1.3正方形的性质与判定 期中复习题（2）2021-2022学年北师大版九年级数学上册（word版含解析）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《1.3正方形的性质与判定》期中复习题2（附答案）
1．正方形具有而矩形不具有的性质是（　　）
A．对边相等 B．对角相等
C．对角线相等 D．对角线互相垂直
2．在四边形ABCD中，两对角线交于点O，若OA＝OB＝OC＝OD，则这个四边形（　　）
A．可能不是平行四边形 B．一定是菱形
C．一定是正方形 D．一定是矩形
3．如图，已知E是正方形ABCD对角线AC上一点，且AB＝AE，则∠DBE度数是（　　）
A．15° B．32.5° C．22.5° D．30°
4．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，P为边BC上一点，且2BP＝AC，则∠COP的度数为（　　）
A．15° B．22.5° C．25° D．17.5°
5．如图，在正方形ABCD中，AB＝2．若以CD边为底边向其形外作等腰直角△DCE，连接BE，则BE的长为（　　）
A． B．2 C． D．2
6．如图，正方形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BD＝12，BE＝DF＝8，则四边形AECF的面积为（　　）
A．24 B．12 C．4 D．2
7．如图，正方形ABCD的边长为2，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为（　　）
A． B．2 C．2 D．
8．如图，已知边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别为AB、CD的中点，连接AC，点G、H在AC上，且AC＝4AG＝4CH，则四边形EHFG的面积为（　　）
A．8 B．4 C． D．
9．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC与点E，PF⊥CD于点F，连接EF，给出的下列结论：①AP＝EF；②∠PFE＝∠BAP；③PD＝EC；④PB2+PD2＝2PA2，正确的个数有（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．正方形ABCD中，点E、F分别在CD、BC边上，△AEF是等边三角形．以下结论：①EC＝FC；②∠AED＝75°；③AF＝CE；④EF的垂直平分线是直线AC．正确结论个数有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
11．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝BC＝4，AD＝3，E是边AB上一点，且∠DCE＝45°，则DE的长度是（　　）
A．3.2 B．3.4 C．3.6 D．4
12．如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，E，O在同一直线l上，且EF＝，AB＝3，给出下列结论：①∠COD＝45°，②AE＝5，③CF＝BD＝，④△COF的面积S△COF＝3，其中正确的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13．如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE＝BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ+PR的值是（　　）
A． B． C． D．
14．将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1，A2，…，An分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为（　　）
A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2
15．如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°，请添加一个条件　 　，可得出该四边形是正方形．
16．如图，以正方形ABCD的一边AD为边向外作等边△ADE，则∠BED的度数是　 　．
17．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE＝AC，则∠BCE的度数是　 　．
18．如图，P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕点B顺时针方向旋转能与△CBP′重合，若PB＝3，则PP′＝　 　．
19．如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝8，AE＝CF＝2，则四边形BEDF的周长是 　 　．
