第1章因式分解 期中复习训练题 2021-2022学年鲁教版（五四制）八年级数学上册（word版含解析）
文档属性
| 名称 | 第1章因式分解 期中复习训练题 2021-2022学年鲁教版（五四制）八年级数学上册（word版含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 208.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-01 19:53:47 | ||
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文档简介
2021-2022学年鲁教版八年级数学上册《第1章因式分解》期中复习训练题2（附答案）
1．已知长方形的周长为16cm，它两邻边长分别为xcm，ycm，且满足（x﹣y）2﹣2x+2y+1＝0，则该长方形的面积为（ ）cm2．
A． B． C．15 D．16
2．如果x和y是非零实数，使得|x|+y＝3和|x|y+x3＝0，那么x+y的值是（ ）
A．3 B． C． D．4﹣
3．设n是任意正整数，代入式子n3﹣n中计算时，四名同学分别得出如下四个结果，其中正确的结果可能是（ ）
A．388944 B．388947 C．388953 D．388949
4．已知d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，则当x2﹣2x﹣5＝0时，d的值为（ ）
A．25 B．20 C．15 D．10
5．设a为实数，且a3+a2﹣a+2＝0，则（a+1）2011+（a+1）2012+（a+1）2013＝（ ）
A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1
6．如果x2+6x+m因式分解得（x+2）（x+4），则m＝ ．
7．已知xy＝﹣1，x+y＝2，则x3y+x2y2+xy3＝ ．
8．因式分解：（a﹣2b）（a﹣2b﹣4）+4﹣c2＝ ．
9．分解因式：a2﹣a+2＝ ．
10．分解因式：x3﹣3x2﹣6x+8＝ ．
11．分解因式：x6﹣28x3+27＝ ．
12．设n是小于100的正整数且使5n2+3n﹣5是15的倍数，则符合条件的所有正整数n的和是 ．
13．【例题讲解】因式分解：x3﹣1．
∵x3﹣1为三次二项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次二项式和一个二次多项式的乘积．故我们可以猜想x3﹣1可以分解成（x﹣1）（x2+ax+b），展开等式右边得：x3+（a﹣1）x2+（b﹣a）x﹣b，∴x3﹣1＝x3+（a﹣1）x2+（b﹣a）x﹣b恒成立．
∴等式两边多项式的同类项的对应系数相等，即解得．
∴x3﹣1＝（x﹣1）（x2+x+1）．
【方法归纳】
设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值，这种方法叫待定系数法．
【学以致用】
（1）若x2﹣mx﹣12＝（x+3）（x﹣4），则m＝ ；
（2）若x3+3x2﹣3x+k有一个因式是x+1，求k的值；
（3）请判断多项式x4+x2+1能否分解成两个整系数二次多项式的乘积，若能，请直接写出结果，否则说明理由．
14．老师给了一个多项式，甲、乙、丙、丁四位同学分别对这个多项式进行描述，（甲）：这是一个三次四项式；
（乙）：常数项系数为1；（丙）：这个多项式的前三项有公因式；（丁）：这个多项式分解因式时要用到公式法；若这四个同学的描述都正确，请你构造两个同时满足这些描述的多项式，并将它因式分解．
15．先阅读下面的内容，再解决问题．
如果一个整式A等于整式B与整式C之积，则称整式B和整式C为整式A的因式．
如：①因为36＝4×9，所以4和9是36的因数；
因为x2﹣x﹣2＝（x+1）（x﹣2），所以x+1和x﹣2是x2﹣x﹣2的因式．
②若x+1是x2+ax﹣2的因式，则求常数a的值的过程如下：
解：∵x+1是x2+ax﹣2的因式
∴存在一个整式（mx+n），使得x2+ax﹣2＝（x+1）（mx+n）
∵当x＝﹣1时，（x+1）（mx+n）＝0
∴当x＝﹣1时，x2+ax﹣2＝0
∴1﹣a﹣2＝0
∴a＝﹣1
（1）若x+5是整式x2+mx﹣10的一个因式，则m＝ ．
（2）若整式x2﹣1是3x4﹣ax2+bx+1的因式，求的值．
16．已知：x2+2x+5是多项式x4+px+q的一个因式，求它的其他因式．
17．两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2（x﹣1）（x﹣9），另一位同学因看错了常数项而分解成2（x﹣2）（x﹣4），请将原多项式分解因式．
18．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n），则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n
∴n+3＝﹣4
m＝3n
解得：n＝﹣7，m＝﹣21
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．
问题：
（1）若二次三项式x2﹣5x+6可分解为（x﹣2）（x+a），则a＝ ；
