3.5探索与表达规律 优生辅导训练 2021-2022学年北师大版七年级数学上册（word版含解析）

2021-2022学年北师大版七年级数学上册《3.5探索与表达规律》优生辅导训练（附答案）
1．观察下列一组数：，﹣，，﹣，，…，它们是按照一定规律排列的，那么这组数的第n个数是（　　）
A． B．（﹣1）n
C．（﹣1）n D．（﹣1）n﹣1
2．观察下列按一定规律排列的代数式：2，3+，3﹣，3+，3﹣，…，第n个代数式为（　　）
A．2+ B．2﹣ C．3+ D．3﹣
3．已知1＝12，1+3＝22，1+3+5＝32，…则1+3+5+7+…+2021＝（　　）
A．10102 B．10112 C．20202 D．20212
4．某校七年级（1）班的小新同学，观察下面三行数后，用乘方的形式表示了每行数中有规律的某一个，其中正确的是（　　）
（1）﹣3，9，﹣27，81，﹣243…；
（2）﹣5，7，﹣29，79，﹣245…；
（3）﹣1，3，﹣9，27，﹣81…．
A．第（1）行第9个数是39
B．第（2）行第16个数是316+2
C．第（3）行第2021个数是﹣32021
D．第（3）行第n个数是（﹣1）n3n﹣1
5．美妙的音乐能陶冶情操，催人奋进，根据下面五线乐谱中的信息，确定最后一个音符（即“？”处）的时值长应为（　　）
A． B． C． D．
6．当x分别取2020、2018、2016、…、2、0、、、…、、、时，计算分式的值，再将所得结果相加，其和等于（　　）
A．﹣1 B．1 C．0 D．2020
7．已知整数a1、a2、a3、a4、…，满足下列条件：a1＝0、a2＝﹣|a1+1|、a3＝﹣|a2+2|、a4＝﹣|a3+3|、a5＝﹣|a4+4|、…，依此类推，则a2021＝（　　）
A．﹣1009 B．﹣1010 C．﹣2020 D．﹣2021
8．一只小球落在数轴上的某点P0，第一次从P0向左跳1个单位到P1，第二次从P1向右跳2个单位到P2，第三次从P2向左跳3个单位到P3，第四次从P3向右跳4个单位到P4……若按以上规律跳了100次时，它落在数轴上的点P100所表示的数恰好是2021，则这只小球的初始位置点P0所表示的数是（　　）
A．1971 B．1970 C．﹣1971 D．﹣1970
9．如图，将整数按规律排列，若有序数对（a，b）表示第a排从左往右第b个数，则（9，4）表示的数是（　　）
A．49 B．﹣40 C．﹣32 D．25
10．有依次排列的3个数：2，9，7，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：2，7，9，﹣2，7，这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也可产生一个新数串：2，5，7，2，9，﹣11，﹣2，9，7，继续依次操作下去，问：从数串2，9，7开始操作第一百次以后所产生的那个新数串的所有数之和是（　　）
A．2015 B．1036 C．518 D．259
11．观察下面倒“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出a的值为（　　）
A．2020 B．2021 C．4040 D．4039
12．定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，运算结果为3n+5；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行，例如，取n＝26，则
若n＝898，则第2021次“F运算”的结果是（　　）
A．488 B．1 C．4 D．8
13．如图，小明用棋子摆放图形来研究数的规律，图1中棋子围成三角形．其个数3，6，9，12，…称为三角形数，类似地，图2中的4，8，12，16，…称为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（　　）
A．2032 B．2030 C．2028 D．2026
14．十九世纪的时候，MorizStern（1858）与AchilleBrocot（1860）发明了“一棵树”，称之为有理数树，它将全体正整数和正分数按照如图所示的方法排列．从1开始，一层一层的“生长”出来：是第一层，第二层是和，第三层是，，，，…，按照这个规律，在第 　 　层第 　 　个数（从左往右数）．
观察下面的变化规律：
根据以上的规律计算：＝　 　．
16．已知有理数a≠1．我们把称为a的差倒数，如2的差倒数是＝﹣1，﹣2的差倒数是＝，若a1＝﹣1，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，依次类推，那么a1+a2+a3+…+a2020+a2021的和是 　 　．
