期中复习题 1.1菱形的性质与判定（1）2021-2022学年北师大版九年级数学上册（word版含答案）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《1.1菱形的性质与判定》期中复习题1（附答案）
一．菱形的性质
1．如图，菱形ABCD中，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接OE，若∠BCD＝50°，则∠OED的度数是（　　）
A．35° B．30° C．25° D．20°
2．如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF＝3，那么菱形ABCD的周长为（　　）
A．24 B．18 C．12 D．9
3．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是（　　）
A．20 B．24 C．40 D．48
4．如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC＝31°，则∠OBC的度数为（　　）
A．31° B．49° C．59° D．69°
5．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE＝AC，连接CE、OE，连接AE，交OD于点F．若AB＝2，∠ABC＝60°，则AE的长为（　　）
A． B． C． D．
6．如图四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8，BD＝6，DH⊥AB于点H，则DH的长度是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在平面直角坐标系中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是（　　）
A．（5，4） B．（4，5） C．（4，4） D．（5，3）
8．若菱形的周长为20，且较长的对角线的长为8，则较短的对角线的长为　 　
9．已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是　 　．
10．已知菱形ABCD，O是两条对角线的交点，AC＝8cm，DB＝6cm，菱形的边长是　 　cm，面积是　 　cm2．
二．菱形的判定
11．下列条件中，能判断四边形是菱形的是（　　）
A．对角线互相垂直且相等的四边形
B．对角线互相垂直的四边形
C．对角线相等的平行四边形
D．对角线互相平分且垂直的四边形
12．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO．添加下列条件，不能判定四边形ABCD是菱形的是（　　）
A．AB＝AD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．∠ABO＝∠CBO
13．如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（　　）
A．AB＝BC B．AC＝BC C．∠B＝60° D．∠ACB＝60°
14．如图，在△ABC中，D、E分别是AC、AB的中点，CF∥AB交ED的延长线于点F，连接AF、CE．
（1）求证：四边形BCFE是平行四边形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是菱形？并说明理由．
15．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E、F在对角线AC上，且∠ABF＝∠CDE，
AE＝CF．
（1）求证：△ABF≌△CDE；
（2）当四边形ABCD满足什么条件时，四边形BFDE是菱形？为什么？
16．如图，点A、F、C、D在同一直线上，AB∥DE，AC＝DF，AB＝DE．
（1）求证：四边形BCEF是平行四边形；
（2）若∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，当AF为何值时，四边形BCEF是菱形．
17．如图，AD∥FE，点B、C在AD上，∠1＝∠2，BF＝BC．
（1）求证：四边形BCEF是菱形；
（2）若AB＝BC＝CD，求证：△ACF≌△BDE．
18．如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD．求证：四边形ABCD是菱形．
三．菱形的判定与性质
19．如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，以A为圆心，AB长为半径画弧交AD于F，若BF＝12，AB＝10，则AE的长为（　　）
A．16 B．15 C．14 D．13
20．已知，如图，在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，AE⊥BF于点O，交BC于点E，连接EF．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若AE＝10，BF＝24，CE＝7，求四边形ABCD的面积．
21．如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，连接CD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若∠ADB＝30°，BD＝6，求AD的长．
22．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．
