则y＝，即N点的坐标为（4，）
24．（12分）已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2BC，分别以AB、AC为边，DE交AB于点F．
求证：（1）请问线段AE与线段BC有何关系，并加以证明．
（2）EF＝FD．
【分析】（1）由等边三角形的性质可得出结论．
（2）过点E作EG⊥AB于G，根据等边三角形的性质求出GE＝AD，再求出∠DAF＝∠EGF，然后利用“角角边”证明△ADF和△GEF全等，再根据全等三角形对应边相等证明即可．
【解答】（1）解：AE＝2BC．
理由：∵△ABE是等边三角形，
∴AE＝AB，
∵AB＝2BC，
∴AE＝6BC．
（2）证明：如图，过点E作EG⊥AB于G，
∵△ABE是等边三角形，
∴GE＝AB，
在△ABC中，AC＝，
∵△ACD是等边三角形，
∴AD＝AC，∠CAD＝60°，
∴GE＝AD，
∵∠DAF＝∠CAD+∠BAC＝60°+30°＝90°，
∴∠DAF＝∠EGF＝90°，
在△ADF和△GEF中，
，
∴△ADF≌△GEF（AAS），
∴EF＝DF．
25．（14分）如图，E是正方形ABCD的边AD上的动点，F是边BC延长线上的一点，AB＝12，设AE＝x
（1）当△BEF是等边三角形时，求BF的长；
（2）求y与x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）把△ABE沿着直线BE翻折，点A落在点A′处，试探索：△A′BF能否为等腰三角形？如果能；如果不能，请说明理由．
【分析】（1）当△BEF是等边三角形时，有∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝90°﹣60°＝30°，则可解Rt△ABE，求得BF即BE的长．
（2）作EG⊥BF，垂足为点G，则四边形AEGB是矩形，在Rt△EGF中，由勾股定理知，EF2＝（BF﹣BG）2+EG2．即y2＝（y﹣x）2+122．故可求得y与x的关系．
（3）当把△ABE沿着直线BE翻折，点A落在点A'处，应有∠BA'F＝∠BA'E＝∠A＝90°，若△A'BF成为等腰三角形，必须使A'B＝A'F＝AB＝12，有FA′＝EF﹣A′E＝y﹣x＝12，故可由（1）得到的y与x的关系式建立方程组求得AE的值．
【解答】解：（1）当△BEF是等边三角形时，∠ABE＝30°．
∵AB＝12，
∴AE＝，
∴BF＝BE＝．
（2）作EG⊥BF，垂足为点G，
根据题意，得EG＝AB＝12，EF＝y，
∴y2＝（y﹣x）5+122，
∴所求的函数解析式为（0＜x＜12）．
（3）∵∠AEB＝∠FBE＝∠FEB，
∴点A'落在EF上，
∴A'E＝AE，∠BA'F＝∠BA'E＝∠A＝90，
∴要使△A'BF成为等腰三角形，必须使A'B＝A'F．
而A'B＝AB＝12，A'F＝EF﹣A'E＝BF﹣A'E，
∴y﹣x＝12．
∴﹣x＝12．
整理得x2+24x﹣144＝0，
解得，
经检验：都原方程的根，
但不符合题意，
当AE＝时，△A'BF为等腰三角形．
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