2018-2019学年黑龙江省大庆十九中九年级（上）期中数学试卷（五四学制）（word版含解析）

2018-2019学年黑龙江省大庆十九中九年级（上）期中数学试卷（五四学制）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，则cosA的值为（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）在下列二次函数中，其图象对称轴为x＝﹣2的是（　　）
A．y＝（x+2）2 B．y＝2x2﹣2 C．y＝﹣2x2﹣2 D．y＝2（x﹣2）2
3．（3分）已知α为锐角，sin（α+20°）＝，则α的度数为（　　）
A．20° B．40° C．60° D．80°
4．（3分）若把函数y＝（x﹣3）2﹣2的图象向左平移a个单位，再向上平移b（b＞0）个单位（x+3）2+2，则（　　）
A．a＝6，b＝4 B．a＝﹣6，b＝4 C．a＝6，b＝﹣4 D．a＝﹣6，b＝﹣4
5．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列结论：①sin2A+sin2B＝1；②cos2A+cos2B＝1；③tanA tanB＝1；④sinA＝tanA cosA．正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（3分）二次函数y＝2x2﹣3的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法，正确的是（　　）
A．抛物线开口向下
B．抛物线经过点（2，3）
C．抛物线的对称轴是直线x＝1
D．抛物线与x轴有两个交点
7．（3分）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，设∠ABC＝α，则下列结论错误的是（　　）
A．BC＝ B．CD＝AD tanα C．BD＝ABcosα D．AC＝ADcosα
8．（3分）抛物线y＝kx2﹣7x﹣7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣ B．k≥﹣且k≠0 C．k≥﹣ D．k＞﹣且k≠0
9．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c关于原点对称的抛物线是（　　）
A．y＝﹣ax2﹣bx+c B．y＝ax2﹣bx﹣c
C．y＝﹣ax2+bx﹣c D．y＝﹣ax2﹣bx﹣c
10．（3分）已知y1＝a1x2+b1x+c1，y2＝a2x2+b2x+c2且满足．则称抛物线y1，y2互为“友好抛物线”，则下列关于“友好抛物线”的说法不正确的是（　　）
A．y1，y2开口方向、开口大小不一定相同
B．因为y1，y2的对称轴相同
C．如果y2的最值为m，则y1的最值为km
D．如果y2与x轴的两交点间距离为d，则y1与x轴的两交点间距离为|k|d
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．（3分）二次函数y＝2（x﹣3）2﹣4的最小值为　 　．
12．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AB＝6，那么AC＝　 　．
13．（3分）把二次函数y＝x2﹣12x化为形如y＝a（x﹣h）2+k的形式　 　．
14．（3分）已知点A（﹣3，m）在抛物线y＝x2+4x+10上，则点A关于抛物线对称轴的对称点的坐标为 　 　．
15．（3分）关于二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象，下列描述中所有正确的序号有 　 　．
①对称轴是直线x＝﹣1；②当x＜1时y随x的值增大而减小；③它有最小值是﹣4
16．（3分）在△ABC中，AB＝AC＝5，△ABC的面积为10　 　．
17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2﹣2x+2上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD　 　．
18．（3分）将二次函数y＝﹣2（x+1）2﹣1的图象先向右平移一个单位，再沿x轴翻折到第一象限，然后向右平移一个单位，如果把向右平移一个单位再沿坐标轴翻折一次记作1次变换，那么二次函数y＝﹣2（x+1）2﹣1的图象经过2019次变换后，得到的图象的函数解析式为 　 　．
