期中复习题 1.2矩形的性质与判定（1）2021-2022学年北师大版九年级数学上册（word版含答案）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《1.2矩形的性质与判定》期中复习题1（附答案）
1．在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于O，∠AOD＝130°，则∠ACB等于（　　）
A．65° B．50° C．40° D．25°
2．如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，若∠BAE＝30°，则的值为（　　）
A． B． C． D．1
3．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB＝60°，BD＝6，则AB的长为（　　）
A． B．3 C． D．2
4．矩形ABCD中，AD＝AB，AF平分∠BAD，DF⊥AF于点F，BF交CD于点H．若AB＝6，则CH＝（　　）
A．6 B．12 C． D．12
5．矩形具有而一般菱形不具有的性质（　　）
A．对角相等 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分
6．如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4．点G，E分别在边AB，CD上，点F，H在对角线AC上．若四边形EFGH是菱形，则AG的长是（　　）
A．5 B．6 C．2 D．3
7．如图，有两张矩形纸片ABCD和EFGH，AB＝EF＝2cm，BC＝FG＝8cm．把纸片ABCD交叉叠放在纸片EFGH上，使重叠部分为平行四边形，且点D与点G重合．当两张纸片交叉所成的角α最小时，等于（　　）
A． B． C． D．
8．周长100cm的铁丝制成一个矩形，其面积为625cm2，那么这个矩形的对角线长为（　　）cm．
A．12.5 B．50
C．25 D．以上结论都不对
9．下列说法中，错误的是（　　）
A．菱形的对角线互相垂直 B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．矩形的四个内角都相等 D．四个内角都相等的四边形是矩形
10．下列条件中，不能判定 ABCD为矩形的是（　　）
A．∠A＝∠C B．∠A＝∠B C．AC＝BD D．AB⊥BC
11．检查一个门框（已知两组对边分别相等）是矩形，不能用的方法是（　　）
A．测量两条对角线是否相等
B．用重锤线检查竖门框是否与地面垂直
C．测量门框的三个角是否都是直角
D．测量两条对角线是否互相平分
12．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为　 　．
13．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA＝OC，OB＝OD，试添加一个条件：　 　使四边形ABCD为矩形．
14．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则EF的最小值为　 　cm．
15．如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，E、F、G、H分别是各边的中点，若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积是　 　．
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．D是AC的中点，DE⊥AC，AE∥BD，若BC＝4，AE＝5，则四边形ACBE的周长是　 　．
17．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于E，CF∥AE交AD延长线于点F．
（1）求证：四边形AECF是矩形；
（2）连接OE，若AE＝4，AD＝5，求OE的长．
18．如图，BD为 ABCD的对角线，BD⊥AD，延长AD到点E，使得DE＝AD，连接CE．
（1）求证：四边形BCED是矩形；
（2）若四边形BCED的周长是6，AB＝5，求四边形BCED的面积．
19．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，DF⊥AC于点F，且AE＝DF．
（1）求证：四边形ABCD是矩形．
（2）若∠BAE：∠EAD＝2：3，求∠EAO的度数．
20．如图，在△AOC中，OA＝OC，OD是AC边上的中线．延长AO至点B，作∠COB的角平分线OH，过点C作CF⊥OH于点F．
（1）求证：四边形CDOF是矩形；
（2）连接DF，若＝，CF＝8，求DF的长．
参考答案
1．解：∵AD∥BC．