17．计算：（+++…+）（+++…+）﹣（+++…+）（+++…+）＝　 　．
18．为计算1+2+22+23+…+22019，可另S＝1+2+22+23+…+22019，则2S＝2+22+23+24+…+22020，因此2S﹣S＝22020﹣1，根据以上解题过程，猜想：1+3+32+33+…+32019＝　 　．
19．观察等式：2+22＝23﹣2，2+22+23＝24﹣2，2+22+23+24＝25﹣2，……，若250＝a，则250+251+252+……+299+2021＝　 　.（答案用含a的式子表示）
三．解答题（共9小题）
20．运用乘法公式计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）
21．已知13＝1＝×12×22，13+23＝9＝×22×32，13+23+33＝36＝×32×42，…，按照这个规律完成下列问题：
（1）13+23+33+43+53＝×　 　2×　 　2；
（2）猜想，13+23+33+…n3＝　 　；
（3）利用（2）中的结论计算：113+123+133+143+153+163+…+393+403．（写出计算过程）
22．观察下面各式的规律：
12+（1×2）2+22＝（1×2+1）2；
22+（2×3）2+32＝（2×3+1）2；
32+（3×4）2+42＝（3×4+1）2；
…
（1）写出第2021个式子；
（2）写出第n个式子，并验证你的结论．
23．观察如图图形及对应的等式：①12＝02+1；②22＝12+3；③32＝22+5；④42＝32+7；…
（1）根据上面的规律，写出第⑦个等式：　 　．
（2）猜想第n个等式（用含n的代数式表示），并验证你的猜想是正确的．
24．观察下列等式：
①＝×（1﹣）；②＝×（﹣）；③＝×（﹣）…
根据上述等式的规律，解答下列问题：
（1）请写出第④个等式：　 　；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含有n的等式表示），并证明这个等式．
（3）应用你发现的规律，计算：
+++…+．
25．观察以下等式：①；②；③…，按以上规律解决下列问题：
（1）第⑤个等式是 　 　．
（2）探究：…+＝　 　（用含的等式表示）；
（3）计算：若+…＝，求n的值．
26．观察下列等式：①1﹣1﹣＝﹣；②﹣﹣＝﹣；③﹣﹣＝﹣；④﹣﹣＝﹣；⑤﹣﹣＝﹣；…．
（1）根据以上规律写出第⑥个等式：　 　；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并说明猜想的正确性．
27．观察下列等式：
①；
②；
③；
④；
⑤；
…
（1）请按上述规律写出第2021个算式，然后把一共2021个算式两边分别相加并计算出等式右边；
（2）根据第（1）小题计算，总结规律并填空：+++…+＝　 　；
（3）根据发现的规律，在小于60的正整数中，求出8个数，使得它们的倒数和等于1．
28．阅读下列材料：小亮为了计算1+2+22+…+22017+22018+22019的值，采用以下方法：
设S＝1+2+22+…+22017+22018+22019①；
则2S＝2+22+23+…+22018+22019+22020②；
②﹣①得2S﹣S＝（2+22+23+…+22018+22019+22020）﹣（1+2+22+…+22017+22018+22019）；
∴S＝2+22+23+…+22018+22019+22020﹣1﹣2﹣22﹣…﹣22017﹣22018﹣22019；
∴S＝22020﹣1；
∴1+2+22+…+22017+22018+22019＝22020﹣1．
请仿照小亮的方法解决以下问题：
（1）1+2+22+…+29+210＝　 　；
（2）1+3+32+…+399＝　 　；
（3）求1+a+a2+…+an的值（a＞0，n是正整数，请写出计算过程）．
参考答案
1．解：首先观察序列是个分数，
分子是1，4，9，16，25....可变式为12，22，32，42，52，...可归纳为n2，
分母是3，5，7，9，11.....可归纳为2n+1，
整个序列是一正一负交替变化，可归纳为（﹣1）n+1或者（﹣1）n﹣1．
可得答案为（﹣1）n+1或（﹣1）n﹣1．
故选：D．
2．解：根据前面几个式子的规律可得第n个式子为3+．
故选：C．
3．解：由1＝12，1+3＝22，1+3+5＝32，猜想：1+3+5+ +（2n﹣1）＝n2，
验证：当n＝4时，1+3+5+7＝16＝42，当n＝5时，1+3+5+7+9＝25＝52，猜想成立，
∴2n﹣1＝2021，