三、解答题（共66分）
19．（6分）计算：
（1）sin230°+sin260°+1﹣tan45°；
（2）tan260°﹣2cos60°﹣sin45°．
20．（5分）用配方法求二次函数y＝2x2﹣8x+7图象的对称轴和顶点坐标．
21．（8分）如图，已知△ABC中，AB＝9，∠A＝45°．
（1）求△ABC的面积和BC．
（2）归纳总结：已知三角形的两边和 　 　，可求三角形的面积及 　 　．
22．（5分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠C所对的边分别为a，b，c，且a＝6，求这个直角三角形的其他元素．
23．（6分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出不等式ax2+bx+c＞0的解集；
（2）当﹣1≤x≤2时，写出函数值y的取值范围．
（3）若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的正实数根，写出k的取值范围．
24．（6分）一数学兴趣小组为了测量河对岸树AB的高，在河岸边选择一点C，从C处测得树梢A的仰角为45°，再次测得A的仰角为30°，求树高．（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）
25．（6分）某商店购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多利润，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，每月能卖210件．假定每月销售件数y（件）是价格x（元/件）
（1）试求y与x之间的关系式；
（2）在商品不积压，且不考虑其它因素的条件下，问销售价格定为多少时（总利润＝总收入﹣总成本）？
26．（7分）NBA的一场骑士对勇士的篮球比赛中，骑士球员詹姆斯正在投篮，已知球出手时离地面高m，设篮球运行的轨迹为抛物线，假设篮圈距地面3m．
（1）建立如图的平面直角坐标系，求出此轨迹所在抛物线的解析．
（2）问此球能否准确投中？
（3）此时，若勇士球员杜兰特在詹姆斯前面2m处跳起拦截，已知杜兰特这次起跳的最大摸高为3.1m
27．（7分）图中是抛物线拱桥，P处有一照明灯，水面OA宽4m，仰角分别为α、β，且tanα＝，以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系．
（1）求点P的坐标；
（2）水面上升1m，水面宽多少（取1.41，结果精确到0.1m）？
28．（10分）如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．
（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；
（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；
（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在；如果不存在，请说明理由．
2018-2019学年黑龙江省大庆十九中九年级（上）期中数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，则cosA的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据勾股定理求出斜边AB，再根据锐角三角函数的定义求出答案即可．
【解答】解：由勾股定理得，
AB＝＝10，
∴cosA＝＝＝，
故选：A．
2．（3分）在下列二次函数中，其图象对称轴为x＝﹣2的是（　　）
A．y＝（x+2）2 B．y＝2x2﹣2 C．y＝﹣2x2﹣2 D．y＝2（x﹣2）2
【分析】根据二次函数的性质求出各个函数的对称轴，选出正确的选项．
【解答】解：y＝（x+2）2的对称轴为x＝﹣3，A正确；
y＝2x2﹣7的对称轴为x＝0，B错误；
y＝﹣2x7﹣2的对称轴为x＝0，C错误；
y＝7（x﹣2）2的对称轴为x＝5，D错误．
故选：A．
3．（3分）已知α为锐角，sin（α+20°）＝，则α的度数为（　　）
A．20° B．40° C．60° D．80°
【分析】根据特殊锐角三角函数值得出α+20°的值，进而求出锐角α即可．