∴∠ACB＝DAC．
∵∠AOD＝130°．
∴OA＝OD，△AOD是等腰三角形．
根据三角形内角和定理可得∠ACB＝（180°﹣∠AOD）÷2＝（180°﹣130°）÷2＝25°．
故选：D．
2．解：过点C作CF⊥BD于点F，设CD＝2，
在△ABE与△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF，BE＝FD，
∵∠BAE＝30°，
∴AE＝CF＝，BE＝FD＝1，
∵∠BAE＝∠ADB＝30°，
∴BD＝2AB＝4，
∴EF＝4﹣2×1＝2，
＝，
故选：A．
3．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝AC，OB＝BD＝3，AC＝BD＝6，
∴OA＝OB，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OB＝3，
故选：B．
4．解：如图，过F作MN∥DC，交AD于M，交BC于N，则MN＝CD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，DC⊥AD，CD＝AB＝6，
∴MF⊥AD，MN＝6，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF＝45°，
∵AB＝6，
∴AD＝AB＝6，
∵DF⊥AF，
∴△ADF是等腰直角三角形，
∴AF＝DF，
∴点M是AD的中点，
∴FM＝AD＝3，FN为△BCH的中位线，
∴FN＝MN﹣FM＝6﹣3，FN＝CH，
∴CH＝2FN＝12﹣6；
故选：D．
5．解：矩形的性质：四个角都是直角，对角线互相平分且相等；
菱形的性质：对角相等，对角线互相垂直平分；
∴矩形具有而一般菱形不具有的性质为：对角线相等，
故选：B．
6．解：连接GE交AC于O，如图：
∵四边形EFGH是菱形，
∴GE⊥AC，OG＝OE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠D＝90°，AB∥CD，
∴∠ACD＝∠CAB，
在△CEO与△AOG中，，
∴△CEO≌△AOG（AAS），
∴AO＝CO，
∵AC＝＝＝4，
∴AO＝AC＝2，
∵∠CAB＝∠CAB，∠AOG＝∠B＝90°，
∴AG＝5；
故选：A．
7．解：如图，∵四边形ABCD和四边形EFGH是矩形，
∴∠ADC＝∠HDF＝90°，CD＝AB＝2cm，
∴∠CDM＝∠NDH，且CD＝DH，∠H＝∠C＝90°，
∴△CDM≌△HDN（ASA），
∴MD＝ND，且四边形DNKM是平行四边形，
∴四边形DNKM是菱形，
∴KM＝MD，
∴当点B与点E重合时，两张纸片交叉所成的角a最小，
设MD＝KM＝acm，则CM＝8﹣a（cm），
∵MD2＝CD2+MC2，
∴a2＝4+（8﹣a）2，
∴a＝（cm），
＝＝，
故选：B．
8．解：设矩形长为x，则宽为（50﹣x）．
∴x（50﹣x）＝625．
解得：x＝25．
∴长为25，宽为25．
则对角线为：．
故选：C．
9．解：A、∵菱形的对角线互相垂直，
∴选项A不符合题意；
B、∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形，
∴选项B符合题意；
C、∵矩形的四个角都是直角，
∴矩形的四个内角都相等，
∴选项C不符合题意；
D、∵四个内角都相等的四边形是四个角都是直角，
∴四个内角都相等的四边形是矩形，
∴选项D不符合题意；
故选：B．
10．解：A、在 ABCD，若∠A＝∠C，
则四边形ABCD还是平行四边形；故选项A符合题意；
B、在 ABCD中，AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝∠B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴ ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
C、在 ABCD中，AC＝BD，
则 ABCD是矩形；故选项C不符合题意；
D、在 ABCD中，AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴ ABCD是矩形，故选项D不符合题意；
故选：A．
11．解：∵门框两组对边分别相等，
∴门框是个平行四边形，
∵对角线相等的平行四边形是矩形，
故A不符合题意；
∵竖门框与地面垂直，门框一定是矩形；
故B不符合题意；
∵三个角都是直角的四边形是矩形，
故C不符合题意；
∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，
故D符合题意，
故选：D．
12．解：∵∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8，