20．如图，正方形AFCE中，D是边CE上一点，B是CF延长线上一点，且AB＝AD，若四边形ABCD的面积是24cm2，则AC长是　 　cm．
21．如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为（2，3），则点F的坐标为　 　．
22．如图，正方形ABCD和正方形AEFG的边长分别为5cm和3cm，点E、G分别为AB、AD边上的点，H为CF的中点，连接HG，则HG的长为 　 　cm．
23．如图，正方形ABCD的面积为256，点E在AD上，点F在AB的延长线上，EC⊥FC，△CEF的面积为200，则BF的长为　 　．
24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC＝7，OC＝8，则另一直角边BC的长为　 　．
25．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF．给出下列五个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF； ③△APD一定是等腰三角形； ④∠PFE＝∠BAP；⑤PD＝EC．其中正确结论的序号是　 　．
26．如图，等边△AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF＝45°．求证：矩形ABCD是正方形．
27．如图，已知四边形ABCD是矩形，点E在对角线AC上，点F在边CD上（点F与点C、D不重合），BE⊥EF，且∠ABE+∠CEF＝45°．求证：四边形ABCD是正方形．
28．如图所示，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是OC上一点，连接BE，过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F．求证：BE＝AF．
29．如图，已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且AB＞CE，连接BG，DE．
（1）求证：BG＝DE；
（2）连接BD，若CG∥BD，BG＝BD，求∠BDE的度数．
30．如图，四边形是正方形，点G是BC边上任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE且交AG于点F．（1）求证：AE＝BF；
（2）如图，连接DF、CE，探究线段DF与CE的关系并证明．
31．在正方形ABCD中，∠MAN＝45°，该角可以绕点A转动，∠MAN的两边分别交射线CB，DC于点M，N．
（1）当点M，N分别在正方形的边CB和DC上时（如图1），线段BM，DN，MN之间有怎样的数量关系？你的猜想是：　 　，并加以证明．
（2）当点M，N分别在正方形的边CB和DC的延长线上时（如图2），线段BM，DN，MN之间的数量关系会发生变化吗？证明你的结论．
参考答案
1．解：正方形和矩形都具有的性质是对边相等，对角相等，对角线相等，对角线互相垂直是正方形具有矩形不具有的性质，
故选：D．
2．解：这个四边形是矩形，理由如下：
∵对角线AC、BD交于点O，OA＝OB＝OC＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵OA+OC＝OD+OB，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形．
故选：D．
3．解：∵AC、BD是正方形ABCD对角线，
∴∠BAE＝∠ABD＝45°，
又AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB＝67.5°，
∴∠DBE＝67.5°﹣45°＝22.5°，
故选：C．
4．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BOC＝90°，∠OBC＝45°，AC＝BD＝2OB，
∵2BP＝AC，
∴BP＝OB，
∴∠BOP＝∠BPO＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°，
∴∠COP＝90°﹣67.5°＝22.5°．
故选：B．
5．解：如图，过点E作EF⊥BC于F，
∵在正方形ABCD中，AB＝2．若以CD边为底边向其形外作等腰直角△DCE，
∴CE＝DE＝，∠DCE＝45°，
∴∠ECF＝45°，
∴CF＝EF＝＝1，
∴BF＝BC+CF＝3，
∴BE＝＝＝，
故选：C．
6．解：连接AC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，AC＝BD＝12，
∴AO＝CO＝BO＝DO，
∵BE＝DF＝8，
∴BF＝DE＝BD﹣BE＝4，
∴OE＝OF，EF＝DF﹣DE＝4，
∴四边形AECF是菱形，