（2）若二次三项式2x2+bx﹣5可分解为（2x﹣1）（x+5），则b＝ ；
（3）仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+5x﹣k有一个因式是（2x﹣3），求另一个因式以及k的值．
19．已知x+y＝6，xy＝4，求下列各式的值：
（1）x2y+xy2
（2）x2+y2
20．认真阅读以下分解因式的过程，再回答所提出的问题：1+x+x（1+x）+x（1+x）2
＝（1+x）[1+x+x（1+x）]
＝（1+x）[（1+x）（1+x）]
＝（1+x）3
（1）上述分解因式的方法是 ；
（2）分解因式：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3；
（3）猜想：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n分解因式的结果是 ．
21．（1）因式分解：mn（m﹣n）﹣m（n﹣m）2
（2）解不等式﹣1＞，并把它的解集表示在数轴上．
22．（1）求不等式组的整数解．
（2）认真阅读下列分解因式的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x（1+x）+x（1+x）2
＝（1+x）[1+x+x（1+x）]
＝（1+x）2（1+x）
＝（1+x）3
①上述分解因式的方法是 ；
②分解因式：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3．
③猜想：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n分解因式的结果是 ．
23．分解因式：①a4﹣16 ②9（a+b）2﹣4（a﹣b）2．
24．分解因式
（1）2x2﹣8
（2）3x2y﹣6xy2+3y3．
25．（1）已知（a+b）2＝7，（a﹣b）2＝4，求a2+b2和ab的值．
（2）分解因式：
①x2﹣8xy+16y2
②（x+y+1）2﹣（x﹣y+1）2．
26．分解因式：
（1）3x﹣12x3；
（2）3m（2x﹣y）2﹣3mn2．
27．（1）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．
例如：am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（a+b）（m+n）．
①分解因式：ab﹣a﹣b+1；
②若a，b（a＞b）都是正整数且满足ab﹣a﹣b﹣4＝0，求a+b的值；
（2）若a，b为实数且满足ab﹣a﹣b﹣4＝0，s＝a2+3ab+b2+3a﹣b，求s的最小值．
28．先阅读，再因式分解：x4+4＝（x4+4x2+4）﹣4x2＝（x2+2）2﹣（2x）2＝（x2﹣2x+2）（x2+2x+2），按照这种方法把多项式x4+324因式分解．
29．在实数范围内分解因式：
（1）9a 4﹣4b 4；
（2）x 2﹣2 x+3．
30．上数学课时，王老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：
解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1
∵（x+2）2≥0，
∴当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0，
∴（x+2）2+1≥1
∴当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，
∴x2+4x+5的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题
（1）知识再现：当x＝ 时，代数式x2﹣6x+12的最小值是 ；
（2）知识运用：若y＝﹣x2+2x﹣3，当x＝ 时，y有最 值（填“大”或“小”），这个值是 ；
（3）知识拓展：若﹣x2+3x+y+5＝0，求y+x的最小值．
参考答案
1．解：∵长方形的周长为16cm，
∴2（x+y）＝16，
∴x+y＝8①；
∵（x﹣y）2﹣2x+2y+1＝0，
∴（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+1＝0，
∴（x﹣y﹣1）2＝0，
∴x﹣y＝1②．
联立①②，得，
解得：，
∴长方形的面积S＝xy＝＝（cm2），
故选：A．
2．解：根据题意，|x|+y＝3则y＝3﹣|x|，
又由|x|y+x3＝0，则有|x|（3﹣|x|）+x3＝0，
分2种情况讨论：
①当x＞0时，由|x|（3﹣|x|）+x3＝0得到：x（3﹣x）+x3＝0，
变形可得：x2﹣x+3＝0，无解；
②当x＜0时，由|x|（3﹣|x|）+x3＝0得到（﹣x）[3﹣（﹣x）]+x3＝0，
变形可得：x2﹣x﹣3＝0，
解可得：x＝或x＝，（舍）
综合可得：x＝，则y＝3﹣|x|＝3+x，
x+y＝3+2x＝4﹣；
故选：D．
3．解：∵n3﹣n＝n（n﹣1）（n+1）≈n3，
又∵≈73，
∴n＝73，
∴n3﹣n＝72×73×74＝388944，
故选：A．
4．解法一：∵x2﹣2x﹣5＝0，
∴x2＝2x+5，
∴d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，