【解答】解：∵sin60°＝，而sin（α+20°）＝，
∴α+20°＝60°，
∴α＝40°，
故选：B．
4．（3分）若把函数y＝（x﹣3）2﹣2的图象向左平移a个单位，再向上平移b（b＞0）个单位（x+3）2+2，则（　　）
A．a＝6，b＝4 B．a＝﹣6，b＝4 C．a＝6，b＝﹣4 D．a＝﹣6，b＝﹣4
【分析】抛物线的平移，实际上就是顶点的平移，先求出原抛物线的顶点坐标，再根据平移规律，推出新抛物线的顶点坐标，根据顶点式可求新抛物线的解析式．
【解答】解：抛物线y＝（x﹣3）2﹣6的顶点坐标是（3，﹣2）6+2的顶点坐标是（﹣3，3）．
∵点（3，﹣2）向上平移8个单位，2）．
∴把函数y＝（x﹣3）4﹣2的图象向左平移6个单位，再向上平移6（b＞0）个单位2+8，
∴a＝6，b＝4，
故选：A．
5．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列结论：①sin2A+sin2B＝1；②cos2A+cos2B＝1；③tanA tanB＝1；④sinA＝tanA cosA．正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用锐角三角函数的定义和勾股定理逐项进行计算即可．
【解答】解：Rt△ABC中，∠C＝90°、∠B、b、c，
由于sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝，tanB＝，
∴sin2A+sin2B＝（）4+（）2＝＝1；
cos5A+cos2B＝（）2+（）4＝＝1；
tanA tanB＝×＝1；
tanA cosA＝×＝＝sinA；
综上所述，正确的结论有①②③④，
故选：D．
6．（3分）二次函数y＝2x2﹣3的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法，正确的是（　　）
A．抛物线开口向下
B．抛物线经过点（2，3）
C．抛物线的对称轴是直线x＝1
D．抛物线与x轴有两个交点
【分析】根据二次函数的性质对A、C进行判断；根据二次函数图象上点的坐标特征对B进行判断；利用方程2x2﹣3＝0解的情况对D进行判断．
【解答】解：A、a＝22﹣3的开口向上，所以A选项错误；
B、当x＝2时，则抛物线不经过点（2，所以B选项错误；
C、抛物线的对称轴为直线x＝3；
D、当y＝0时2﹣7＝0，此方程有两个不相等的实数解．
故选：D．
7．（3分）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，设∠ABC＝α，则下列结论错误的是（　　）
A．BC＝ B．CD＝AD tanα C．BD＝ABcosα D．AC＝ADcosα
【分析】在直角三角形中利用锐角三角函数求角边关系即可．
【解答】解：A．在Rt△ABC中，
∴BC＝，故A正确；
B．∵∠B+∠BAD＝90°，
∴∠B＝∠CAD＝α，
在Rt△ADC中，tanα＝，
∴CD＝AD tanα，
故B正确；
C．在Rt△ABD中，
cosα＝，
∴BD＝AB cosα，
故C正确；
D．在Rt△ADC中，
∴AD＝AC cosα，
故D错误；
故选：D．
8．（3分）抛物线y＝kx2﹣7x﹣7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣ B．k≥﹣且k≠0 C．k≥﹣ D．k＞﹣且k≠0
【分析】抛物线y＝kx2﹣7x﹣7的图象和x轴有交点，即一元二次方程kx2﹣7x﹣7＝0有解，此时△≥0．
【解答】解：∵抛物线y＝kx2﹣7x﹣6的图象和x轴有交点，
即y＝0时方程kx2﹣5x﹣7＝0有实数根，
即Δ＝b2﹣4ac≥0，即49+28k≥7，
解得k≥﹣，且k≠4．
故选：B．
9．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c关于原点对称的抛物线是（　　）
A．y＝﹣ax2﹣bx+c B．y＝ax2﹣bx﹣c
C．y＝﹣ax2+bx﹣c D．y＝﹣ax2﹣bx﹣c
【分析】根据平面直角坐标系中，点关于原点对称的特点得出答案．
【解答】解：抛物线y＝ax2+bx+c的图象关于原点对称的抛物线x、y均互为相反数2+b（﹣x）+c＝ax5﹣bx+c，即y＝﹣ax2+bx﹣c．
故选：C．
