3.5探索与表达规律 同步达标测评 2021-2022学年北师大版七年级数学上册（word版含解析）

2021-2022学年北师大版七年级数学上册《3.5探索与表达规律》同步达标测评（附答案）
一．选择题（共7小题，满分28分）
1．计算1﹣2+3﹣4+5﹣6+7﹣8+…+2021﹣2022的结果是（　　）
A．﹣1011 B．﹣2022 C．0 D．﹣1
2．观察一列数：﹣1，3，﹣5，7，﹣9，11，﹣13，……按照这列数的排列规律，你认为第n个数应该是（　　）
A．2n﹣1 B．（﹣1）n+1（2n﹣1）
C．（﹣1）n﹣1（2n﹣1） D．（﹣1）n（2n﹣1）
3．已知下列一组数：1，，，，，…；用代数式表示第n个数，则第n个数是（　　）
A． B． C． D．
4．数左手手指，1为大拇指，数到第2023时对应的手指是（　　）
A．无名指 B．食指 C．中指 D．大拇指
5．如果这个月6号是星期四，则23号是星期（　　）
A．五 B．六 C．日 D．一
6．观察下列算式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…根据上述算式中的规律，你认为2810的末位数字是（　　）
A．2 B．4 C．8 D．6
7．某电影院共有座位n排，已知第一排的座位为m个，后一排总是比前一排多1个，则电影院中共有座位（　　）个．
A．mn+ B．mn+ C．mn+n D．mn+
二．填空题（共9小题，满分36分）
8．已知（x+1）2021＝a0+a1x1+a2x2+a3x3+…+a2021x2021，则a2021﹣a2020+a2019﹣a2018+…+a1的值为　 　．
9．如图是一根起点为1的数轴，现有同学将它弯折，弯折后虚线上由左至右第1个数是1，第2个数是13，第3个数是41，…，依此规律，第7个数是　 　．
10．我们可以用符号f（a）表示代数式．当a是正整数时，我们规定如果a为偶数，f（a）＝0.5a；如果a为奇数，f（a）＝3a+1．例如：f（20）＝10，f（5）＝16．设a1＝2，a2＝f（a1），a3＝f（a2）…；依此规律进行下去，得到一列数：a1，a2，a3，a4，…，an（n为正整数），则a4＝　 　；5a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a6+…+a2019﹣a2020+a2021＝　 　．
11．已知有理数a≠1，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是＝﹣1，﹣2的差倒数是＝，如果a1＝﹣1，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…以此类推，则a1+a2+a3+a4+…+a121＝　 　．
12．若规定f（x）＝5﹣x+|x﹣5|，例如f（1）＝5﹣1+|1﹣5|＝8，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2020）＝　 　．
13．我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”（如1，3，6，10…）和“正方形数”（如1，4，9，16…），在小于200的数中，设最大的“三角形数”为m，最大的“正方形数”为n，则m+n的值为　 　．
14．有一系列等式：
1×2×3×4+1＝52＝（12+3×1+1）2，
2×3×4×5+1＝112＝（22+3×2+1）2，
3×4×5×6+1＝192＝（32+3×3+1）2，
4×5×6×7+1＝292＝（42+3×4+1）2，
……
（1）根据你的观察，归纳发现规律，写出9×10×11×12+1的结果是　 　；
（2）式子（n﹣1）n（n+1）（n+2）+1＝　 　．
15．观察这一列单项式的规律：﹣x，2x2，﹣4x3，8x4，﹣16x5，…，照此规律，则第8个单项式为　 　．
16．若x是不等于1的实数，我们把称为x的差倒数．如2的差侧数是＝﹣1，﹣1的差倒数为＝，现已知x1＝﹣，x2是x1的差倒数，x3是x2的差倒数，x4是x3的差倒数，……，依此类推，则x2020＝　 　．
三．解答题（共7小题，满分56分）
17．观察下面的三行单项式
x，2x2，4x3，8x4，16x5…①