＝（2x+5）2﹣2x（2x+5）+x2﹣12x﹣5
＝4x2+20x+25﹣4x2﹣10x+x2﹣12x﹣5
＝x2﹣2x﹣5+25
＝25．
解法二：∵x2﹣2x﹣5＝0，
∴x2﹣2x＝5，
∴d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5
＝x2（x2﹣2x+1）﹣12x﹣5
＝6x2﹣12x﹣5
＝6（x2﹣2x）﹣5
＝6×5﹣5
＝25．
故选：A．
5．解：∵a3+a2﹣a+2＝0，
（a3+1）+（a2﹣a+1）＝0，
（a+1）（a2﹣a+1）+（a2﹣a+1）＝0
（a2﹣a+1）（a+1+1）＝0，
（a2﹣a+1）（a+2）＝0，
∴a+2＝0，或a2﹣a+1＝0，
（1）若a2﹣a+1＝0时，
Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×1＝﹣3＜0，
∵a为实数，
∴此一元二次方程在实数范围内无解；
（2）若a+2＝0时，
变形得：a+1＝﹣1…①
将①代入下列代数式得：
（a+1）2011+（a+1）2012+（a+1）2013
＝（﹣1）2011+（﹣1）2012+（﹣1）2013
＝﹣1+1+（﹣1）
＝﹣1
故选：D．
6．解：∵（x+2）（x+4），
＝x2+6x+8，
＝x2+6x+m．
∴m＝8．
7．解：∵xy＝﹣1，x+y＝2，
∴x3y+x2y2+xy3
＝
＝
＝
＝﹣2．
故答案为：﹣2．
8．解：（a﹣2b）（a﹣2b﹣4）+4﹣c2，
＝（a﹣2b）2﹣4（a﹣2b）+4﹣c2，
＝[（a﹣2b）﹣2]2﹣c2，
＝（a﹣2b﹣2+c）（a﹣2b﹣2﹣c）．
故答案为：（a﹣2b﹣2+c）（a﹣2b﹣2﹣c）．
9．解：a2﹣a+2
＝（a2﹣6a+9）
＝（a﹣3）2．
故答案为：（a﹣3）2．
10．解：原式＝x3﹣4x2+x2﹣6x+8
＝x2（x﹣4）+（x﹣4）（x﹣2）
＝（x﹣4）（x2+x﹣2）
＝（x﹣4）（x+2）（x﹣1）．
故答案为：（x﹣4）（x+2）（x﹣1）．
11．解：原式＝（x3）2﹣28x3+27，
＝（x3﹣1）（x3﹣27），
＝（x﹣1）（x2+x+1）（x﹣3）（x2+3x+9）．
故答案为：（x﹣1）（x2+x+1）（x﹣3）（x2+3x+9）．
12．解：∵5n2+3n﹣5＝（5n﹣2）（n﹣5）+30n﹣15，
又∵30n﹣15＝15（2n﹣1）是15的倍数，5n﹣2不可能是15的倍数，
∴要使5n2+3n﹣5是15的倍数，只能让n﹣5是5的倍数，
∵n是小于100的正整数，
∴n可取值为5、10、20、25、35、40、50、55、65、70、80、85、95．
∴符合条件的所有正整数n的和是5+10+20+25+35+40+50+55+65+70++80+85+95＝635．
故答案为：635．
13．解：（1）∵（x+3）（x﹣4）＝x2﹣x﹣12，
∴﹣m＝﹣1，
∴m＝1，
故答案为：1；
（2）设另一个因式为（x2+ax+k），
（x+1）（x2+ax+k）＝x3+ax2+kx+x2+ax+k＝x3+（a+1）x2+（a+k）x+k，
∴x3+（a+1）x2+（a+k）x+k＝x3+3x2﹣3x+k，
∴a+1＝3，a+k＝﹣3，
解得a＝2，k＝﹣5；
答：k的值为﹣5；
（3）多项式x4+x2+1能分解成两个整系数二次多项式的乘积．理由如下：
设多项式x4+x2+1能分解成①（x2+1）（x2+ax+b）或②（x2+x+1）（x2+ax+1），
①（x2+1）（x2+ax+b）
＝x4+ax3+bx2+x2+ax+b
＝x4+ax3+（b+1）x2+ax+b，
∴a＝0，b+1＝1，b＝1，
由b+1＝1得b＝0≠1，
②（x2+x+1）（x2+ax+1）
＝x4+（a+1）x3+（a+2）x2+（a+1）x+1，
∴a+1＝0，a+2＝1，
解得a＝﹣1．
即x4+x2+1＝（x2+x+1）（x2﹣x+1），
∴x4+x2+1能分解成两个整系数二次三项式的乘积却不能分解成两个整系数二次二项式与二次三项式的乘积．
答：多项式x4+x2+1能分解成两个整系数二次三项式的乘积．
14．解：x3﹣x2﹣x+1＝x2（x﹣1）﹣（x﹣1）＝（x﹣1）2（x+1）
4x3﹣4x2﹣x+1＝4x2（x﹣1）﹣（x﹣1）＝（x﹣1）（2x+1）（2x﹣1）
15．解：（1）∵x+5是整式x2+mx﹣10的一个因式，
∴存在一个整式（mx+n），使得x2+mx﹣10＝（x+5）（mx+n），
∵当x＝﹣5时，（x+5）（mx+n）＝0，
∴当x＝﹣5时，x2+mx﹣10＝0，
∴25﹣5m﹣10＝0，
∴m＝3；
故答案为：3；
（2）∵整式x2﹣1是3x4﹣ax2+bx+1，
∴存在一个整式（3x2+mx﹣1），使得3x4﹣ax2+bx+1＝（x2﹣1）（3x2+mx﹣1），
∴当x＝1时，（x2﹣1）（3x2+mx﹣1）＝0，
即3x4﹣ax2+bx+1＝0，
则3﹣a+b+1＝0①，
当x＝﹣1时，（x2﹣1）（3x2+mx﹣1）＝0，
即3x4﹣ax2+bx+1＝0，
则3﹣a﹣b+1＝0②，
联立①②解得a＝4，b＝0．
∴＝＝2．
16．解：可设多项式x4+px+q的另一个因式为x2+mx+n，则（x2+2x+5）（x2+mx+n）＝x4+px+q，