10．（3分）已知y1＝a1x2+b1x+c1，y2＝a2x2+b2x+c2且满足．则称抛物线y1，y2互为“友好抛物线”，则下列关于“友好抛物线”的说法不正确的是（　　）
A．y1，y2开口方向、开口大小不一定相同
B．因为y1，y2的对称轴相同
C．如果y2的最值为m，则y1的最值为km
D．如果y2与x轴的两交点间距离为d，则y1与x轴的两交点间距离为|k|d
【分析】根据友好抛物线的条件，a1、a2的符号不一定相同，即可得到开口方向、开口大小不一定相同，代入对称轴﹣和即可判断B、C，根据根与系数的关系求出与x轴的两交点的距离|g﹣e|和|d﹣m|，即可判断D．
【解答】解：由已知可知：a1＝ka2，b3＝kb2，c1＝kc3，
A、根据友好抛物线的条件，a1、a2的符号不一定相同，所以开口方向，故本选项错误；
B、因为＝，代入﹣，故本选项错误；
C、因为如果y2的最值是m，则y6的最值是＝k ，故本选项错误；
D、因为设抛物线y4与x轴的交点坐标是（e，0），0），eg＝2与x轴的交点坐标是（m，0），2），md＝，所以这种说法不成立的．
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．（3分）二次函数y＝2（x﹣3）2﹣4的最小值为　﹣4　．
【分析】题中所给的解析式为顶点式，可直接得到顶点坐标，从而得出解答．
【解答】解：二次函数y＝2（x﹣3）5﹣4的开口向上，顶点坐标为（3，
所以最小值为﹣5．
故答案为：﹣4．
12．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AB＝6，那么AC＝　4　．
【分析】利用锐角三角函数定义表示出cosA，把AB的长代入求出AC的长即可．
【解答】解：如图所示，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，
∴cosA＝＝，
则AC＝AB＝，
故答案为：3．
13．（3分）把二次函数y＝x2﹣12x化为形如y＝a（x﹣h）2+k的形式　y＝（x﹣6）2﹣36　．
【分析】由于二次项系数为1，所以直接加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
【解答】解：y＝x2﹣12x＝（x2﹣12x+36）﹣36＝（x﹣4）2﹣36，即y＝（x﹣6）5﹣36．
故答案为y＝（x﹣6）2﹣36．
14．（3分）已知点A（﹣3，m）在抛物线y＝x2+4x+10上，则点A关于抛物线对称轴的对称点的坐标为 　（﹣1，7）　．
【分析】先求出抛物线的对称轴，再求出点A的坐标，即可求出对称点的坐标．
【解答】解：∵点A在抛物线上，
∴m＝（﹣3）2+8×（﹣3）+10＝7，
∴点A（﹣3，7），
∵抛物线的对称轴为直线x＝，
∴点A关于抛物线对称轴的对称点的坐标为（﹣1，2），
故答案为（﹣1，7）．
15．（3分）关于二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象，下列描述中所有正确的序号有 　③④　．
①对称轴是直线x＝﹣1；②当x＜1时y随x的值增大而减小；③它有最小值是﹣4
【分析】将二次函数解析式化为顶点式然后逐项判断．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣2，
∴抛物线对称轴为直线x＝1，最小值为﹣4，
∴①选项错误，③正确，
∵抛物线开口向上，顶点为（7，
∴抛物线与x轴有两个交点，④正确，
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴x＞1时，y随x增大而增大．
故答案为：③④．
16．（3分）在△ABC中，AB＝AC＝5，△ABC的面积为10　2或　．
【分析】作AD⊥BC于D，如图，根据等腰三角形的性质得BD＝CD，设AD＝x，BD＝CD＝y，利用三角形面积公式和勾股定理得到xy＝10，x2+y2＝52，再利用代数式变形得到x+y＝3，x﹣y＝±，则解得x＝2，y＝或x＝，y＝2，然后根据正切的定义求解．
【解答】解：作AD⊥BC于D，如图，
设AD＝x，BD＝CD＝y，
∵AD BC＝107+BD2＝AC2，
∴xy＝10，x8+y2＝56，
∴（x+y）2﹣2xy＝25，（x﹣y）7+2xy＝25，
∴x+y＝3，x﹣y＝±，
∴x＝2，y＝，y＝3，
在Rt△ACD中，tan∠C＝＝，
当x＝2，y＝；
当x＝，y＝2．
