期中复习题 1.2矩形的性质与判定（2） 2021-2022学年北师大版九年级数学上册（word版含答案）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《1.2矩形的性质与判定》期中复习题2（附答案）
1．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线EF分别交AD、BC于点E、F．若AB＝4，BC＝6，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．6 B．10 C．12 D．24
2．如图．矩形ABCD中对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8．点P是边AD上的动点，过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F．则PE+PF的值是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．4.8
3．如图，矩形ABCD中，连接AC，延长BC至点E，使BE＝AC，连接DE．若∠E＝65°，则∠BAC的度数是（　　）
A．40° B．50° C．60° D．65°
4．如图，在平面直角坐标系中有一矩形OABC．O为坐标原点，A（10，0）、C（0，4），D为OA的中点，P为BC边上一点，若△POD为等腰三角形，则所有满足条件的点P有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．矩形ABCD的边BC上有一动点E，连接AE，DE，以AE，DE为边作平行四边形AEDF．在点E从点B移动到点C的过程中，平行四边形AEDF的面积（　　）
A．先变大后变小 B．先变小后变大
C．一直变大 D．保持不变
6．如图，长方形ABCD中，点E和F分别在BC边和CD边上，且△AEF和△ADF关于AF轴对称，已知∠AEB＝40°，则∠AFD的度数是（　　）
A．75° B．70° C．65° D．50°
7．如图，矩形ABCD中对角线AC与BD相交于点O，DE⊥AC，垂足为点E，若AO：OE＝3：2，DE＝2，则CE长为（　　）
A．1 B．2 C． D．
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连接CP，QD，则PC+QD的最小值为（　　）
A．8 B．10 C．12 D．20
9．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，对于下列条件：①∠1+∠3＝90°；②BC2+CD2＝AC2；③∠1＝∠2；④AC⊥BD．能判定四边形ABCD是矩形的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5．P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值为（　　）
A． B． C． D．
11．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，P是CD边上一点，M、N、E分别是PA、PB、AB的中点，以下四种情况，哪一种四边形PMEN不可能为矩形（　　）
A．AD＝3 B．AD＝4 C．AD＝5 D．AD＝6
12．如图，四边形ABCD，∠D＝∠C＝90°，CD＝2，点E在边AB，且AD＝AE，BE＝BC，则AE BE的值为（　　）
A． B．1 C． D．
13．如图，在平行四边形ABCD中，若∠1＝∠2，则四边形ABCD是　 　．
14．如图，点E，F，G，H分别是BD，BC，AC，AD的中点：下列结论：①EH＝EF；②当AB＝CD，EG平分∠HGF；③当AB⊥CD时，四边形EFGH是矩形；其中正确的结论序号是　 　．
15．如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则最快　 　s后，四边形ABPQ成为矩形．
16．如图，已知钝角△ABC，∠ACB＝2∠B，CD是∠ACB的平分线，过点A作CD的垂线交CD点H，若CH＝3，则AB＝　 　．
17．如图，已知矩形ABCD，延长CB至点E，使得BE＝BC，对角线AC，BD交于点F，连结EF．
（1）求证：四边形AEBD是平行四边形；
（2）若BC＝4，CD＝8，求EF的长．
18．如图，已知长方形ABCO中，边AB＝8，BC＝4，以点O为原点OA，OC所在直线为y轴和轴建立直角坐标系．
（1）写出A，B，C三点的坐标；
（2）若点P从C点出发，以2个单位长度/秒的速度向CO方向移动（不超过点O），点Q从原点O出发，以1个单位长度/秒的速度向OA方向移动（不超过点A），设P，Q两点同时出发，在它们移动的过程中，四边形OPBQ的面积是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由．
19．已知：如图，在 ABCD中，AF、BH、CH、DF分别是∠BAD、∠ABC、∠BCD、∠ADC的平分线．求证：四边形EFGH是矩形．