∴菱形AECF的面积＝AC EF＝×12×4＝24，
故选：A．
7．解：设EF＝x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∠ABD＝∠ADB＝45°，
∴BD＝AB＝2，EF＝BF＝x，
∴BE＝x，
∵∠BAE＝22.5°，
∴∠DAE＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴∠AED＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴∠AED＝∠DAE，
∴AD＝ED，
∴BD＝BE+ED＝x+2＝2，
解得：x＝2﹣，
即EF＝2﹣；
故选：B．
8．解：如图，连接BD交AC于点O，连接EF．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠EAG＝∠FCH，
∵点E、F分别为AB、CD的中点，
∴AE＝CF，
∵AC＝4AG＝4CH，
∴AG＝OG＝OH＝CH，
∴△EAG≌△FCH（SAS），
∴EG＝FH，∠AGE＝∠CHF，
∴∠EGH＝∠FHG，
∴EG∥FH，
∴四边形EGFH是平行四边形，
∴GH与EF互相平分，
∴EF经过点O，
∵S△AEO＝S正方形ABCD＝×16＝2，
又∵AG＝OG，
∴S△EOG＝S△AEO＝1，
∴S平行四边形EGFH＝4S△EOG＝4．
故选：B．
9．解：①正确；连接PC，
由矩形的对称性得：PC＝EF，
由正方形的性质得：PC＝PA，
则AP＝EF；
②正确；∠PFE＝∠PCE＝∠BAP；
③错误；PD＝PF＝CE；
④正确；∵PB2＝PM2+MB2，PD2＝PF2+FD2，∴PB2+PD2＝2PA2；
故选：C．
10．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠C＝∠D＝∠DAB＝90°
∵△AEF是等边三角形
∴AE＝AF＝EF，∠EAF＝∠AEF＝60°
∵AD＝AB，AF＝AE
∴△ABF≌△ADE
∴BF＝DE
∴BC﹣BF＝CD﹣DE
∴CE＝CF
故①正确
∵CE＝CF，∠C＝90°
∴EF＝CE，∠CEF＝45°
∴AF＝CE，
∵∠AED＝180°﹣∠CEF﹣∠AEF
∴∠AED＝75°
故②③正确
∵AE＝AF，CE＝CF
∴AC垂直平分EF
故④正确
故选：D．
11．解：如图，过C作CG⊥AD于G，并延长DG至F，使GF＝BE，
∵∠A＝∠B＝∠CGA＝90°，AB＝BC，
∴四边形ABCG为正方形，
∴AG＝BC＝4，∠BCG＝90°，BC＝CG，
∵AD＝3，
∴DG＝4﹣3＝1，
∵BC＝CG，∠B＝∠CGF，BE＝FG，
∴△EBC≌△FGC（SAS），
∴CE＝CF，∠ECB＝∠FCG，
∵∠DCE＝45°，
∴∠BCE+∠DCG＝∠DCG+∠FCG＝45°，
∴∠DCE＝∠DCF，
∵CE＝CF，∠DCF＝∠DCE，DC＝DC，
∴△ECD≌△FCD（SAS），
∴ED＝DF，
设ED＝x，则EB＝FG＝x﹣1，
∴AE＝4﹣（x﹣1）＝5﹣x，
Rt△AED中，AE2+AD2＝DE2，
∴（5﹣x）2+32＝x2，
解得：x＝3.4，
∴DE＝3.4．
故选：B．
12．解：①∵∠AOC＝90°，∠DOE＝45°，
∴∠COD＝180°﹣∠AOC﹣∠DOE＝45°，
故正确；
②∵EF＝，
∴OE＝2，
∵AO＝AB＝3，
∴AE＝AO+OE＝2+3＝5，
故正确；
③作DH⊥AB于H，作FG⊥CO交CO的延长线于G，
则FG＝1，
CF＝，
BH＝3﹣1＝2，
DH＝3+1＝4，
BD＝，
故错误；
④△COF的面积S△COF＝×3×1＝，
故错误；
故选：B．
13．解：连接BP，过C作CM⊥BD，
∵S△BCE＝S△BPE+S△BPC
＝BC×PQ×+BE×PR×
＝BC×（PQ+PR）×
＝BE×CM×，
BC＝BE，
∴PQ+PR＝CM，
∵BE＝BC＝1，且正方形对角线BD＝BC＝，
又∵BC＝CD，CM⊥BD，
∴M为BD中点，又△BDC为直角三角形，
∴CM＝BD＝，
即PQ+PR值是．
故选：D．
14．解：连接正方形的中心和其余两个顶点可证得含45°的两个三角形全等，进而求得阴影部分面积等于正方形面积的，即是．
5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×4，n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×（n﹣1）＝cm2．
故选：C．
15．解：∵四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴当AB＝BC或AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形．
故答案为：AB＝BC．