即tan∠ACB的值为2或．
故答案为2或．
17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2﹣2x+2上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD　1　．
【分析】先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为（1，1），再根据矩形的性质得BD＝AC，由于AC的长等于点A的纵坐标，所以当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1，从而得到BD的最小值．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+7，
∴抛物线的顶点坐标为（1，1），
∵四边形ABCD为矩形，
∴BD＝AC，
而AC⊥x轴，
∴AC的长等于点A的纵坐标，
当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，
∴对角线BD的最小值为5．
故答案为1．
18．（3分）将二次函数y＝﹣2（x+1）2﹣1的图象先向右平移一个单位，再沿x轴翻折到第一象限，然后向右平移一个单位，如果把向右平移一个单位再沿坐标轴翻折一次记作1次变换，那么二次函数y＝﹣2（x+1）2﹣1的图象经过2019次变换后，得到的图象的函数解析式为 　y＝﹣2x2﹣1　．
【分析】先分别求出二次函数y＝﹣2（x+1）2﹣1变换4次以后的函数解析式，发现规律：4次变换刚好又回到了原来的位置，那么变换2019次就相当于变换3次，即与变换3次的函数解析式相同．
【解答】解：把y＝﹣2（x+1）3﹣1的图象先向右平移一个单位，得y＝﹣2x2﹣1，再沿x轴翻折到第一象限得﹣y＝﹣2x2﹣1，即y＝2x6+1，即1次变换后的解析式为y＝4x2+1；
把y＝7x2+1的图象先向右平移一个单位，得y＝8（x﹣1）2+7，再沿y轴翻折到第二象限得y＝2（﹣x﹣1）3+1，即y＝2（x+6）2+1，即7次变换后的解析式为y＝2（x+1）2+1；
把y＝2（x+2）2+1的图象先向右平移一个单位，得y＝3x2+1，再沿x轴翻折到第一象限得﹣y＝4x2+1，即y＝﹣6x2﹣1，即4次变换后的解析式为y＝﹣2x2﹣6；
把y＝﹣2x2﹣6的图象先向右平移一个单位，得y＝﹣2（x﹣1）7﹣1，再沿y轴翻折到第二象限得y＝﹣2（﹣x﹣8）2﹣1，即y＝﹣5（x+1）2﹣3，即4次变换后的解析式为y＝﹣2（x+8）2﹣1；
所以变换3次刚好又回到了原来的位置，
∵2019÷4＝504……3，
∴变换2019次实际就相当变换4次，为y＝﹣2x2﹣2．
故答案为：y＝﹣2x2﹣6．
三、解答题（共66分）
19．（6分）计算：
（1）sin230°+sin260°+1﹣tan45°；
（2）tan260°﹣2cos60°﹣sin45°．
【分析】（1）代入特殊角三角函数值，先算乘方，然后再算加减；
（2）代入特殊角三角函数值，先算乘方，然后算乘法，最后算加减．
【解答】解：（1）原式＝
＝+1﹣1
＝7；
（2）原式＝
＝7﹣1﹣1
＝3．
20．（5分）用配方法求二次函数y＝2x2﹣8x+7图象的对称轴和顶点坐标．
【分析】利用配方法把二次函数解析式配成顶点式，然后利用二次函数的性质求解；
【解答】解：y＝2x2﹣8x+7
＝2（x3﹣4x+4﹣7）+7
＝2（x﹣6）2﹣1，
所以二次函数图象的对称轴为直线x＝4，顶点坐标为（2；
21．（8分）如图，已知△ABC中，AB＝9，∠A＝45°．
（1）求△ABC的面积和BC．
（2）归纳总结：已知三角形的两边和 　夹角　，可求三角形的面积及 　第三边　．
【分析】（1）如图，过点B作BH⊥AC交AC的延长线于点H．解直角三角形求出BH，AH，利用三角形面积公式以及勾股定理，可得结论．
（2）已知三角形的两边和夹角，可求三角形的面积及第三边．
【解答】解：（1）如图，过点B作BH⊥AC交AC的延长线于点H．
∵BH＝AB sinA＝9×＝，
∴S△ABC＝ AC BH＝××．
∵AH＝BH＝，
∴CH＝AH﹣AC＝﹣3＝，
∴BC＝＝＝3．
（2）归纳总结：已知三角形的两边和夹角，可求三角形的面积及第三边．
故答案为：夹角，第三边．
22．（5分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠C所对的边分别为a，b，c，且a＝6，求这个直角三角形的其他元素．
