第1章勾股定理 期中复习题 2021-2022学年北师大版八年级数学上册（word版含解析）

2021-2022学年北师大版八年级数学上册《第1章勾股定理》期中复习题1（附答案）
1．如图，不能用来证明勾股定理的是（　　）
A．B．C．D．
2．下列各组数中，不是“勾股数”的是（　　）
A．9，12，15 B．3，5，4 C．1，， D．8，17，15
3．如图，以Rt△ABC的斜边和一直角边为边长向外作正方形，面积分别为169和25，则另一直角边的长度BC为（　　）
A．8 B．18 C．17 D．12
4．一架5m长的梯子，斜立在一面竖直的墙上，这时梯足距墙底端3m，如果梯子的顶端下滑1m，那么梯足将滑（　　）
A．2m B．1m C．0.75m D．0.5m
5．以下列各数为边长，不能组成直角三角形的是（　　）
A．7，23，25 B．8，15，17 C．9，40，41 D．3，6，3
6．如图，长方体的底面边长分别为2cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈达到点B，那么所用细线最短需要（　　）
A．11cm B．2cm C．（8+2）cm D．（7+3）cm
7．在△ABC中，a，b，c为其三边长，a＝3，b＝7，c2＝58，则△ABC是　 　．
8．若在△ABC中，a＝m2﹣n2，b＝2mn，c＝m2+n2，则△ABC是　 　三角形．
9．读诗求解：“出水三尺一红莲，风吹花朵齐水面，水平移动有六尺，水深几何请你算？”请你写出水的深度为　 　尺．
10．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB＝18cm，BC＝12cm，BF＝10cm，点M在棱AB上，且AM＝6cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为　 　．
11．如图，我国古代数学家得出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若小正方形与大正方形的面积之比为1：13，则直角三角形较短的直角边a与较长的直角边b的比值为　 　．
12．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足关系式（a2+b2﹣c2）2+＝0，则△ABC的形状为　 　三角形．
13．如图，两个直角三角形的直角边a，b在同一直线上，斜边为c，请利用三角形和梯形面积公式验证勾股定理．
14．喜迎军运会，青山区加大绿化力度，和平公园有一块如图所示的四边形空地ABCD，现计划在空地上种植草皮，经测量AB＝3m，BC＝4m，CD＝12m，DA＝13m，∠ABC＝90°，若每平方米草皮需要200元，求这块地种植草皮需要投入多少元？
15．如图，在△ABC中，D是边BC上一点，若AB＝10，BD＝6，AD＝8，AC＝17，求BC的长．
16．在一棵大树的10米高处有两只猴子，其中一只胆小的猴子爬下树后走向离树20米处的池塘，而另一只猴子胆子比较大，爬到树顶后直扑池塘（设它从树顶到池塘经过的是一条直线），如果两只猴子所经过的距离相等，问这棵树有多高？
17．如图，在四边形ABCD中，AB＝，AD＝1，BC＝CD＝，且∠BCD＝90°，试求四边形ABCD的面积．
18．判断由a，b，c组成的三角形是不是直角三角形
（1）a＝15，b＝8，c＝17；
（2）a＝，b＝1，C＝；
（3）a＝1.5，b＝2，c＝2.5．
19．某消防队进行消防演练，在模拟现场，有一建筑物发生了火灾，消防车到达后，发现离建筑物的水平距离最近为12米，即AD＝BC＝12米，此时建筑物中距地面12.8米高的P处有一被困人员需要救援，已知消防云梯的车身高AB是3.8米．为此消防车的云梯至少应伸长多少米？
20．如图，点A是海事救护船的停靠港口，点B是救护直升机的停靠基地，点D是海面上的一个小岛．已知，小岛D位于港口A北偏东30°方向上，距离港口A约10km，机场B位于小岛D北偏西60°方向上，距离港口A约50km．一天，海事救护船收到一失事船只的求救信号，根据求救信号得知失事船只位于港口A正东方向上，距离港口A约20km的C处，且B、D、C在同一直线上．一接到求救信号，救护船立即通知救护直升机，并立即从港口A出发，以40km/h的速度，沿正东方向驶往失事船只所在地C处，10分钟后，救护直升机从机场B处出发，以300km/h的速度，沿最短路径飞往失事船只所在地C处．问：救护船与救护直升机谁先到达失事地点C处？先到达多长时间？（结果精确到1分）（参考数据：）
