23.1 图形的旋转 课后培优 练习2021-2022学年 人教版 九年级数学上册（Word版含答案）

23.1 图形的旋转
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，O（0，0），A（1，），点A绕点O顺时针旋转90°得到点B，则B点的坐标是（ ）
A．（，） B．（，） C．（3，1） D．（，3）
2．如图是一个旋转对称图形，若将它绕自身中心旋转一定角度之后能与原图重合，则这个角度可能（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
3．如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转90°得到点，则 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在Rt中，，点在斜边上，如果绕点旋转后与重合，连接，那么的度数是（ ）
A．80° B．70° C．60° D．50°
5．如图，在三角形ABC中，∠C=90°，∠B=35°，将三角形ABC绕点A按顺时针方向旋转到三角形AB1C1的位置，使得点C、A、B1在一条直线上，那么旋转角等于（ ）
A． B． C． D．
6．下列事件中，属于旋转运动的是（　　）
A．小明向北走了4米 B．小明在荡秋千
C．电梯从1楼到12楼 D．一物体从高空坠下
7．下列圆形图案中，分别以它们的圆心为旋转中心，顺时针旋转后，能与原图形完全重合的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，把是直角的绕点A按顺时针旋转，把点B转到点E得，则以下结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，若正方形旋转后能与正方形重合，则图形所在平面内可作为旋转中心的点共有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，将△OAB绕点O逆时针旋转55°后得到△OCD，此时，若，则的度数是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
11．等边三角形（三条边都相等的三角形是等边三角形）纸板ABC在数轴上的位置如图所示，点A、B对应的数分别为2和1，若△ABC绕着顶点逆时针方向在数轴上连续翻转，翻转第1次后，点C所对应的数为0，则翻转2023次后，点C所对应的数是（　　）
A．﹣2021 B．﹣2022 C．﹣2023 D．﹣2024
12．将一副三角板按如图放置，三角板ABD可绕点D旋转，下列结论中正确的个数是（　　）
（1）若CD平分∠ADB，则∠BCD＝125°
（2）若AB//DF，则∠BDC＝10°
（3）若∠ADF＝120°，则∠ADC＝75°
（4）若AB⊥FD，则AB//EF
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
13．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转角α（0°＜α＜180°），得到△AED，若AC＝1，CE＝，则α的度数为 ___．
14．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB'C'D'的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°），若∠1＝112°则∠α的度数是 ______．
15．如图，在正方形ABCD 中，AB＝4，点E在BC上，将线段EA绕点E顺时针旋转90°，得到线段EF，连接DE，DF，CF，则的值是____﹔设BE＝x，DEF面积为S，则S与x之间的关系式是_______．
16．如图，一副三角板按如图所示叠放在一起，若固定△ABC，将△BDE绕着公共顶点B顺时针旋转α（0°＜α＜180°）．当边DE与△ABC的某一边平行时，相应的旋转角α＝______________
17．如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C．若∠A′CB′＝30°，则∠BCA′的度数是 ___．
18．如图，在中，，，，边AB上有一动点P，将绕点C顺时针旋转90°得，点A，B的对应点分别为点D，E，点P的对应点为，连接CP，，，则周长的最小值为______．
三、解答题
19．已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90，点D是BC的中点，作正方形DEFG使点A、C分别在DG和DE上，连接AE，BG．