20．如图，点C是BE的中点，四边形ABCD是平行四边形．
（1）求证：四边形ACED是平行四边形；
（2）如果AB＝AE，求证：四边形ACED是矩形．
21．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．
（1）若DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，求证：AE＝CF；
（2）若DO＝AC，求证：四边形ABCD为矩形．
22．如图1，已知AD∥BC，AB∥CD，∠B＝∠C．
（1）求证：四边形ABCD为矩形；
（2）如图2，M为AD的中点，N为AB的中点，BN＝2．若∠BNC＝2∠DCM，求BC的长．
23．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm．直线PE从B点出发，以2cm/s的速度向点A方向运动，并始终与BC平行，与线段AC交于点E．同时，点F从C点出发，以1cm/s的速度沿CB向点B运动，设运动时间为t（s） （0＜t＜5）．
（1）当t为何值时，四边形PFCE是矩形？
（2）当△ABC面积是△PEF的面积的5倍时，求出t的值．
24．如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥AD，延长DA于点E，使得DA＝AE，连接BE．
（1）求证：四边形AEBC是矩形；
（2）过点E作AB的垂线分别交AB，AC于点F，G，连接CE交AB于点O，连接OG，若AB＝6，∠CAB＝30°，求△OGC的面积．
参考答案
1．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，∠AEO＝∠CFO；
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴S△AOE＝S△COF，
∴S阴影＝S△AOE+S△BOF+S△COD＝S△AOE+S△BOF+S△COD＝S△BCD；
∵S△BCD＝BC CD＝12，故S阴影＝12．
故选：C．
2．解：连接OP，
∵矩形ABCD的两边AB＝6，BC＝8，
∴S矩形ABCD＝AB BC＝48，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，AC＝＝10，
∴S△AOD＝S矩形ABCD＝12，OA＝OD＝5，
∴S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA PE+OD PF＝OA（PE+PF）＝×5×（PE+PF）＝12，
∴PE+PF＝＝4.8．
故选：D．
3．解：连接BD，交AC于O，如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝DB，
∴OA＝OB，
∴∠BAC＝∠OBA，
∵BE＝AC，
∴BE＝BD，
∴∠BDE＝∠E＝65°，
∴∠DBE＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
∴∠BAC＝∠OBA＝90°﹣50°＝40°，
故选：A．
4．解：∵四边形OABC是矩形，
∴∠OCB＝90°，OC＝4，BC＝OA＝10，
∵D为OA的中点，
∴OD＝AD＝5，
①当PO＝PD时，点P在OD得垂直平分线上，
∴点P的坐标为：（2.5，4）；
②当OP＝OD时，如图1所示：
则OP＝OD＝5，PC＝＝3，
∴点P的坐标为：（3，4）；
③当DP＝DO时，作PE⊥OA于E，
则∠PED＝90°，DE＝＝3；
分两种情况：当E在D的左侧时，如图2所示：
OE＝5﹣3＝2，
∴点P的坐标为：（2，4）；
当E在D的右侧时，如图3所示：
OE＝5+3＝8，
∴点P的坐标为：（8，4）；
综上所述：点P的坐标为：（2.5，4），或（3，4），或（2，4），或（8，4）；
故选：D．
5．解：过点E作EG⊥AD于G，如图所示：
则∠AGE＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，
∴四边形ABEG是矩形，
∴EG＝AB，
∵四边形AEDF是平行四边形，
∴平行四边形AEDF的面积＝2△ADE的面积＝2×AD×EG＝AD×AB＝矩形ABCD的面积，
即 AEDF的面积保持不变；
故选：D．
6．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠D＝90°，
∴∠DAE＝∠AEB＝40°，
由折叠性质得：∠DAF＝∠FAE＝∠DAE＝，
∴∠AFD＝90°﹣∠DAF＝90°﹣20°＝70°，
故选：B．
7．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OD＝BD，OC＝AC，∠ADC＝90°，
∴OC＝OD，
∵AO：OE＝3：2，DE⊥AC，
设OA＝3x，OE＝2x，
在Rt△DOE中，OD2＝OE2+DE2，
即，
解得：x＝2或x＝﹣2（舍去），
∴OC＝OA＝6，OE＝4，