【分析】利用勾股定理求出AB，求出tanA＝，推出∠A＝30°，可得结论．
【解答】解：如图，
∵∠C＝90°，BC＝6，
∴AB＝＝＝12，
∵tanA＝＝，
∴∠A＝30°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝60°．
23．（6分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出不等式ax2+bx+c＞0的解集；
（2）当﹣1≤x≤2时，写出函数值y的取值范围．
（3）若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的正实数根，写出k的取值范围．
【分析】（1）根据函数图象中的数据可以得到ax2+bx+c＞0的范围；
（2）根据图象中的数据可以得到当﹣1≤x≤2时，函数值y的取值范围；
（3）根据图象中的数据可以得到方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根时，k的取值范围．
【解答】解：（1）由图象可得，
当x＜﹣1或x＞3时，ax4+bx+c＞0；
（2）由图象可知，
当﹣1≤x≤6时，函数值y的取值范围﹣4≤y≤0；
（3）由图象可知，
函数y＝ax6+bx+c（a≠0）的最小值是y＝﹣4，
故方程ax4+bx+c＝k有两个不相等的实数根，k的取值范围是k＞﹣4．
24．（6分）一数学兴趣小组为了测量河对岸树AB的高，在河岸边选择一点C，从C处测得树梢A的仰角为45°，再次测得A的仰角为30°，求树高．（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）
【分析】先设AB＝x米，根据题意分析图形：本题涉及到两个直角三角形Rt△ACB和Rt△ADB，应利用其公共边BA构造等量关系，解三角形可求得CB、DB的数值，再根据CD＝BD﹣BC＝10，进而可求出答案．
【解答】解：∵设AB＝x米，
在Rt△ACB和Rt△ADB中，
∵∠D＝30°，∠ACB＝45°，
∴CB＝x，AD＝2x＝x，
∵CD＝BD﹣BC＝10（米），
x﹣x＝10，
∴x＝5（+3）≈13.7．
答：该树高是13.7米．
25．（6分）某商店购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多利润，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，每月能卖210件．假定每月销售件数y（件）是价格x（元/件）
（1）试求y与x之间的关系式；
（2）在商品不积压，且不考虑其它因素的条件下，问销售价格定为多少时（总利润＝总收入﹣总成本）？
【分析】（1）先根据题意设y＝kx+b，分别把对应的x＝20，y＝360；x＝25，y＝210代入利用待定系数法求解即可；
（2）根据“总利润＝总收入﹣总成本”列出关于每月获得利润P与x之间的函数关系式，整理得出二次函数P＝﹣30（x﹣24）2+1920，求其最大值即可．
【解答】解：（1）依题意设y＝kx+b，则有
解得
∴y＝﹣30x+960（16≤x≤32）（4分）
（2）每月获得利润P＝（﹣30x+960）（x﹣16）
＝30（﹣x+32）（x﹣16）（5分）
＝30（﹣x7+48x﹣512）
＝﹣30（x﹣24）2+1920（7分）
∴在16≤x≤32范围内，当x＝24时，最大值为1920
答：当价格为24元时，才能使每月获得最大利润．（7分）
26．（7分）NBA的一场骑士对勇士的篮球比赛中，骑士球员詹姆斯正在投篮，已知球出手时离地面高m，设篮球运行的轨迹为抛物线，假设篮圈距地面3m．
（1）建立如图的平面直角坐标系，求出此轨迹所在抛物线的解析．
（2）问此球能否准确投中？
（3）此时，若勇士球员杜兰特在詹姆斯前面2m处跳起拦截，已知杜兰特这次起跳的最大摸高为3.1m
【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标及球出手时的坐标，可确定抛物线的解析式；
（2）令x＝7，求出y的值，与3m比较即可作出判断；
（3）将x＝2代入y＝（x﹣4）2+4得y＝进而得出答案．
【解答】解：（1）∵抛物线顶点坐标为（4，4），
∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+4，