因为（x2+2x+5）（x2+mx+n）＝x4+（m+2）x3+（2m+n+5）x2+（5m+2n）x+5n，
所以m+2＝0，2m+n+5＝0，
解得m＝﹣2，n＝﹣1．
所以这个多项式的其他因式是x2﹣2x﹣1．
17．解：设原多项式为ax2+bx+c（其中a、b、c均为常数，且abc≠0）．
∵2（x﹣1）（x﹣9）＝2（x2﹣10x+9）＝2x2﹣20x+18，
∴a＝2，c＝18；
又∵2（x﹣2）（x﹣4）＝2（x2﹣6x+8）＝2x2﹣12x+16，
∴b＝﹣12．
∴原多项式为2x2﹣12x+18，将它分解因式，得
2x2﹣12x+18＝2（x2﹣6x+9）＝2（x﹣3）2．
18．解：（1）∵（x﹣2）（x+a）＝x2+（a﹣2）x﹣2a＝x2﹣5x+6，
∴a﹣2＝﹣5，
解得：a＝﹣3；
（2）∵（2x﹣1）（x+5）＝2x2+9x﹣5＝2x2+bx﹣5，
∴b＝9；
（3）设另一个因式为（x+n），得2x2+5x﹣k＝（2x﹣3）（x+n）＝2x2+（2n﹣3）x﹣3n，
则2n﹣3＝5，k＝3n，
解得：n＝4，k＝12，
故另一个因式为（x+4），k的值为12．
故答案为：（1）﹣3；（2）9；（3）另一个因式是x+4，k＝12．
19．解：（1）当x+y＝6、xy＝4时，
原式＝xy（x+y）＝4×6＝24；
（2）当x+y＝6、xy＝4时，
原式＝（x+y）2﹣2xy
＝62﹣2×4
＝36﹣8
＝28．
20．解：（1）上述分解因式的方法是：提公因式法；
故答案为：提公因式法；
（2）方法一：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3
＝（1+x）[1+x+x（1+x）+x（1+x）2]
＝（1+x）（1+x）[1+x+x（1+x）]
＝（1+x）（1+x）（1+x）[1+x]
＝（1+x）4；
方法二：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3
＝（1+x）3+x（1+x）3
＝（1+x）3（1+x）
＝（1+x）4；
（3）1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n分解因式的结果是：（1+x）n+1．
故答案为：（1+x）n+1．
21．解：（1）mn（m﹣n）﹣m（n﹣m）2
＝mn（m﹣n）﹣m（m﹣n）2
＝m（m﹣n）[n﹣（m﹣n）]
＝m（m﹣n）（2n﹣m）；
（2）去分母得：3（x+5）﹣6＞2（7﹣x）
去括号得：3x+15﹣6＞14﹣2x，
移项合并同类项得：5x＞5，
系数化为1得：x＞1，
如图所示：
．
22．解：（1）解不等式①：x＞1，
解不等式②：x≤4
∴原不等式的解集为：1＜x≤4
∴原式不等式组的整数解为：2、3、4
（2）①根据题意可知：分解因式的方法是提取公因式法；
②原式＝（1+x）[（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2]
＝（1+x）2[（1+x）+x（1+x）]
＝（1+x）3（1+x）
＝（1+x）4
③由题意可知：（1+x）n+1
故答案为：（2）①提取公因式；③（1+x）n+1
23．解：（1）a4﹣16，
＝（a2+4）（a2﹣4），
＝（a2+4）（a+2）（a﹣2）；
（2）9（a+b）2﹣4（a﹣b）2，
＝[3（a+b）+2（a﹣b）][3（a+b）﹣2（a﹣b）]，
＝[3a+3b+2a﹣2b][3a+3b﹣2a+2b]，
＝（5a+b）（a+5b）．
24．解：（1）2x2﹣8＝2（x2﹣4）
＝2（x+2）（x﹣2）；
（2）3x2y﹣6xy2+3y3
＝3y（x2﹣2xy+y2）
＝3y（x﹣y）2．
25．解：（1）∵（a+b）2＝a2+b2+2ab＝7①，（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝4②，
∴①+②得：a2+b2＝5.5，①﹣②得：ab＝；
（2）①原式＝（x﹣4y）2；
②原式＝（x+y+1+x﹣y+1）（x+y+1﹣x+y﹣1）＝4y（x+1）．
26．解：（1）3x﹣12x3
＝3x（1﹣4x2）
＝3x（1+2x）（1﹣2x）；
（2）原式＝3m[（2x﹣y）2﹣n2]
＝3m（2x﹣y+n）（2x﹣y﹣n）；
27．解：（1）①ab﹣a﹣b+1
＝（ab﹣a）﹣（b﹣1）
＝a（b﹣1）﹣（b﹣1）
＝（a﹣1）（b﹣1）．
②由题得ab﹣a﹣b+1＝5，即（a﹣1）（b﹣1）＝5．
∵a，b为正整数且a＞b，
∴，即．
∴a+b＝8．
（2）由题得ab＝a+b+4．
∴
＝
＝
＝．
∵，
∴（当且仅当时取等号）．
经验证：满足ab﹣a﹣b﹣4＝0，
综上，s的最小值为．
28．解：x4+324＝x4+36x2+324﹣36x2
＝（x2+18）2﹣36x2
＝（x2+18）2﹣（6x）2
＝（x2+18+6x）（x2+18﹣6x）．
29．解：（1）原式＝（3a2+2b2）（3a2﹣2b2）＝（3a2+2b2）（a+b）（a﹣b）；
（2）原式＝（x﹣）2．
30．解：（1）∵x2﹣6x+12＝（x﹣3）2+3，
∴当x＝3时，有最小值3；
故答案为3，3．