∴EC＝OC﹣OE＝6﹣4＝2，
故选：B．
8．解：如图，连接BP，
在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC＝6，
∵AP＝CQ，
∴AD﹣AP＝BC﹣CQ，
∴DP＝QB，DP∥BQ，
∴四边形DPBQ是平行四边形，
∴PB∥DQ，PB＝DQ，
则PC+QD＝PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，
在BA的延长线上截取AE＝AB＝4，连接PE，
则BE＝2AB＝8，
∵PA⊥BE，
∴PA是BE的垂直平分线，
∴PB＝PE，
∴PC+PB＝PC+PE，
连接CE，则PC+QD＝PC+PB＝PC+PE≥CE，
∴CE＝＝＝10，
∴PC+PB的最小值为10，
即PC+QD的最小值为10，
故选：B．
9．解：①∵∠1+∠3＝90°，
∴∠ABC＝90°，
∴ ABCD是矩形，故①正确；
②∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∵BC2+CD2＝AC2，
∴BC2+AB2＝AC2，
∴∠ABC＝90°，
∴ ABCD是矩形，故②正确；
③∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
∵∠1＝∠2，
∴OA＝OB，
∴AC＝BD，
∴ ABCD是矩形，故③正确；
④∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴ ABCD是菱形，故④错误；
能判定四边形ABCD是矩形的个数有3个，
故选：C．
10．解：连接PC，如图：
∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴∠PEC＝∠PFC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴四边形ECFP是矩形，
∴EF＝PC，
当PC最小时，EF也最小，
∵∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，
∴AB＝＝＝13，
当CP⊥AB时，PC最小，
此时，CP＝＝＝，
∴线段EF长的最小值为，
故选：C．
11．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AB＝CD＝10，∠C＝∠D＝90°，
∵M、N、E分别是PA、PB、AB的中点，
∴ME、NE是△ABP的中位线，
∴ME∥BP，NE∥AP，
∴四边形PMEN是平行四边形，
当∠APB＝90°时，四边形PMEN是矩形，
设DP＝x，CP＝10﹣x，
由勾股定理得：AP2＝AD2+x2，BP2＝BC2+（10﹣x）2，AP2+BP2＝AB2，
∴AD2+x2+AD2+（10﹣x）2＝102，
AD2+x2﹣10x＝0，
①当AD＝3时，x2﹣10x+9＝0，
x＝1或x＝9，符合题意；
②当AD＝4时，x2﹣10x+16＝0，
x＝2或x＝8，符合题意；
③当AD＝5时，x2﹣10x+25＝0，
x＝5，符合题意；
④当AD＝6时，x2﹣10x+36＝0，无解；
故选：D．
12．解：过A作AF⊥BC于F，
∵∠D＝∠C＝90°，
∴四边形AFCD是矩形，
∴AF＝CD＝2，CF＝AD，
设AD＝AE＝x，BE＝BC＝y，
∴AB＝x+y，BF＝y﹣x，
∵AB2＝AF2+BF2，
∴（x+y）2＝（y﹣x）2+22，
∴xy＝1，
∴AE BE＝1，
故选：B．
13．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO＝AC，BO＝DO＝BD，
∵∠1＝∠2，
∴BO＝CO，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故答案为矩形．
14．解：∵点E，F，G，H分别是BD，BC，AC，AD的中点，
∴EF∥CD，HG∥CD，EF＝CD，HG＝CD，HE＝AB，AB∥HE，
∴EF＝HG，EF∥HG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AB不一定等于CD，
∴EH不一定等于EF，故①错误，
∵AB＝CD，
∴EH＝EF，
∴平行四边形HEFG是菱形，
∴EG平分∠HGF，故②正确，
③∵AB⊥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝90°，
∵四边形HEFG是平行四边形，
∴GF∥HE∥AB，
∴∠GFC＝∠ABC，
∵EF∥CD，
∴∠BFE＝∠BCD，
∴∠GFC+∠EFB＝90°，
∴∠EFG＝90°，
∴平行四边形HEFG是矩形，故③正确，
故答案为：②③．
15．解；设最快x秒，四边形ABPQ成为矩形，由BP＝AQ得
3x＝20﹣2x．
解得x＝4，
故答案为：4．
16．解：如图，延长BC到M，使得CM＝CA，作CN⊥AM于N．
∵CA＝CM，
∴∠M＝∠CAM，
∴∠ACB＝∠M+∠CAM＝2∠A，