（1）证明：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE．
（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；
（3）在（2）的条件下，试确定E点的位置，使得∠EFD＝∠BCD，并说明理由．
参考答案
一．菱形的性质
1．解：∵四边形ABCD是菱形，∠BCD＝50°，
∴O为BD中点，∠DBE＝∠ABC＝65°．
∵DE⊥BC，
∴在Rt△BDE中，OE＝OB＝OD，
∴∠OEB＝∠OBE＝65°．
∴∠OED＝90°﹣65°＝25°．
故选：C．
2．解：∵E是AC中点，
∵EF∥BC，交AB于点F，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF＝BC，
∴BC＝6，
∴菱形ABCD的周长是4×6＝24．
故选：A．
3．解：由菱形对角线性质知，AO＝AC＝3，BO＝BD＝4，且AO⊥BO，
则AB＝＝5，
故这个菱形的周长L＝4AB＝20．
故选：A．
4．解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB∥CD，AB＝BC，
∴∠MAO＝∠NCO，∠AMO＝∠CNO，
在△AMO和△CNO中，
∵，
∴△AMO≌△CNO（ASA），
∴AO＝CO，
∵AB＝BC，
∴BO⊥AC，
∴∠BOC＝90°，
∵∠DAC＝31°，
∴∠BCA＝∠DAC＝31°，
∴∠OBC＝90°﹣31°＝59°．
故选：C．
5．解：在菱形ABCD中，OC＝AC，AC⊥BD，
∴DE＝OC，
∵DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴平行四边形OCED是矩形，
∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AD＝AB＝AC＝2，OA＝AC＝1，
在矩形OCED中，由勾股定理得：CE＝OD＝＝＝，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE＝＝＝；
故选：C．
6．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝4，OB＝OD＝3，
∴AB＝5，
∴S菱形ABCD＝AC BD＝AB DH，
∴DH＝＝4.8．
故选：C．
7．解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，
∴AB＝AO+OB＝5，
∴AD＝AB＝CD＝5，
∴DO＝＝＝4，
∴点C的坐标是：（5，4）．
故选：A．
8．解：菱形周长为20，则AB＝5，
∵BD＝8，
∴BO＝4，
∴AO＝＝3，
∴AC＝2AO＝6，
故答案为：6．
9．解：∵菱形的周长是20cm，
∴边长为20÷4＝5cm，
∵两条对角线的比是4：3，
∴设菱形的两对角线分别为8x，6x，
则对角线的一半分别为4x，3x，
根据勾股定理得，（4x）2+（3x）2＝52，
解得x＝1，
所以，两对角线分别为8cm，6cm，
所以，这个菱形的面积＝×8×6＝24cm2．
故答案为：24cm2．
10．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝4，BO＝DO＝BD＝3，
在Rt△ABO中，AB＝＝＝5（cm），
菱形的面积＝×6×8＝24（cm2）．
故答案为：5，24．
二．菱形的判定
11．解：A、对角线互相垂直相等的四边形不一定是菱形，此选项错误；
B、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，此选项错误；
C、对角线相等的平行四边形也可能是矩形，此选项错误；
D、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，此选项正确；
故选：D．
12．解：∵AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
当AB＝AD或AC⊥BD时，均可判定四边形ABCD是菱形；
当∠ABO＝∠CBO时，
由AD∥BC知∠CBO＝∠ADO，
∴∠ABO＝∠ADO，
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形；
当AC＝BD时，可判定四边形ABCD是矩形；
故选：B．
13．解：∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，
∴ACED，
∴四边形ACED为平行四边形，
当AC＝BC时，则DE＝EC，
∴平行四边形ACED是菱形．
故选：B．
14．证明：（1）∵D、E分别是AC、AB的中点，
∴DE∥BC，BC＝2DE
∵DE∥BC，CF∥AB
∴四边形BCFE是平行四边形；
（2）当∠ABC＝90°时，四边形AECF是菱形
∵DE∥BC
∴∠ADE＝∠ACB＝90°
∴AC⊥EF
∵点E是AB中点，
∴AE＝BE，
∵四边形BCFE是平行四边形
∴CF∥AB，CF＝BE
∴CF＝AE
∴四边形CFAE是平行四边形，且AC⊥EF
∴四边形AECF是菱形
15．（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCA．
∵AE＝CF，
∴AE+EF＝CF+EF，即AF＝CE．
在△ABF和△CDE中，
，
又∵∠ABF＝∠CDE，
∴△ABF≌△CDE（AAS）；
（2）解：当四边形ABCD满足AB＝AD时，四边形BEDF是菱形．理由如下：
连接BD交AC于点O，如图所示：