16．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∵△ADE是等边三角形，
∴AD＝AE，∠DAE＝∠AED＝60°，
∴∠BAE＝150°，AB＝AE，
∴∠AEB＝15°，
∴∠BED＝45°，
故答案为：45°．
17．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CAE＝45°＝∠ACB．
∵AE＝AC，
∴∠ACE＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°．
∴∠BCE＝∠ACE﹣∠ACB＝67.5°﹣45°＝22.5°．
故答案为22.5°．
18．解：根据题意将△ABP绕点B顺时针方向旋转能与△CBP'重合，
结合旋转的性质可得BP＝BP′，∠PBP′＝90°，
根据勾股定理，可得PP′＝＝3；
故答案为3．
19．解：如图，连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BD⊥AC，OD＝OB＝OA＝OC，
∵AE＝CF＝2，
∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF，
∴四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，
∴四边形BEDF为菱形，
∴DE＝DF＝BE＝BF，
∵AC＝BD＝8，OE＝OF＝＝2，
由勾股定理得：DE＝＝2，
∴四边形BEDF的周长＝4DE＝4×2＝8，
故答案为：8．
20．解：∵四边形AFCE是正方形，
∴AF＝AE，∠E＝∠AFC＝∠AFB＝90°，
∵在Rt△AED和Rt△AFB中
∴Rt△AED≌Rt△AFB（HL），
∴S△AED＝S△AFB，
∵四边形ABCD的面积是24cm2，
∴正方形AFCE的面积是24cm2，
∴AE＝EC＝＝2（cm），
根据勾股定理得：AC＝＝4，
故答案为：4．
21．解：如图，过点E作x轴的垂线EH，垂足为H．过点G作x轴的垂线GM，垂足为M，连接GE、FO交于点O′．
∵四边形OEFG是正方形，
∴OG＝EO，∠GOM＝∠OEH，∠OGM＝∠EOH，
在△OGM与△EOH中，
∴△OGM≌△EOH（ASA）
∴GM＝OH＝2，OM＝EH＝3，
∴G（﹣3，2）．
∴O′（﹣，）．
∵点F与点O关于点O′对称，
∴点F的坐标为 （﹣1，5）．
故答案是：（﹣1，5）．
22．解：如图，延长GH交DC的延长线于N，
∵正方形ABCD和正方形AEFG的边长分别为5和3，
∴AE∥GF∥CD，GF＝AG＝3，DC＝AD＝5，
∴∠FGH＝∠N，GD＝2，
∵点H是CF的中点，
∴CH＝FH，
在△FGH和△CNH中，
，
∴△FGH≌△CNH（AAS），
∴GH＝HN，GF＝CN＝3，
∴DN＝DC+CN＝8，
∴GN＝＝＝2，
∴GH＝，
故答案为：．
23．解：∵∠ECF＝90°，∠DCB＝90°，
∴∠BCF＝∠DCE，
∵在△CDE与△CBF中，
∴△CDE≌△CBF，
∴CE＝CF．
因为Rt△CEF的面积是200，即 CE CF＝200，故CF＝20．
正方形ABCD的面积＝BC2＝256，得BC＝16．
根据勾股定理得：BF＝＝12．
故答案为：12．
24．解：过O作OF⊥BC于F，过A作AM⊥OF于M，
∵∠ACB＝90°，
∴∠AMO＝∠OFB＝90°，∠ACB＝∠CFM＝∠AMF＝90°，
∴四边形ACFM是矩形，
∴AM＝CF，AC＝MF＝7，
∵四边形ABDE为正方形，
∴∠AOB＝90°，OA＝OB，
∴∠AOM+∠BOF＝90°，
又∵∠AMO＝90°，
∴∠AOM+∠OAM＝90°，
∴∠BOF＝∠OAM，
在△AOM和△OBF中，
，
∴△AOM≌△OBF（AAS），
∴AM＝OF，OM＝FB，
∴OF＝CF，
∵∠CFO＝90°，
∴△CFO是等腰直角三角形，
∵OC＝8，
由勾股定理得：CF＝OF＝8，
∴BF＝OM＝OF﹣FM＝8﹣7＝1，
∴BC＝8+1＝9．
故答案为：9．
25．证明：过P作PG⊥AB于点G，
∵点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，
∴GP＝EP，
在△GPB中，∠GBP＝45°，
∴∠GPB＝45°，
∴GB＝GP，
同理，得
PE＝BE，
∵AB＝BC＝GF，
∴AG＝AB﹣GB，FP＝GF﹣GP＝AB﹣GB，
∴AG＝PF，
∴△AGP≌△FPE，
①∴AP＝EF；
∠PFE＝∠GAP
∴④∠PFE＝∠BAP，
②延长AP到EF上于一点H，
∴∠PAG＝∠PFH，
∵∠APG＝∠FPH，
∴∠PHF＝∠PGA＝90°，即AP⊥EF；
③∵点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，∠ADP＝45度，
∴当∠PAD＝45度或67.5度或90度时，△APD是等腰三角形，
除此之外，△APD不是等腰三角形，故③错误．
∵GF∥BC，