21．如图，是6×6的正方形，每个小正方形的单位长为1．每个小正方形的顶点叫做格点．
（1）请你在图1中画一个以格点为顶点，面积是4的等腰三角形；
（2）请你在图1中画一个以格点为顶点，面积是5的直角三角形；
（3）请你在图1中画一个以格点为顶点，面积是10的等腰直角三角形．
22．如图，∠AOB＝90°，OA＝9cm，OB＝3cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿BC方向匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？
23．（1）问题情境：
勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，借助“数形关系”利用面积法进行证明，而以刘徽的“青朱出入图”为代表的“无字证明”也颇为神奇，证明不需用任何数学符号和文字，整个证明单靠移动几块图形而得出．
如图1和2，将4个全等的直角三角形拼成边长为（a+b）的正方形，使中间留下一个边长为c的空白正方形，画出边长为（a+b）的正方形，再移动三角形至图2所示的位置中，于是留下了边长分别为a和b的两个空白正方形．则图1和图2中的白色部分面积必定相等，即　 　；
（2）尝试证明：实际上只需图2的“一半”即可用“数形关系”和面积法证明，美国总统伽菲尔德利用图3证明了勾股定理，请你来试一试，借助图3完成证明：
（3）问题拓展：已知Rt△ABC的两直角边分别为a，b，斜边为c，求证：≤．
参考答案
1．解：A，B，C都可以利用图形面积得出a，b，c的关系，即可证明勾股定理；故A，B，C选项不符合题意；
D、不能利用图形面积证明勾股定理，故此选项正确．
故选：D．
2．解：A、92+122＝152，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数；
B、32+42＝52，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数；
C、12+（）2＝（）2，能构成直角三角形，不是正整数，故不是勾股数；
D、82+152＝172，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数；
故选：C．
3．解：∵169﹣25＝132﹣52＝122，
∴BC2＝122＝144．
∴BC＝12．
故选：D．
4．解：在直角△OAB中，根据勾股定理OA＝＝4m，
如果梯子的顶端下滑1m，则OA′＝OA﹣1＝4﹣1＝3米．
在直角△A′OB′中，根据勾股定理得到：OB′＝4m，
则梯子滑动的距离就是OB′﹣OB＝4﹣3＝1米．
故选：B．
5．解：A、不能，因为不符合勾股定理的逆定理；
B、能，因为82+152＝172；
C、能，因为92+402＝412；
D、能，因32+2＝62．
故选：A．
6．解：把长方体的侧表面展开得到一个长方形，高6cm，宽＝2+3+2+3＝10cm，AB为对角线．
AB＝＝2cm．
故选：B．
7．解：∵32+72＝58，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形．
故答案为：直角三角形．
8．解：∵在△ABC中，a＝m2﹣n2，b＝2mn，c＝m2+n2，
∴a2＝m4﹣2m2n2+n4，b2＝4m2n2，c2＝m4+2m2n2+n4，
∴c2＝a2+b2，
∴△ABC是直角三角形．
故答案为：直角．
9．解：如图所示，AC＝6尺，
设AB＝h尺，则BC＝h+3尺，
由勾股定理得，BC＝＝，
即（h+3）2＝62+h2，解得h＝4.5尺．
10．解：如图1，
∵AB＝18cm，BC＝GF＝12cm，BF＝10cm，
∴BM＝18﹣6＝12，BN＝10+6＝16，
∴MN＝＝20；
如图2，
∵AB＝18cm，BC＝GF＝12cm，BF＝10cm，
∴PM＝18﹣6+6＝18，NP＝10，
∴MN＝．
∵20＜2，
∴蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的最短距离为20．
故答案为：20cm
11．解：∵小正方形与大正方形的面积之比为1：13，
∴设大正方形的面积是13，边长为c，
∴c2＝13，
∴a2+b2＝c2＝13，
∵直角三角形的面积是＝3，
又∵直角三角形的面积是ab＝3，