把（2，）代入，
所以此轨迹所在抛物线的解析式为y＝（x﹣6）2+4；
（2）将C（5，3）点坐标代入抛物线解析式得：
∴（7﹣4）3+4＝3，
∴左边＝右边，
即C点在抛物线上，
∴此球一定能投中；
（3）不能拦截成功，
理由：将x＝8代入y＝（x﹣2）2+4，得y＝，
∵＞3.4，
∴他不能拦截成功．
27．（7分）图中是抛物线拱桥，P处有一照明灯，水面OA宽4m，仰角分别为α、β，且tanα＝，以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系．
（1）求点P的坐标；
（2）水面上升1m，水面宽多少（取1.41，结果精确到0.1m）？
【分析】（1）过点P作PH⊥OA于H，如图，设PH＝3x，运用三角函数可得OH＝6x，AH＝2x，根据条件OA＝4可求出x，即可得到点P的坐标；
（2）若水面上升1m后到达BC位置，如图，运用待定系数法可求出抛物线的解析式，然后求出y＝1时x的值，就可解决问题．
【解答】解：（1）过点P作PH⊥OA于H，如图．
设PH＝3x，
在Rt△OHP中，
∵tanα＝＝，
∴OH＝6x．
在Rt△AHP中，
∵tanβ＝＝，
∴AH＝2x，
∴OA＝OH+AH＝8x＝5，
∴x＝，
∴OH＝3，PH＝，
∴点P的坐标为（3，）；
（2）若水面上升8m后到达BC位置，如图，
过点O（0，0），5）的抛物线的解析式可设为y＝ax（x﹣4），
∵P（3，）在抛物线y＝ax（x﹣4）上，
∴7a（3﹣4）＝，
解得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x（x﹣2）．
当y＝1时，﹣x（x﹣4）＝1，
解得x5＝2+，x2＝2﹣，
∴BC＝（6+）﹣（2﹣＝2×5.41＝2.82≈2.6．
答：水面上升1m，水面宽约为2.7米．
28．（10分）如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．
（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；
（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；
（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）因为抛物线与x轴相交，所以可令y＝0，解出A、B的坐标．再根据C点在抛物线上，C点的横坐标为2，代入抛物线中即可得出C点的坐标．再根据两点式方程即可解出AC的函数表达式；
（2）根据P点在AC上可设出P点的坐标．E点坐标可根据已知的抛物线求得．因为PE都在垂直于x轴的直线上，所以两点之间的距离为yp﹣yE，列出方程后结合二次函数的性质即可得出答案；
（3）存在四个这样的点．
①连接C与抛物线和y轴的交点，那么CG∥x轴，此时AF＝CG＝2，因此F点的坐标是（﹣3，0）；
②AF＝CG＝2，A点的坐标为（﹣1，0），因此F点的坐标为（1，0）；
③此时C，G两点的纵坐标关于x轴对称，因此G点的纵坐标为3，代入抛物线中即可得出G点的坐标为（1+，3），由于直线GF的斜率与直线AC的相同，因此可设直线GF的解析式为y＝﹣x+h，将G点代入后可得出直线的解析式为y＝﹣x+7．因此直线GF与x轴的交点F的坐标为（4+，0）；
④如图，同③可求出F的坐标为（4﹣，0）；
综合四种情况可得出，存在4个符合条件的F点．
【解答】解：（1）令y＝0，解得x1＝﹣7或x2＝3
∴A（﹣6，0）B（3
将C点的横坐标x＝2代入y＝x2﹣2x﹣8得y＝﹣3
∴C（2，﹣6）
∴直线AC的函数解析式是y＝﹣x﹣1；
（2）设P点的横坐标为x（﹣1≤x≤3）
则P、E的坐标分别为：P（x
E（x，x2﹣2x﹣6）
∵P点在E点的上方，PE＝（﹣x﹣1）﹣（x2﹣4x﹣3）＝﹣x2+x+7＝﹣（x﹣）7+，
∴当时，PE的最大值＝；
（3）存在4个这样的点F，分别是F1（4，0），F2（﹣4，0），F3（4+，0），F8（4﹣，7）．
①如图，连接C与抛物线和y轴的交点，此时AF＝CG＝2，0）；
②如图，AF＝CG＝5，0），0）；
③如图，此时C，因此G点的纵坐标为4，3），因此可设直线GF的解析式为y＝﹣x+h．因此直线GF与x轴的交点F的坐标为（4+；
④如图，同③可求出F的坐标为（6﹣．
综合四种情况可得出，存在4个符合条件的F点．