∴∠DPF＝∠DBC，
又∵∠DPF＝∠DBC＝45°，
∴∠PDF＝∠DPF＝45°，
∴PF＝EC，
∴在Rt△DPF中，DP2＝DF2+PF2＝EC2+EC2＝2EC2，
∴⑤DP＝EC．
∴其中正确结论的序号是①②④⑤．
故选B．
26．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠D＝∠C＝90°，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE＝AF，∠AEF＝∠AFE＝60°，
∵∠CEF＝45°，
∴∠CFE＝∠CEF＝45°，
∴∠AFD＝∠AEB＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
∴△AEB≌△AFD（AAS），
∴AB＝AD，
∴矩形ABCD是正方形．
27．证明：如图，作EM⊥BC于点M，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB⊥BC，
∴EM∥AB，
∴∠ABE＝∠BEM，∠BAC＝∠CEM，
∵∠ABE+∠CEF＝45°，
∴∠BEM+∠CEF＝45°，
∵BE⊥EF，
∴∠CEM＝45°＝∠BAC，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，
∴AB＝BC，
∴矩形ABCD是正方形．
28．证明：∵正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴∠AOF＝∠BOE＝90°，OA＝OB，
∵AM⊥BE，
∴∠BMF＝90°，
∴∠AOF＝∠BMF，
又∵∠BFM＝AFO，
∴∠FAO＝∠EBO，
∴在△FAO和△EBO中，
，
∴△FAO≌△EBO（ASA）．
∴BE＝AF．
29．（1）证明：∵四边形ABCD和四边形CEFG为正方形，
∴BC＝DC，CG＝CE，∠BCD＝∠GCE＝90°，
∴∠BCG＝∠DCE，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴BG＝DE；
（2）连接BE，
∵CG∥BD，
∴∠DCG＝∠BDC＝45°，
∴∠BCG＝∠BCD+∠DCG＝90°+45°＝135°．
∵∠GCE＝90°，
∴∠BCE＝360°﹣∠BCG﹣∠GCE＝360°﹣135°﹣90°＝135°，
∴∠BCG＝∠BCE．
∵CG＝CE，BC＝BC，
∴△BCG≌△BCE（SAS），
∴BG＝BE．
∵由（1）可知BG＝DE，
∴BD＝BE＝DE，
∴△BDE为等边三角形，
∴∠BDE＝60°．
30．解：
（1）证明：∵DE⊥AG于点E，BF∥DE且交AG于点F，
∴BF⊥AG于点F，
∴∠AED＝∠BFA＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD且∠BAD＝∠ADC＝90°，
∴∠BAF+∠EAD＝90°，
∵∠EAD+∠ADE＝90°，
∴∠BAF＝∠ADE，
在△AFB和△DEA中，
，
∴△AFB≌△DEA（AAS），
∴BF＝AE；
（2）DF＝CE且DF⊥CE．
理由如下：∵∠FAD+∠ADE＝90°，∠EDC+∠ADE＝∠ADC＝90°，
∴∠FAD＝∠EDC，
∵△AFB≌△DEA，
∴AF＝DE，
又∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，
在△FAD和△EDC中，
，
∴△FAD≌△EDC（SAS），
∴DF＝CE且∠ADF＝∠DCE，
∵∠ADF+∠CDF＝∠ADC＝90°，
∴∠DCE+∠CDF＝90°，
∴DF⊥CE．
31．证明：（1）猜想：BM+DN＝MN，
证明如下：
如图1，在MB的延长线上，截取BE＝DN，连接AE，
在△ABE和△ADN中
，
∴△ABE≌△ADN（SAS），
∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD，
∵∠BAD＝90°，∠MAN＝45°，
∴∠BAM+∠DAN＝45°，
∴∠EAB+∠BAM＝45°，
∴∠EAM＝∠NAM，
在△AEM和△ANM中
，
∴△AEM≌△ANM（SAS），
∴ME＝MN，
又ME＝BE+BM＝BM+DN，
∴BM+DN＝MN；
故答案为：BM+DN＝MN；
（2）DN﹣BM＝MN．
证明如下：
如图2，在DC上截取DF＝BM，连接AF，
△ABM和△ADF中
，
∴△ABM≌△ADF（SAS），
∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，
∴∠BAM+∠BAF＝∠BAF+∠DAF＝90°，即MAF＝∠BAD＝90°，
∵∠MAN＝45°，
∴∠MAN＝∠FAN＝45°，
在△MAN和△FAN中
，
∴△MAN≌△FAN（SAS），
∴MN＝NF，
∴MN＝DN﹣DF＝DN﹣BM，
∴DN﹣BM＝MN．