∵∠ACB＝2∠B，
∴∠M＝∠B，
∴AM＝AB，
∵CH平分∠ACB，
∴∠ACH＝∠ACB＝∠CAM，
∴CH∥AM，
∵AH⊥CH，
∴AH⊥AM，
∴∠H＝∠HAN＝∠ANC＝90°，
∴四边形AHCN是矩形，
∴CH＝AN，
∴CA＝CM，CN⊥AM，
∴AN＝NM＝CH＝3，
∴AB＝AM＝6，
故答案为：6．
17．证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵BC＝BE，
∴AD∥BE，AD＝BE，
∴四边形AEBD是平行四边形；
（2）过点F作FG⊥BC于点G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴FB＝FC＝FD，
∴G是BC的中点，
∴FG是△BCD的中位线，
∴．
在Rt△EFG中，FG＝4，EG＝6，
∴．
18．解：（1）∵四边形ABCO是矩形，
∴AB∥OC，AB＝OC＝8，AO＝BC＝4，BC∥AO，
∴点A（0，4），点B（8，4），点C（8，0）；
（2）四边形OPBQ的面积不随t的增大而变化，理由如下：
设运动时间为t秒，则OQ＝t，CP＝2t，
∴AQ＝4﹣t，
∴S△ABQ＝×AB×AQ＝×8×（4﹣t）＝16﹣4t，
S△BCP＝×PC×BC＝×2t×4＝4t，
∴S四边形OPBQ＝S矩形ABCO﹣S△ABQ﹣S△BCP＝32﹣（16﹣4t）﹣4t＝16，
∴四边形OPBQ的面积不随t的增大而变化．
19．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC＝180°．
∵AF，BF分别平分∠DAB，∠ABC，
∴∠EAB+∠EBA＝（∠DAB+∠ABC）＝×180°＝90°．
∴∠AEB＝90°，
同理可得：∠AFD＝90°，∠BHC＝90°，∠DGC＝90°，
∵∠HGF＝∠DGC＝90°，∠HEF＝∠AEB＝90°，
∴∠AFD＝∠BHC＝∠HGF＝∠HEF＝90°，
∴四边形EGFH是矩形．
20．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，且AD＝BC．
∵点C是BE的中点，
∴BC＝CE，
∴AD＝CE，
∵AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，
∵AB＝AE，
∴DC＝AE，
∵四边形ACED是平行四边形，
∴四边形ACED是矩形．
21．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BCF，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠DEA＝∠BFC＝90°，
在△DEA与△BFC中，
，
∴△DEA≌△BFC（AAS），
∴AE＝CF；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∴OA＝BD，
∴OA＝OC＝OB＝OD，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形．
22．（1）证明：∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
又∵∠B＝∠C，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴四边形ABCD为矩形；
（2）解：如图2，延长BA，CM交于点E，
∵M为AD的中点，N为AB中点，
∴AN＝BN＝2，AM＝MD，
∴AB＝CD＝4，
∵AE∥DC，
∴∠E＝∠DCM，
在△AEM和△DCM中，
，
∴△AME≌△DCM（AAS），
∴AE＝CD＝4，
∵∠BNC＝2∠DCM＝∠E+∠NCE，
∴∠NCE＝∠DCM＝∠E，
∴CN＝EN＝AE+AN＝4+2＝6，
∴BC＝＝＝4．
23．解：（1）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝10，
∵PE∥BC，
∴PE＝（10﹣2t），AE＝（10﹣2t）
当PE＝CF时，四边形PECF是矩形，
∴t＝（10﹣2t），
解得t＝．
（2）∵当△ABC面积是△PEF的面积的5倍时，
∴24＝5×××[8﹣（10﹣2t）]
∴t＝
24．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵DA＝AE，
∴AE＝BC，AE∥BC，
∴四边形AEBC是平行四边形，
∵AC⊥AD，
∴∠DAC＝90°，
∴∠CAE＝90°，
∴四边形AEBC是矩形；
（2）∵EG⊥AB，
∴∠AFG＝90°，
∵∠CAB＝30°，
∴∠AGF＝60°，∠EAF＝60°，
∵四边形AEBC是矩形，
∴OA＝OC＝OB＝OE，
∴△AOE是等边三角形，
∴AE＝EO，
∴AF＝OF，
∴AG＝OG，
∴∠GOF＝∠GAF＝30°，
∴∠CGO＝60°，
∴∠COG＝90°，
∵OC＝OA＝AB＝3，
∴OG＝，
∴△OGC的面积＝×3×＝．