5.2.1基本初等函数的导数（教案）-高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及其应用
5.2 导数的运算
5.2.1 基本初等函数的导数
教学设计
一、教学目标
1. 掌握基本初等函数的导数公式；
2. 学会利用公式求一些函数的导数.
二、教学重难点
1. 教学重点
基本初等函数的导数公式.
2. 教学难点
基本初等函数的导数公式的推导过程及其应用.
三、教学过程
（一）新课导入
导数的定义：如果当时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称在处可导，并把这个确定的值叫做在处的导数（也称为瞬时变化率）.
根据导数的定义，求函数的导数，就是求出当时，无限趋近的那个定值.下面我们求几个常用函数的导数.
（二）探索新知
1.函数的导数
因为，
所以.
若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态.
2.函数的导数
因为，
所以.
若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速直线运动.
3.函数的导数
因为，
所以.
表示函数的图象上点处切线的斜率为，说明随着的变化，切线的斜率也在变化.另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当时，随着的增加，越来越小，减少得越来越慢；当时，随着的增加，越来越大，增加得越来越快.若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体做变速运动，它在时刻的瞬时速度为.
4.函数的导数
因为
，
所以.
表示函数的图象上点处切线的斜率为，这说明随着的变化，切线的斜率也在变化，且恒为非负数.
5.函数的导数
因为，
所以.
6.函数的导数
因为
，
所以.
总结：
基本初等函数的导数公式
1. 若(为常数)，则；
2. 若，且，则；
3. 若，则；
4. 若，则；
5. 若，且，则；特别地，若，则；
6. 若，且，则；特别地，若，则；
例1 求下列函数的导数：
（1）；（2）.
解：（1）；
（2）.
例2 假设某地在20年间的年均通货膨胀率为5%，物价（单位：元）与时间：（单位：年）有如下函数关系，其中为时的物价，假定某种商品的，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01元/年）？
解：根据基本初等函数的导数公式表，有，
所以.
所以，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨.
（三）课堂练习
1.已知函数（，且），若，则( )
A.e B. C. D.
答案：A
解析：，，又，，.故选A.
2.对任意的，有，，则函数的解析式为( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：由知中含有项，然后将代入选项中验证可得.故选B.
3.已知曲线在点处的切线方程为，则( )
A.4 B. C.28 D.
答案：C
解析：，曲线在点处的切线斜率.
切线方程为，即..故选C.
4.已知函数，若，则实数a的值为____________.
答案：或-2
解析：，，则或，解得或.
5.求下列函数的导函数.
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
答案：（1）.
（2）.
（3），
.
（4），
.
（四）小结作业
小结：基本初等函数的导数公式.
作业：
四、板书设计
5.2.1 基本初等函数的导数
基本初等函数的导数公式：
若(为常数)，则；
若，且，则；
若，则；
若，则；
若，且，则；
特别地，若，则；
若，且，则；
特别地，若，则.