（2）∵y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2，
∴当x＝1时有最大值﹣2；
故答案为1，大，﹣2．
（3）∵﹣x2+3x+y+5＝0，
∴x+y＝x2﹣2x﹣5＝（x﹣1）2﹣6，
∵（x﹣1）2≥0，
∴（x﹣1）2﹣6≥﹣6，
∴当x＝1时，y+x的最小值为﹣6．
1．已知长方形的周长为16cm，它两邻边长分别为xcm，ycm，且满足（x﹣y）2﹣2x+2y+1＝0，则该长方形的面积为（ ）cm2．
A． B． C．15 D．16
2．如果x和y是非零实数，使得|x|+y＝3和|x|y+x3＝0，那么x+y的值是（ ）
A．3 B． C． D．4﹣
3．设n是任意正整数，代入式子n3﹣n中计算时，四名同学分别得出如下四个结果，其中正确的结果可能是（ ）
A．388944 B．388947 C．388953 D．388949
4．已知d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，则当x2﹣2x﹣5＝0时，d的值为（ ）
A．25 B．20 C．15 D．10
5．设a为实数，且a3+a2﹣a+2＝0，则（a+1）2011+（a+1）2012+（a+1）2013＝（ ）
A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1
6．如果x2+6x+m因式分解得（x+2）（x+4），则m＝ ．
7．已知xy＝﹣1，x+y＝2，则x3y+x2y2+xy3＝ ．
8．因式分解：（a﹣2b）（a﹣2b﹣4）+4﹣c2＝ ．
9．分解因式：a2﹣a+2＝ ．
10．分解因式：x3﹣3x2﹣6x+8＝ ．
11．分解因式：x6﹣28x3+27＝ ．
12．设n是小于100的正整数且使5n2+3n﹣5是15的倍数，则符合条件的所有正整数n的和是 ．
13．【例题讲解】因式分解：x3﹣1．
∵x3﹣1为三次二项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次二项式和一个二次多项式的乘积．故我们可以猜想x3﹣1可以分解成（x﹣1）（x2+ax+b），展开等式右边得：x3+（a﹣1）x2+（b﹣a）x﹣b，∴x3﹣1＝x3+（a﹣1）x2+（b﹣a）x﹣b恒成立．
∴等式两边多项式的同类项的对应系数相等，即解得．
∴x3﹣1＝（x﹣1）（x2+x+1）．
【方法归纳】
设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值，这种方法叫待定系数法．
【学以致用】
（1）若x2﹣mx﹣12＝（x+3）（x﹣4），则m＝ ；
（2）若x3+3x2﹣3x+k有一个因式是x+1，求k的值；
（3）请判断多项式x4+x2+1能否分解成两个整系数二次多项式的乘积，若能，请直接写出结果，否则说明理由．
14．老师给了一个多项式，甲、乙、丙、丁四位同学分别对这个多项式进行描述，（甲）：这是一个三次四项式；
（乙）：常数项系数为1；（丙）：这个多项式的前三项有公因式；（丁）：这个多项式分解因式时要用到公式法；若这四个同学的描述都正确，请你构造两个同时满足这些描述的多项式，并将它因式分解．
15．先阅读下面的内容，再解决问题．
如果一个整式A等于整式B与整式C之积，则称整式B和整式C为整式A的因式．
如：①因为36＝4×9，所以4和9是36的因数；
因为x2﹣x﹣2＝（x+1）（x﹣2），所以x+1和x﹣2是x2﹣x﹣2的因式．
②若x+1是x2+ax﹣2的因式，则求常数a的值的过程如下：
解：∵x+1是x2+ax﹣2的因式
∴存在一个整式（mx+n），使得x2+ax﹣2＝（x+1）（mx+n）
∵当x＝﹣1时，（x+1）（mx+n）＝0
∴当x＝﹣1时，x2+ax﹣2＝0
∴1﹣a﹣2＝0
∴a＝﹣1
（1）若x+5是整式x2+mx﹣10的一个因式，则m＝ ．
（2）若整式x2﹣1是3x4﹣ax2+bx+1的因式，求的值．
16．已知：x2+2x+5是多项式x4+px+q的一个因式，求它的其他因式．
17．两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2（x﹣1）（x﹣9），另一位同学因看错了常数项而分解成2（x﹣2）（x﹣4），请将原多项式分解因式．
18．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n），则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n
∴n+3＝﹣4
m＝3n
解得：n＝﹣7，m＝﹣21
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．
问题：
（1）若二次三项式x2﹣5x+6可分解为（x﹣2）（x+a），则a＝ ；
（2）若二次三项式2x2+bx﹣5可分解为（2x﹣1）（x+5），则b＝ ；
（3）仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+5x﹣k有一个因式是（2x﹣3），求另一个因式以及k的值．
19．已知x+y＝6，xy＝4，求下列各式的值：
（1）x2y+xy2
（2）x2+y2