2x，﹣4x2，8x3，﹣16x4，32x5…②
3x，5x2，9x3，17x4，33x5…③
根据你发现的规律，完成以下各题：
（1）第①行第7个单项式为 　 　；第②行第7个单项式为 　 　．
（2）第③行第n个单项式为 　 　．
（3）取每行的第10个单项式，令这三个单项式的和为A．计算当x＝时，256[3A﹣2（A+）]的值．
18．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．
【阅读】若a、b为有理数，则|a﹣b|表示数a与数b的差的绝对值，也可以理解为a与b两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
（1）|2﹣（﹣3）|＝　 　；
（2）|5+7|＝　 　．
（3）利用数轴，解决下列问题：
①若|x﹣（﹣1）|＝3，则x＝　 　；
②若|x﹣|＝|x+3|，则x＝　 　．
（4）利用数轴找出所有符合条件的整数x，使得|x+1|+|x﹣3|＝4，这样的整数是　 　．
（5）利用以上知识，判断式子|x+4|+|x﹣7|是否有最小值？如果有，请直接写出最小值；如果没有，请说明理由．
19．探索题
请观察下列算式：＝1﹣，＝﹣，＝﹣，＝﹣，……，
找出规律并填空，第10个算式是　 　，第n个算式为　 　．
根据以上规律解答以下三题：
（1）+++……+；
（2）++++++；
（3）若|a﹣1|与|b﹣3|互为相反数，求：++++…的值．
20．读一读：式子“1+2+3+4+5+…+100”表示1开始的100个连续自然数的和．由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可以将“1+2+3+4+5+…+100”表示为n，这里“”是求和符号．例如：1+3+5+7+9+…+99，即从1开始的100以内的连续奇数的和，可表示为（2n﹣1）；又如13+23+33+43+53+63+73+83+93+103可表示为n3．通过对上以材料的阅读，请解答下列问题．
（1）2+4+6+8+10+…+100（即从2开始的100以内的连续偶数的和）用求和符合可表示为　 　；
（2）计算（n﹣1）．
21．【情景背景】如图所示，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，以此类推．
（1）如图（1）中的阴影部分面积是　 　；
（2）受此启发，得到＝　 　；
（3）进而计算：＝　 　；
【迁移应用】计算：＝　 　；
【解决问题】计算；
22．规律探索题：有一系列等式
1×2×3×4+1＝52＝（12+3×1+1）2；
2×3×4×5+1＝112＝（22+3×2+1）2；
3×4×5×6+1＝192＝（32+3×3+1）2；
4×5×6×7+1＝292＝（42+3×4+1）2；
（1）根据你的观察、归纳、发现的规律，直接写出8×9×10×11+1的结果；
（2）根据你的观察、归纳、发现的规律，直接写出2020×2021×2022×2023+1的算术平方根；
（3）试猜想：n（n+1）（n+2）（n+3）+1是哪一个数的平方？并予以推理证明．
23．按下图方式摆放餐桌和椅子（中间的是餐桌，四周是椅子），观察摆放的规律回答下列问题．
（1）按照此规律，第（4）幅图应该有　 　把椅子？
（2）按照此规律，第n幅图有　 　把椅子？
（3）试计算第10幅图有多少把椅子？有没有那幅图的椅子数量可能是120把？计算并说明理由？
参考答案
一．选择题（共7小题，满分28分）
1．解：原式＝（1﹣2）+（3﹣4）+（5﹣6）+（7﹣8）+（9﹣10）+（11﹣12）+…+（2019﹣2020）+（2021﹣2022）
＝﹣1011
故选：A．
2．解：∵一列数：﹣1，3，﹣5，7，﹣9，11，﹣13，…，
∴这列数的第n个数为：（﹣1）n（2n﹣1），
故选：D．
3．解：∵1＝；
；
；
∴第n个数是：
故选：B．
4．解：∵2023是从2开始的第2023﹣1＝2022个数，
∴2022÷4＝505…2，
∴2023是第505个循环组的第2个数，
∴第2023与3的位置相同，即中指的位置．
故选：C．
5．解：6号至23号经过23﹣6＝17（天），
17÷7＝2（周）…3（天），
因为6号是星期四，后推2周3天，是星期日，
所以23号是星期日；
故选：C．