解得：n＝1011，
∴1+3+5+7+…+2021＝10112．
故选：B．
4．解：（1）﹣3，9，﹣27，81，﹣243…；
∴第n个数为：（﹣1）n×3n，
∴第（1）行第9个数是﹣39，
故A错；
（2）﹣5，7，﹣29，79，﹣245…；
∴第n个数为：（﹣1）n×3n﹣2，
∴第（2）行第16个数是316﹣2，
故B错；
（3）﹣1，3，﹣9，27，﹣81…；
∴第n个数为：（﹣1）n3n﹣1，
∴第（3）行第2021个数是﹣32020，
故C错D对；
故选：D．
5．解：根据下面的分数表示，每个节拍上的分数之和都是，
∴最后一个节拍上+？＝，
故？＝，
故选：C．
6．解：当x＝a（a≠0）时，＝，
当x＝时，＝＝﹣，
即互为倒数的两个数代入分式的和为0，
当x＝0时，＝﹣1，
故选：A．
7．解：a1＝0，
a2＝﹣|a1+1|＝﹣1，
a3＝﹣|a2+2|＝﹣|﹣1+2|＝﹣1，
a4＝﹣|a3+3|＝﹣|﹣1+3|＝﹣2
a5＝|a4+4|＝﹣|﹣2+4|＝﹣2，

∴a2021＝﹣＝﹣1010，
故选：B．
8．解：设这只小球的初始位置点P0所表示的数是a，
则P1表示的数是a﹣1，
P2表示的数是a+1，
P3表示的数是a﹣2，
P4表示的数是a+2，
…，
∴P100表示的数是a+50，
∵点P100所表示的数恰好是2021，
∴a+50＝2021，
解得a＝1971，
故选：A．
9．解：根据有序数对（m，n）表示第m行从左到右第n个数，
对如图中给出的有序数对和（3，2）表示整数5可知：
（3，2）：+2＝5；
（3，1）：﹣（+1）＝﹣4；
（4，4）：﹣（+4）＝﹣10；
…
由此可以发现，对所有数对（m，n）（n≤m）有，
（m，n）：（1+2+3+…+m﹣1）+n＝+n．
表示的数是偶数时是负数，奇数时是正数，
所以（9，4）表示的数是：
﹣（+4）＝﹣40．
故选：B．
10．解：∵第一次操作增加数字：﹣2，7，
第二次操作增加数字：5，2，﹣11，9，
∴第一次操作增加7﹣2＝5，
第二次操作增加5+2﹣11+9＝5，
即每次操作加5，第100次操作后所有数之和为2+7+9+100×5＝518．
故选：C．
11．解：由题意得：1＝2×1﹣1，3＝2×2﹣1，5＝2×3﹣1…
∴a＝2×2020﹣1＝4039．
故选：D．
12．解：由题意可得，
当n＝898时，
第一次输出的结果为449，
第二次输出的结果为1352，
第三次输出的结果为169，
第四次输出的结果为512，
第五次输出的结果为1，
第六次输出的结果为8，
第七次输出的结果为1，
…，
由上可得，从第五次开始，依次以1，8循环出现，
∵（2021﹣4）÷2
＝2017÷2
＝1008…1，
∴第2021次“F运算”的结果是1，
故选：B．
13．解：∵3，6，9，12，…称为三角形数，
∴三角数都是3的倍数，
∵4，8，12，16，…称为正方形数，
∴正方形数都是4的倍数，
∴既是三角形数又是正方形数的是12的倍数，
∵2022÷12＝168…6，
2024÷12＝168…8，
2026÷12＝168…10，
2028÷12＝168，
∴2028既是三角形数又是正方形数，
故选：C．
14．解：由图可知，向右发散的都是真分数，规律是→，向左发散的都是假分数，规律是→，
∴→→→→→→→→→，
∴在第10层，
由图知，左边有1个数，的左边有3个数，左边有7个数，左边有15个数，左边有31个数，左边有63个数，左边有126个数，的左边有252个数，
∴在第10层从左往右数第253个数，
故答案为：10；253．
15．解：原式＝×（1﹣）+（）+（）+…+（﹣）
＝×（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）
＝×（1﹣）
＝．
故答案为：．
16．解：由题意可得，
a1＝﹣1，
a2＝，
a3＝，
a4＝，
…，
由上可得，这列数依次以﹣1，，2循环出现，
∵2021÷3＝673…2，﹣1++2＝，
∴a1+a2+a3+a4+…+a2020+a2021
＝（a1+a2+a3）+（a4+a5+a6）+…+（a2017+a2018+a2019）+a2020+a2021
＝++…++（﹣）
＝×673+（﹣）
＝+（﹣）
＝1009，
故答案为：1009．
17．解：令+++…+＝a，
∴原式＝（a+）（a）﹣（）a
＝a+a2++a﹣a﹣a2﹣a
＝．
18．解：设M＝1+3+32+33+…+32019，
则3M＝3+32+33+34+…+32020，
3M﹣M＝3+32+33+34+…+32020﹣（1+3+32+33+…+32019），
2M＝32020﹣2，
则M＝．
故答案为：．