由（1）得：△ABF≌△CDE，
∴AB＝CD，BF＝DE，∠AFB＝∠CED，
∴BF∥DE．
∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
又∵AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
∴BD⊥AC．
∵BF＝DE，BF∥DE，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴四边形BEDF是菱形．
16．（1）证明：∵AB∥DE，
∴∠A＝∠D，
在△BAC和△EDF中，
∴△BAC≌△EDF（SAS），
∴BC＝EF，∠BCA＝∠EFD，
∴BC∥EF，
∴四边形BCEF是平行四边形；
（2）解：连接BE，交CF于点G，
∵四边形BCEF是菱形，
∴CG＝FG，BE⊥AC，
∵∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，
∴AC＝＝10，
∵∠BGC＝∠ABC＝90°，∠ACB＝∠BCG，
∴CG＝3.6，
∵FG＝CG，
∴FC＝2CG＝7.2，
∴AF＝AC﹣FC＝10﹣7.2＝2.8．
17．证明：（1）∵AD∥FE，
∴FE∥BC
∴∠FEB＝∠2．
∵∠1＝∠2，
∴∠FEB＝∠1．
∴BF＝EF．
∵BF＝BC，
∴BC＝EF．
∴四边形BCEF是平行四边形．
∵BF＝BC，
∴四边形BCEF是菱形．
（2）∵EF＝BC，AB＝BC＝CD，AD∥EF，
∴四边形ABEF、CDEF均为平行四边形．
∴AF＝BE，FC＝ED．
又∵AC＝BD，
∴△ACF≌△BDE．
18．证明：
∵AE∥BF，
∴∠ADB＝∠DBC，∠DAC＝∠BCA，
∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，
∴∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，
∴∠BAC＝∠ACB，∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝BC，AB＝AD
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴四边形ABCD是菱形．
三．菱形的判定与性质
19．解：连接EF，AE与BF交于点O，如图，
∵AO平分∠BAD，
∴∠1＝∠2，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AF∥BE，
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∴AB＝EB，
同理：AF＝BE，
又∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∴四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF，OB＝OF＝6，OA＝OE，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA＝＝＝8，
∴AE＝2OA＝16．
故选：A．
20．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，
∴∠AFB＝∠FBE，
∵BF平分∠ABC交AD于点F，
∴∠ABF＝∠FBC，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴AB＝AF，
∵AE⊥BF，
∴BO＝OF，
∵BF平分∠ABC交AD于点F，AE⊥BF于点O，
∴AB＝BE，
∴AF＝BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB＝AF．
∴四边形ABEF是菱形．
（2）解：作FG⊥BC于G，
∵四边形ABEF是菱形，AE＝10，BF＝24，
∴AE⊥BF，OE＝AE＝5，OB＝BF＝12，
∴BE＝，
∵S菱形ABEF＝ AE BF＝BE FG，
∴GF＝，
∴S平行四边形ABCD＝BC FG＝
21．（1）证明：∵AE∥BF，
∴∠ADB＝∠CBD，
又∵BD平分∠ABF，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
同理：AB＝BC，
∴AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，BD＝6，
∴AC⊥BD，OD＝OB＝BD＝3，
∵∠ADB＝30°，
∴AD＝＝2．
22．（1）证明：在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC＝∠DAC，
在△ABF和△ADF中，
，
∴△ABF≌△ADF（SAS），
∴∠AFD＝∠AFB，
∵∠AFB＝∠CFE，
∴∠AFD＝∠CFE；
（2）证明：∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD，
又∵∠BAC＝∠DAC，
∴∠CAD＝∠ACD，
∴AD＝CD，
∵AB＝AD，CB＝CD，
∴AB＝CB＝CD＝AD，
∴四边形ABCD是菱形；
（3）当EB⊥CD时，即E为过B且和CD垂直时垂线的垂足，∠EFD＝∠BCD，
理由：∵四边形ABCD为菱形，
∴BC＝CD，∠BCF＝∠DCF，
在△BCF和△DCF中，
，
∴△BCF≌△DCF（SAS），
∴∠CBF＝∠CDF，
∵BE⊥CD，
∴∠BEC＝∠DEF＝90°，
∴∠BCD+∠CBE＝∠CDF+∠EFD，
∴∠EFD＝∠BCD．