6．解：2n的个位数字是2，4，8，6四个一循环，
所以810÷4＝202…2，
规定：如果余数为1，那末尾数就是2；如果余数是2，那末尾数是4；如果余数为3，那末尾数是8；如果余数是0，那末尾数是6．用810÷4＝202…2，余数是2根据上表格可知，末尾数是4，
则2810的末位数字是4．
故选：B．
7．解：每排递增的座位数为：
所以总座位数为：mn+
故选：B．
二．填空题（共9小题，满分36分）
8．解：令x＝0，则（x+1）2021＝a0＝1，
令x＝﹣1，则（x+1）2021＝a0﹣a1+a2﹣a3+...+a2020﹣a2021＝0，
即（a0﹣a1）+（a2﹣a3）+...+（a2020﹣a2021）＝0，
等式两边同乘﹣1，得（a1﹣a0）+（a3﹣a2）+...+（a2021﹣a2020）＝0，
运用加法交换律，得（a2021﹣a2020）+（a2019﹣a2018）+...+（a1﹣a0）＝0，
即 a2021﹣a2020+a2019﹣a2018+...+a1﹣a0＝0，
∴a2021﹣a2020+a2019﹣a2018+...+a1＝a0＝1，
故答案为1．
9．解：第二个数13＝12+1＝3×4+1，
第三个数41＝40+1＝5×8+1，
则第七个数＝[5+（7﹣3）×2]×[8+（7﹣3）×4]+1＝13×24+1＝313．
故答案为：313．
10．解：由题意可得，
a1＝2，
a2＝f（a1）＝1，
a3＝f（a2）＝4，
a4＝2，
a5＝1，
…，
由上可得，这列数依次以2，1，4循环出现，
∵2021÷3＝673…2，2021÷6＝336…5，
∴5a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a6+…+a2019﹣a2020+a2021
＝4a1+（a1﹣a2+a3）﹣（a4﹣a5+a6）+（a7﹣a8+a9）﹣…+（a2017﹣a2018+a2019）﹣（a2020﹣a2021）
＝4×2+[（a1﹣a2+a3）﹣（a4﹣a5+a6）]+…+[（a2017﹣a2018+a2019）﹣（a2020﹣a2021）]
＝8+0×336+[（2﹣1+4）﹣（2﹣1）]
＝8+0+（5﹣1）
＝8+0+4
＝12，
故答案为：2，12．
11．解：由题意可得，
a1＝﹣1，
a2＝，
a3＝2，
a4＝﹣1，
…，
由上可得，这列数依次以﹣1，，2循环出现，
∵121÷3＝40…1，﹣1++2＝，
∴a1+a2+a3+a4+…+a121
＝（a1+a2+a3）+（a4+a5+a6）+…+（a118+a119+a120）+a121
＝++…++（﹣1）
＝×40+（﹣1）
＝60+（﹣1）
＝59，
故答案为：59．
12．解：∵f（1）＝5﹣1+|1﹣5|＝8；
f（2）＝5﹣2+|2﹣5|＝6；
f（3）＝5﹣3+|3﹣5|＝4，
f（4）＝5﹣4+|4﹣5|＝2；
f（5）＝5﹣5+|5﹣5|＝0，
f（6）＝5﹣6+|6﹣5|＝0；
f（7）＝5﹣7+|7﹣5|＝0，
f（8）＝5﹣3+|3﹣5|＝0；
f（9）＝5﹣9+|9﹣5|＝0，
f（10）＝5﹣10+|10﹣5|＝0，
∴f（5）及以后结果都是0，
∴f（1）+f（2）+f（3）+……+f（2020）＝8+6+4+2＝20，
故答案为：20．
13．解：由图形知第n个三角形数为1+2+3+…+n＝，第n个正方形数为n2，
当n＝19时，＝190＜200，当n＝20时，＝210＞200，
所以最大的三角形数m＝190；
当n＝14时，n2＝196＜200，当n＝15时，n2＝225＞200，所以最大的正方形数n＝196；
则m+n＝190+196＝386，
故答案为：386．
14．解：（1）通过观察分析可得，每列的连续四个做积的自然数中第一个数乘以第四个自然数的积再加上1得到的和，就等于每列中间做平方的底数，
所以9×10×11×12+1＝（9×12+1）2＝1092，每列中的最后一组式子括号里的数为四个做乘积的自然中的第一个自然数的平方然后加上3乘以这个自然数再加上1得到和，所以9×10×11×12+1＝（109）2＝（92+3×9+1）2．
（2）根据（1）分析的规律可得，（n﹣1）n（n+1）（n+2）+1＝[（n﹣1）（n+2）+1]2＝（n2+n﹣1）2．