20．认真阅读以下分解因式的过程，再回答所提出的问题：1+x+x（1+x）+x（1+x）2
＝（1+x）[1+x+x（1+x）]
＝（1+x）[（1+x）（1+x）]
＝（1+x）3
（1）上述分解因式的方法是 ；
（2）分解因式：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3；
（3）猜想：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n分解因式的结果是 ．
21．（1）因式分解：mn（m﹣n）﹣m（n﹣m）2
（2）解不等式﹣1＞，并把它的解集表示在数轴上．
22．（1）求不等式组的整数解．
（2）认真阅读下列分解因式的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x（1+x）+x（1+x）2
＝（1+x）[1+x+x（1+x）]
＝（1+x）2（1+x）
＝（1+x）3
①上述分解因式的方法是 ；
②分解因式：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3．
③猜想：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n分解因式的结果是 ．
23．分解因式：①a4﹣16 ②9（a+b）2﹣4（a﹣b）2．
24．分解因式
（1）2x2﹣8
（2）3x2y﹣6xy2+3y3．
25．（1）已知（a+b）2＝7，（a﹣b）2＝4，求a2+b2和ab的值．
（2）分解因式：
①x2﹣8xy+16y2
②（x+y+1）2﹣（x﹣y+1）2．
26．分解因式：
（1）3x﹣12x3；
（2）3m（2x﹣y）2﹣3mn2．
27．（1）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．
例如：am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（a+b）（m+n）．
①分解因式：ab﹣a﹣b+1；
②若a，b（a＞b）都是正整数且满足ab﹣a﹣b﹣4＝0，求a+b的值；
（2）若a，b为实数且满足ab﹣a﹣b﹣4＝0，s＝a2+3ab+b2+3a﹣b，求s的最小值．
28．先阅读，再因式分解：x4+4＝（x4+4x2+4）﹣4x2＝（x2+2）2﹣（2x）2＝（x2﹣2x+2）（x2+2x+2），按照这种方法把多项式x4+324因式分解．
29．在实数范围内分解因式：
（1）9a 4﹣4b 4；
（2）x 2﹣2 x+3．
30．上数学课时，王老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：
解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1
∵（x+2）2≥0，
∴当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0，
∴（x+2）2+1≥1
∴当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，
∴x2+4x+5的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题
（1）知识再现：当x＝ 时，代数式x2﹣6x+12的最小值是 ；
（2）知识运用：若y＝﹣x2+2x﹣3，当x＝ 时，y有最 值（填“大”或“小”），这个值是 ；
（3）知识拓展：若﹣x2+3x+y+5＝0，求y+x的最小值．
参考答案
1．解：∵长方形的周长为16cm，
∴2（x+y）＝16，
∴x+y＝8①；
∵（x﹣y）2﹣2x+2y+1＝0，
∴（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+1＝0，
∴（x﹣y﹣1）2＝0，
∴x﹣y＝1②．
联立①②，得，
解得：，
∴长方形的面积S＝xy＝＝（cm2），
故选：A．
2．解：根据题意，|x|+y＝3则y＝3﹣|x|，
又由|x|y+x3＝0，则有|x|（3﹣|x|）+x3＝0，
分2种情况讨论：
①当x＞0时，由|x|（3﹣|x|）+x3＝0得到：x（3﹣x）+x3＝0，
变形可得：x2﹣x+3＝0，无解；
②当x＜0时，由|x|（3﹣|x|）+x3＝0得到（﹣x）[3﹣（﹣x）]+x3＝0，
变形可得：x2﹣x﹣3＝0，
解可得：x＝或x＝，（舍）
综合可得：x＝，则y＝3﹣|x|＝3+x，
x+y＝3+2x＝4﹣；
故选：D．
3．解：∵n3﹣n＝n（n﹣1）（n+1）≈n3，
又∵≈73，
∴n＝73，
∴n3﹣n＝72×73×74＝388944，
故选：A．
4．解法一：∵x2﹣2x﹣5＝0，
∴x2＝2x+5，
∴d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，
＝（2x+5）2﹣2x（2x+5）+x2﹣12x﹣5
＝4x2+20x+25﹣4x2﹣10x+x2﹣12x﹣5
＝x2﹣2x﹣5+25
＝25．
解法二：∵x2﹣2x﹣5＝0，
∴x2﹣2x＝5，
∴d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5