19．解：∵2+22＝23﹣2，
2+22+23＝24﹣2，
2+22+23+24＝25﹣2，
……，
∴2+22+23+……+2n＝2n+1﹣2，
∵250＝a，
∴250+251+252+……+299+2021
＝250×（1+2+22+……+249）+2021
＝250×（1+250﹣2）+2021
＝250×（250﹣1）+2021
＝a×（a﹣1）+2021
＝a2﹣a+2021．
故答案为：a2﹣a+2021．
20．解：原式＝（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）
＝（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）
＝×××××…××××
＝×
＝．
21．解：（1）13+23+33+43+53＝225＝×52×62，
故答案为：5，6；
（2）猜想：13+23+33+…+n3＝×n2×（n+1）2，
理由：∵13＝1＝×12×（1+1）2，
13+23＝9＝×22×（2+1）2，
13+23+33＝36＝×32×（3+1）2，
…，
则13+23+33+…n3＝×n2×（n+1）2，
故答案为：×n2×（n+1）2，
（3）利用（2）中的结论计算：
113+123+133+143+153+163+…+393+403
＝13+23+33+…+393+403﹣（13+23+33+…+103）
＝×402×412﹣×102×112
＝672400﹣3025
＝669375．
22．解：（1）根据题意得：第2021个式子为20212+（2021×2022）2+20222＝（2021×2022+1）2；
（2）以此类推，第n行式子为n2+[n（n+1）]2+（n+1）2＝[n（n+1）+1]2．
理由：左边＝n2+（n2+n）2+（n+1）2
＝n4+2n3+3 n2+2n+1，
右边＝（n2+n+1）2
＝n4+2n3+3 n2+2n+1，
∴n2+[n（n+1）]2+（n+1）2＝[n（n+1）+1]2．
23．解：（1）∵①12＝02+2×1﹣1，；
②22＝12+2×2﹣1；
③32＝22+2×3﹣1；
④42＝32+2×4﹣1；

∴⑦72＝62+2×7﹣1＝62+13．
故答案为：72＝62+13．
（2）由（1）中的规律可得：
第n个等式（用含n的代数式表示）为：n2＝（n﹣1）2+2n﹣1．
验证：∵右边＝（n﹣1）2+2n﹣1＝n2﹣2n+1+2n﹣1＝n2＝左边，
∴等式n2＝（n﹣1）2+2n﹣1成立．
24．解：（1）第④个等式为：；
故答案为：；
∵①＝×（1﹣），整理得：
；
②＝×（﹣），整理得；
③＝×（﹣），整理得：
；
…
∴第n个等式为：，
证明：右边＝
＝
＝
＝，
∴左边＝右边．
（3）+…+
＝2×（++++…+）
＝2××（1﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣）
＝1﹣
＝．
25．解：（1）根据规律可知，第⑤个等式是：﹣＝，
故答案为：﹣＝；
（2）由规律可得，…+＝1﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝，
故答案为：；
（3）由（2）的规律可知，+…＝（1﹣++﹣+…+﹣）＝＝，
解得n＝16，
经检验n＝16，是该分式方程的解，
故n的值为16．
26．解：（1）由题意得：第⑥个等式为：，
故答案为：；
（2）猜想：第n个等式为：，
理由：∵①1﹣1﹣＝＝＝，
②＝，
③＝，
.....．
第n个等式为：，
＝
＝
＝．
27．解：（1）①；
②；
③；
④；
⑤；
∴第2021个算式为：＝﹣，
∴1﹣+﹣+﹣+ +﹣
＝1﹣
＝；
（2）+++…+
＝1﹣+﹣+﹣+ +﹣
＝1﹣
＝；
故答案为：；
（3）1＝1﹣+﹣+﹣+ +
＝（1﹣）+（﹣）+（﹣）+ +（﹣）+
＝+++++++；
∴这8个数为：2、6、8、12、20、30、42、56．
28．解：（1）设S＝1+2+22+……+210①，
则2S＝2+22+……+211②，
②﹣①得，2S﹣S＝S＝211﹣1，
即S＝211﹣1．
故答案为：211﹣1．
（2）设S＝3+32+……+399，①
则3S＝32+33+……+3100，②
②﹣①得，3S﹣S＝2S＝3100﹣3，
∴S＝．
故答案为：．
（3）当a＝1时，原式＝n+1；
当a≠1时，
令S＝1+a+a2+……+an，①
则aS＝a+a2+……+an+1，②
②﹣①得，aS﹣S＝（a﹣1）S＝an+1﹣1，
∴S＝．（a≠1）
综上所述：
当a＝1时，原式＝n+1；
当a≠1时，原式＝1+a+a2+……+an＝．