∴BC＝＝10，
∵DM⊥AB，DN⊥AC，
∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，
∴四边形DMAN是矩形，
∴MN＝AD，
∴当AD⊥BC时，AD的值最小，
此时，△ABC的面积＝AB×AC＝BC×AD，
∴AD＝＝，
∴MN的最小值为；
故答案为：．
13．解：添加条件：AC＝BD；理由如下：
∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴四边形ABCD为矩形；
故答案为：AC＝BD（答案不唯一）．
14．解：如图，连接CD．
∵∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，
∴AB＝＝5（cm），
∵PE⊥AC，PF⊥BC，∠C＝90°，
∴四边形CFDE是矩形，
∴EF＝CD，
由垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，
此时，S△ABC＝BC AC＝AB CD，
即×4×3＝×5 CD，
解得CD＝2.4（cm），
∴EF＝2.4cm．
故答案为2.4．
15．解：∵E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，
∴EH∥BD且EH＝BD，FG∥BD且＝BD，
∴EH∥FG，EH＝FG，
同理EF∥HG，EF＝HG，
又∵AC⊥BD，
∴四边形EFGH是矩形，
∴四边形EFGH的面积＝EF×EH＝AC×BD＝×8××6＝12．
16．解：∵AE∥BD，
∴∠CDB＝∠DAE，
∵∠ACB＝90°，DE⊥AC，
∴∠C＝∠ADE＝90°，
∴DE∥BC，
∵D为AC中点，
∴AD＝CD，
在△ADE和△DCB中
∵，
∴△ADE≌△DCB（ASA），
∴DE＝BC＝4，
在Rt△DCB中，BC＝4，BD＝5，由勾股定理得：DC＝3，
∴AD＝DC＝3，
∵ED＝BC，DE∥BC，
∴四边形DEBC是平行四边形，
∴CD＝BE＝3，
∴四边形ACBE的周长是AC+BC+BE+AE＝3+3+4+3+5＝18，
故答案为：18．
17．（1）证明：∵菱形ABCD，
∴AD∥BC．
∵CF∥AE，
∴四边形AECF是平行四边形．
∵AE⊥BC，
∴平行四边形AECF是矩形；
（2）解：∵AE＝4，AD＝5，
∴AB＝5，BE＝3．
∵AB＝BC＝5，
∴CE＝8．
∴AC＝4，
∵对角线AC，BD交于点O，
∴AO＝CO＝2．
∴OE＝2．
18．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，AD＝BC，AD∥BC，
∵DE＝AD，
∴DE＝BC，
∴四边形BCED是平行四边形，
又∵BD⊥AD，
∴∠BDE＝90°，
∴四边形BCED是矩形；
（2）解：∵四边形BCED是矩形，四边形BCED的周长是6，
∴∠DBC＝90°，BC+BD＝3，
∴（BC+BD）2＝45①，BC2+BD2＝CD2＝AB2＝25②，
①﹣②得：2BC×BD＝20，
∴BC×BD＝10，
∴四边形BCED的面积＝BC×BD＝10．
19．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
∵AE⊥BD于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠AEO＝∠DFO＝90°，
在△AEO和△DFO中，，
∴△AEO≌△DFO（AAS），
∴OA＝OD，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形．
（2）解：由（1）得：四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵∠BAE：∠EAD＝2：3，
∴∠BAE＝36°，
∴∠OBA＝∠OAB＝90°﹣36°＝54°，
∴∠EAO＝∠OAB﹣∠BAE＝54°﹣36°＝18°．
20．（1）证明：∵在△AOC中，OA＝OC，OD是AC边中线，
∴OD⊥AC，OD平分∠AOC，
∴∠ODC＝90°，∠COD＝∠AOC，
∵OH平分∠COB，
∴∠COF＝∠COB，
∵∠AOC+∠COB＝180°，
∴∠COD+∠COF＝90°，即∠DOF＝90°，
∵CF⊥OH，
∴∠CFO＝90°，
∴四边形CDOF是矩形；
（2）解：如图所示：
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，
∵四边形CDOF是矩形，
∴CD∥OF，
∴∠ACO＝∠COF，
＝，
设OF＝3x，OC＝5x，
则CF＝＝＝4x，
∴CF＝8＝4x，
∴x＝2，
∴OC＝10，
∴在矩形CDOF中，DF＝OC＝10．