＝x2（x2﹣2x+1）﹣12x﹣5
＝6x2﹣12x﹣5
＝6（x2﹣2x）﹣5
＝6×5﹣5
＝25．
故选：A．
5．解：∵a3+a2﹣a+2＝0，
（a3+1）+（a2﹣a+1）＝0，
（a+1）（a2﹣a+1）+（a2﹣a+1）＝0
（a2﹣a+1）（a+1+1）＝0，
（a2﹣a+1）（a+2）＝0，
∴a+2＝0，或a2﹣a+1＝0，
（1）若a2﹣a+1＝0时，
Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×1＝﹣3＜0，
∵a为实数，
∴此一元二次方程在实数范围内无解；
（2）若a+2＝0时，
变形得：a+1＝﹣1…①
将①代入下列代数式得：
（a+1）2011+（a+1）2012+（a+1）2013
＝（﹣1）2011+（﹣1）2012+（﹣1）2013
＝﹣1+1+（﹣1）
＝﹣1
故选：D．
6．解：∵（x+2）（x+4），
＝x2+6x+8，
＝x2+6x+m．
∴m＝8．
7．解：∵xy＝﹣1，x+y＝2，
∴x3y+x2y2+xy3
＝
＝
＝
＝﹣2．
故答案为：﹣2．
8．解：（a﹣2b）（a﹣2b﹣4）+4﹣c2，
＝（a﹣2b）2﹣4（a﹣2b）+4﹣c2，
＝[（a﹣2b）﹣2]2﹣c2，
＝（a﹣2b﹣2+c）（a﹣2b﹣2﹣c）．
故答案为：（a﹣2b﹣2+c）（a﹣2b﹣2﹣c）．
9．解：a2﹣a+2
＝（a2﹣6a+9）
＝（a﹣3）2．
故答案为：（a﹣3）2．
10．解：原式＝x3﹣4x2+x2﹣6x+8
＝x2（x﹣4）+（x﹣4）（x﹣2）
＝（x﹣4）（x2+x﹣2）
＝（x﹣4）（x+2）（x﹣1）．
故答案为：（x﹣4）（x+2）（x﹣1）．
11．解：原式＝（x3）2﹣28x3+27，
＝（x3﹣1）（x3﹣27），
＝（x﹣1）（x2+x+1）（x﹣3）（x2+3x+9）．
故答案为：（x﹣1）（x2+x+1）（x﹣3）（x2+3x+9）．
12．解：∵5n2+3n﹣5＝（5n﹣2）（n﹣5）+30n﹣15，
又∵30n﹣15＝15（2n﹣1）是15的倍数，5n﹣2不可能是15的倍数，
∴要使5n2+3n﹣5是15的倍数，只能让n﹣5是5的倍数，
∵n是小于100的正整数，
∴n可取值为5、10、20、25、35、40、50、55、65、70、80、85、95．
∴符合条件的所有正整数n的和是5+10+20+25+35+40+50+55+65+70++80+85+95＝635．
故答案为：635．
13．解：（1）∵（x+3）（x﹣4）＝x2﹣x﹣12，
∴﹣m＝﹣1，
∴m＝1，
故答案为：1；
（2）设另一个因式为（x2+ax+k），
（x+1）（x2+ax+k）＝x3+ax2+kx+x2+ax+k＝x3+（a+1）x2+（a+k）x+k，
∴x3+（a+1）x2+（a+k）x+k＝x3+3x2﹣3x+k，
∴a+1＝3，a+k＝﹣3，
解得a＝2，k＝﹣5；
答：k的值为﹣5；
（3）多项式x4+x2+1能分解成两个整系数二次多项式的乘积．理由如下：
设多项式x4+x2+1能分解成①（x2+1）（x2+ax+b）或②（x2+x+1）（x2+ax+1），
①（x2+1）（x2+ax+b）
＝x4+ax3+bx2+x2+ax+b
＝x4+ax3+（b+1）x2+ax+b，
∴a＝0，b+1＝1，b＝1，
由b+1＝1得b＝0≠1，
②（x2+x+1）（x2+ax+1）
＝x4+（a+1）x3+（a+2）x2+（a+1）x+1，
∴a+1＝0，a+2＝1，
解得a＝﹣1．
即x4+x2+1＝（x2+x+1）（x2﹣x+1），
∴x4+x2+1能分解成两个整系数二次三项式的乘积却不能分解成两个整系数二次二项式与二次三项式的乘积．
答：多项式x4+x2+1能分解成两个整系数二次三项式的乘积．
14．解：x3﹣x2﹣x+1＝x2（x﹣1）﹣（x﹣1）＝（x﹣1）2（x+1）
4x3﹣4x2﹣x+1＝4x2（x﹣1）﹣（x﹣1）＝（x﹣1）（2x+1）（2x﹣1）
15．解：（1）∵x+5是整式x2+mx﹣10的一个因式，
∴存在一个整式（mx+n），使得x2+mx﹣10＝（x+5）（mx+n），
∵当x＝﹣5时，（x+5）（mx+n）＝0，
∴当x＝﹣5时，x2+mx﹣10＝0，
∴25﹣5m﹣10＝0，
∴m＝3；
故答案为：3；
（2）∵整式x2﹣1是3x4﹣ax2+bx+1，
∴存在一个整式（3x2+mx﹣1），使得3x4﹣ax2+bx+1＝（x2﹣1）（3x2+mx﹣1），
∴当x＝1时，（x2﹣1）（3x2+mx﹣1）＝0，
即3x4﹣ax2+bx+1＝0，
则3﹣a+b+1＝0①，
当x＝﹣1时，（x2﹣1）（3x2+mx﹣1）＝0，
即3x4﹣ax2+bx+1＝0，
则3﹣a﹣b+1＝0②，
联立①②解得a＝4，b＝0．
∴＝＝2．
16．解：可设多项式x4+px+q的另一个因式为x2+mx+n，则（x2+2x+5）（x2+mx+n）＝x4+px+q，
因为（x2+2x+5）（x2+mx+n）＝x4+（m+2）x3+（2m+n+5）x2+（5m+2n）x+5n，
所以m+2＝0，2m+n+5＝0，
解得m＝﹣2，n＝﹣1．
所以这个多项式的其他因式是x2﹣2x﹣1．
17．解：设原多项式为ax2+bx+c（其中a、b、c均为常数，且abc≠0）．