∴ab＝6，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝c2+2ab＝13+2×6＝13+12＝25，
∴a+b＝5．
∵小正方形的面积为（b﹣a）2＝1，
∴b＝3，a＝2，
∴＝．
故答案是：．
12．解：∵（a2+b2﹣c2）2+＝0，
∴c2﹣a2﹣b2＝0，且a﹣b＝0，
∴c2＝a2+b2，且a＝b，
则△ABC为等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角
13．解：由图可得，×（a+b）（a+b）＝ab+c2+ab，
整理得，＝，
∴a2+2ab+b2＝2ab+c2，
∴a2+b2＝c2．
14．解：连接AC
∵∠B＝90°，AB＝3m，BC＝4m，BC＝12m，
AC2＝AB2+BC2＝32+42＝25，则AC＝5m，
∴AC2+CD2＝25+144＝169＝132
又∵AD2＝132，
∴AC2+CD2＝CD2
∴∠ACD＝90°，
∴△ACD是直角三角形，
∴四边形ABCD的面积＝6+30＝36（m2），
∴学校要投入资金为：200×36＝7200（元）；
答：学校需要投入7200元买草皮．
15．解：在△ABD中，AB＝10，BD＝6，AD＝8，
∴AB2＝BD2+AD2，
∴△ABD为直角三角形，
∴AD⊥BC，即∠ADC＝90°，
在Rt△ADC中，AD＝8，AC＝17，
根据勾股定理得：DC＝＝15，
∴BC＝BD+CD＝6+15＝21．
16．解：如图所示，BC＝10m，CD＝20m，AC为树高，
由题意可知AB+AD＝BC+CD＝30m，
设AB＝xm，则AD＝（30﹣x）m，AC＝（10+x）m，
由勾股定理得，AD2＝AC2+CD2，即（30﹣x）2＝（10+x）2+202，解得x＝5m．
所以树高为10+x＝15m．
17．解：如图，连接BD，在△ACD中，∠BCD＝90°，
由勾股定理得：BD2＝CD2+BC2＝2．
在△ADB中，∵AD2+BD2＝AB2．
由勾股定理的逆定理得：∠ADB＝90°，则△ADB是直角三角形，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD
＝AD AB+BC CD＝2
即四边形ABCD的面积是2．
18．解：（1）82+152＝172，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；
（2）（）2+（）2≠12，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形；
（3）1.52+22＝2.52，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形．
19．解：由题意可知：AB＝CD＝3.8米，AD＝12米，PC＝12.8米，∠ADP＝90°，
∴PD＝PC﹣CD＝9米，
在Rt△ADP中，AP＝＝15米，
答：此消防车的云梯至少应伸长15米．
20．解：连接AB、AD，BC，
∵小岛D位于港口A北偏东30°方向上，距离港口A约10km，机场B位于小岛D北偏西60°方向上，距离港口A约50km，
∴△ABD是直角三角形．
∴BD＝＝＝20（km），DC＝
＝＝10（km）．
∴BC＝BD+CD＝（20+10）km．
∵救护船立从港口A出发，以40km/h的速度，沿正东方向驶往失事船只所在地C处，
∴救护船到达C处时t＝×60＝30秒；
∵直升机晚出发10分钟，以300km/h的速度，沿最短路径飞往失事船只所在地C处，
∴直升机到达C处用的时间t＝×60+10≈23（分）
∵30﹣23＝7（分）
∴救护直升机比救护船提前7分钟到达失事地点C处．
21．解：（1）（2）（3）如图所示：
22．解：设BC为xcm，则AC＝xcm，OC＝（9﹣x）cm，
在Rt△OBC中，∵OB2+OC2＝BC2，
∴32+（9﹣x）2＝x2，解得x＝5．
答：机器人行走的路程BC是5cm．
23．（1）解：在图1中，白色部分为边为c的正方形，其面积为c2，
在图2中，白色部分为边长分别为a和b的两个正方形，其面积和为a2+b2，
而a、b、c是直角三角形的三边，所以有c2＝a2+b2，
故答案为：c2＝a2+b2；
（2）证明：∵S白三角形＝S梯形﹣2S黑三角形，
∴c2＝（a+b）（a+b）﹣2×ab，
即c2＝a2+b2；
（3）证明：∵0≤（a﹣b）2，
∴2ab≤a2+b2，
∴a2+b2+2ab≤2（a2+b2），
∵a2+b2＝c2，
∴（a+b）2≤2c2，
∴≤2，
∴≤．