故答案为：（1）9×10×11×12+1＝（109）2＝（92+3×9+1）2，（2）（n2+n﹣1）2．
15．解：根据分析的规律，得
第8个单项式是27x8＝128x8．
故答案为：128x8．
16．解：根据差倒数的定义可得出：
x1＝﹣，x2＝＝，x3＝1﹣＝4，x4＝＝﹣，
由此发现该组数每3个一循环．
∵2020÷3＝673…1，
∴x2020＝x1＝﹣．
故答案为：﹣．
三．解答题（共7小题，满分56分）
17．解：（1）①的特点，第n个数是2n﹣1xn，
∴第7个单项式是26x7；
②的特点，第n个数是（﹣1）n﹣1（2x）n，
∴第7个单项式是27x7；
故答案为：26x7，27x7；
（2）③的特点，第n个数是（2n+1）xn，
故答案为：（2n+1）xn；
（3）①的第10个单项式是29x10，②的第10个单项式是﹣210x10，③的第10个单项式是（210+1）x10，
∴A＝29x10﹣210x10+（210+1）x10＝（29+1）x10，
当x＝时，A＝（29+1）×（）10，
∴256[3A﹣2（A+）]＝256（A﹣）＝256×[（29+1）×（）10﹣]＝28×（）10＝．
18．解：（1）|2﹣（﹣3）|＝|5|＝5，
故答案为：5；
（2）|5+7|＝|12|＝12；
故答案为：12；
（3）①若|x﹣（﹣1）|＝3，则x到﹣1的距离是3，观察数轴可知x是2或﹣4；
故答案为：2或﹣4；
②若|x﹣|＝|x+3|，则x到和﹣3的距离相等，即x在和﹣3的中点，即；
故答案为：；
（4）若|x+1|+|x﹣3|＝4，则x到﹣1和3的距离和是4，观察数轴可知﹣1和3之间的点（包括﹣1和3），到﹣1和3的距离和都是4，
∴这样的整数为：﹣1，0，1，2，3；
故答案为：﹣1或0或1或2或3；
（5）有最小值，理由如下：
式子|x+4|+|x﹣7|表示的是x到﹣4和7的距离和，观察数轴可知﹣4和7之间的点（包括﹣4和7），到﹣4和7之间的距离和都是11，在﹣4左边的点和7右边的点到﹣4和7的距离和都大于11，
∴式子|x+4|+|x﹣7|有最小值，最小值为11．
19．解：由题意可得，
第10个算式是＝，第n个算式为：＝，
故答案为：＝，＝；
（1）+++……+
＝1﹣+…+
＝1﹣
＝；
（2）++++++
＝+…+
＝1﹣+…+
＝1﹣
＝；
（3）∵|a﹣1|与|b﹣3|互为相反数，
∴|a﹣1|+|b﹣3|＝0，
∴a﹣1＝0，b﹣3＝0，
∴a＝1，b＝3，
∴++++…
＝+…+
＝×（1﹣+…+）
＝×（1﹣）
＝×
＝．
20．解：（1）2+4+6+8+10+…+100（即从2开始的100以内的连续偶数的和）用求和符合可表示为：．
（2）（n﹣1）．
＝（1+2+3+…+40）﹣40
＝××40﹣40
＝370
故答案为：．
21．解：（1）如图（1）中的阴影部分面积是，
故答案为：；
（2）受此启发，得到＝1﹣＝1﹣＝，
故答案为：；
（3）＝1﹣，
故答案为：1﹣；
【迁移应用】设S＝，
则3S＝，
∴3S﹣S＝1﹣，
化简，得S＝＝，
故答案为：；
【解决问题】
＝1﹣+1﹣+1﹣+…+1﹣
＝n﹣（）
令S＝，
5S＝1++…+，
∴5S﹣S＝1﹣，
化简，得S＝，
∴原式＝n﹣．
22．解：（1）根据观察、归纳、发现的规律，得到8×9×10×11+1＝（82+3×8+1）2＝892；
故答案为：892；
（2）2020×2021×2022×2023+1＝（20202+3×2020+1）2，
∴2020×2021×2022×2023+1的算术平方根为20202+3×2020+1；
（3）依此类推：n（n+1）（n+2）（n+3）+1＝（n2+3n+1）2，
理由如下：等式左边＝（n2+3n）（n2+3n+2）+1＝n4+6n3+9n2+2n2+6n+1＝n4+6n3+11n2+6n+1，
等式右边＝（n2+3n+1）2＝（n2+1）2+2 3n （n2+1）+9n2＝n4+2n2+1+6n3+6n+9n2＝n4+6n3+11n2+6n+1，
∴左边＝右边．
23．解：（1）第4幅图中椅子有2+4×4＝18（把），
故答案为：18；
（2）按照此规律，第n幅图椅子有（4n+2）把，
故答案为：（4n+2）．
（3）将n＝10代入4n+2得42把椅子；
若4n+2＝120，计算得n＝，不是整数，不符题意，
所以椅子数不可能为120把．