∵2（x﹣1）（x﹣9）＝2（x2﹣10x+9）＝2x2﹣20x+18，
∴a＝2，c＝18；
又∵2（x﹣2）（x﹣4）＝2（x2﹣6x+8）＝2x2﹣12x+16，
∴b＝﹣12．
∴原多项式为2x2﹣12x+18，将它分解因式，得
2x2﹣12x+18＝2（x2﹣6x+9）＝2（x﹣3）2．
18．解：（1）∵（x﹣2）（x+a）＝x2+（a﹣2）x﹣2a＝x2﹣5x+6，
∴a﹣2＝﹣5，
解得：a＝﹣3；
（2）∵（2x﹣1）（x+5）＝2x2+9x﹣5＝2x2+bx﹣5，
∴b＝9；
（3）设另一个因式为（x+n），得2x2+5x﹣k＝（2x﹣3）（x+n）＝2x2+（2n﹣3）x﹣3n，
则2n﹣3＝5，k＝3n，
解得：n＝4，k＝12，
故另一个因式为（x+4），k的值为12．
故答案为：（1）﹣3；（2）9；（3）另一个因式是x+4，k＝12．
19．解：（1）当x+y＝6、xy＝4时，
原式＝xy（x+y）＝4×6＝24；
（2）当x+y＝6、xy＝4时，
原式＝（x+y）2﹣2xy
＝62﹣2×4
＝36﹣8
＝28．
20．解：（1）上述分解因式的方法是：提公因式法；
故答案为：提公因式法；
（2）方法一：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3
＝（1+x）[1+x+x（1+x）+x（1+x）2]
＝（1+x）（1+x）[1+x+x（1+x）]
＝（1+x）（1+x）（1+x）[1+x]
＝（1+x）4；
方法二：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3
＝（1+x）3+x（1+x）3
＝（1+x）3（1+x）
＝（1+x）4；
（3）1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n分解因式的结果是：（1+x）n+1．
故答案为：（1+x）n+1．
21．解：（1）mn（m﹣n）﹣m（n﹣m）2
＝mn（m﹣n）﹣m（m﹣n）2
＝m（m﹣n）[n﹣（m﹣n）]
＝m（m﹣n）（2n﹣m）；
（2）去分母得：3（x+5）﹣6＞2（7﹣x）
去括号得：3x+15﹣6＞14﹣2x，
移项合并同类项得：5x＞5，
系数化为1得：x＞1，
如图所示：
．
22．解：（1）解不等式①：x＞1，
解不等式②：x≤4
∴原不等式的解集为：1＜x≤4
∴原式不等式组的整数解为：2、3、4
（2）①根据题意可知：分解因式的方法是提取公因式法；
②原式＝（1+x）[（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2]
＝（1+x）2[（1+x）+x（1+x）]
＝（1+x）3（1+x）
＝（1+x）4
③由题意可知：（1+x）n+1
故答案为：（2）①提取公因式；③（1+x）n+1
23．解：（1）a4﹣16，
＝（a2+4）（a2﹣4），
＝（a2+4）（a+2）（a﹣2）；
（2）9（a+b）2﹣4（a﹣b）2，
＝[3（a+b）+2（a﹣b）][3（a+b）﹣2（a﹣b）]，
＝[3a+3b+2a﹣2b][3a+3b﹣2a+2b]，
＝（5a+b）（a+5b）．
24．解：（1）2x2﹣8＝2（x2﹣4）
＝2（x+2）（x﹣2）；
（2）3x2y﹣6xy2+3y3
＝3y（x2﹣2xy+y2）
＝3y（x﹣y）2．
25．解：（1）∵（a+b）2＝a2+b2+2ab＝7①，（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝4②，
∴①+②得：a2+b2＝5.5，①﹣②得：ab＝；
（2）①原式＝（x﹣4y）2；
②原式＝（x+y+1+x﹣y+1）（x+y+1﹣x+y﹣1）＝4y（x+1）．
26．解：（1）3x﹣12x3
＝3x（1﹣4x2）
＝3x（1+2x）（1﹣2x）；
（2）原式＝3m[（2x﹣y）2﹣n2]
＝3m（2x﹣y+n）（2x﹣y﹣n）；
27．解：（1）①ab﹣a﹣b+1
＝（ab﹣a）﹣（b﹣1）
＝a（b﹣1）﹣（b﹣1）
＝（a﹣1）（b﹣1）．
②由题得ab﹣a﹣b+1＝5，即（a﹣1）（b﹣1）＝5．
∵a，b为正整数且a＞b，
∴，即．
∴a+b＝8．
（2）由题得ab＝a+b+4．
∴
＝
＝
＝．
∵，
∴（当且仅当时取等号）．
经验证：满足ab﹣a﹣b﹣4＝0，
综上，s的最小值为．
28．解：x4+324＝x4+36x2+324﹣36x2
＝（x2+18）2﹣36x2
＝（x2+18）2﹣（6x）2
＝（x2+18+6x）（x2+18﹣6x）．
29．解：（1）原式＝（3a2+2b2）（3a2﹣2b2）＝（3a2+2b2）（a+b）（a﹣b）；
（2）原式＝（x﹣）2．
30．解：（1）∵x2﹣6x+12＝（x﹣3）2+3，
∴当x＝3时，有最小值3；
故答案为3，3．
（2）∵y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2，
∴当x＝1时有最大值﹣2；
故答案为1，大，﹣2．
（3）∵﹣x2+3x+y+5＝0，
∴x+y＝x2﹣2x﹣5＝（x﹣1）2﹣6，
∵（x﹣1）2≥0，
∴（x﹣1）2﹣6≥﹣6，
∴当x＝1时，y+x的最小值为﹣6．