（1）猜想线段AE和BG的关系，请直接写出你的结论；
（2）将正方形DEFG绕点D顺时针方向旋转一定角度后（旋转角大于0°，小于或等于360°），如图2，判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由．
（3）若BC＝DE＝4，在（2）的旋转过程中，当AE取最大值时，直接写出AF的长
20．如图，在8×5的小正方形网格中，小正方形的边长为1，点O在格点（两格线的交点）上，且点A的坐标为（0，4）．
（1）将线段OA沿x轴的正方向平移4个单位，点O、A的对应点分别是B、C，作出对应线段BC；
（2）取（1）中线段BC的中点D，先作△ABD，再取线段AB的中点E，将△ADE绕点A顺时针旋转90°，点E、D的对应点分别是F、G，作出对应的△AGF；
（3）x轴上有点M，若将△AMD沿AM折叠刚好与△AMG重合，直接写出点M的坐标：　 　．
21．如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）．
（1）画出△ABC向下平移5个单位所得到的△A1B1C1；
（2）画出将△ABC绕原点O逆时针方向旋转90°后的△A2B2C2，并写出点C的对应点C2的坐标．
参考答案
1．B
解：如图，连接OA、OB，过点A作AC⊥y轴于C，过点B作BE⊥x轴于E，
∵A（1，），
∴AC=1，OC=3，
由旋转可得：OA=OB，，
∴，
∵，
∴△AOC≌△BOE，
∴OE=OC=3，BE=AC=1，
∴B（，），
故选：B．
2．C
解：从图形观察得到基本图形是有一个大三角形和一个小三角形组成，
图中一共有六个同样的基本图形
一个基本图形旋转到另一个基本图形的最小旋转角为
∴旋转角是60°的整数倍时，旋转后可以与原来图形重合，
30°＜45°＜60°＜90°，
∵90°不是60°的整数倍，旋转90°不可能与原来图形重合，
故选：C．
3．A
解：如图，点．
故选：．
4．B
解：中，，
．
经过旋转后与重合，
，，
，
故选：B．
5．B
解：∵∠C=90°，∠B=35°，
∴∠BAC=55°，
∵点C、A、B1在一条直线上，
∴∠BAB1=∠C+∠B=125°，
∴旋转角等于125°，
故选：B．
6．B
解：A、小明向北走了4米是平移，A不符合题意；
B、小明在荡秋千是旋转，B符合题意；
C、电梯从1楼到12楼是平移，C不符合题意；
D、一物体从高空坠下是平移，D不符合题意；
故选：B．
7．A
解：A、最小旋转角度．
B、最小旋转角度．
C、最小旋转角度．
D、最小旋转角度．
综上可得：顺时针旋转后，能与原图形完全重合的是A．
故选：A．
8．D
根据旋转的性质：旋转前后的两个三角形全等，
∴，
∴，，，
∴B、C选项正确，D选项错误；
根据旋转角的定义，，
∴，A选项正确，
故选：D．
9．C
以点C为旋转中心，把正方形DCEF逆时针旋转90°，可得到正方形ABCD；
以点D为旋转中心，把正方形DCEF顺时针旋转90°，可得到正方形ABCD；
以CD的中点为旋转中心，把正方形DCEF旋转180°，可得到正方形ABCD；
所以旋转中心有3个．
故选：C．
10．D
解：∵将△OAB绕点O逆时针旋转55°后得到△OCD，
∴∠AOC＝55°，∠A＝∠C，
∵∠AOB＝20°，
∴∠BOC＝∠AOC ∠AOB＝55° 20°＝35°，
∵CD∥OB，
∴∠BOC＝∠C＝35°，
∴∠A＝35°，
故选：D．
11．B
解：如图，每3次翻转为一个循环组依次循环，
∵2023÷3＝674…1，，
∴翻转2023次后点C在数轴上，
∴点C对应的数是0﹣674×3＝﹣2022．
故选：B．
12．A
解：（1）当CD平分∠ADB，则∠ADC＝45°，
∴∠BCD＝∠A＋∠ADC＝105°，故（1）错误；
（2）若AB∥DF，且AB在DF的上方，则∠ABD＝∠BDF＝30°，
∴∠BDC＝∠EDF ∠BDF＝15°，故（2）错误；
（3）若∠ADF＝120°时，且AD在DF的下方时，则∠ADC＝180°，故（3）错误；
（4）若AB⊥FD，且EF⊥DF，则EF∥AB，故（4）正确，
故选：A．
13．
解：由旋转得，，
，
，
是直角三角形，，
旋转角的度数为．
故答案为：．
14．22°
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，
∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α，
∴∠BAB′＝α，∠B′AD′＝∠BAD＝90°，∠AD′C′＝∠ADC＝90°，
∵∠2＝∠1＝112°，
而∠ABC＝∠D′＝90°，
∴∠3＝180° ∠2＝68°，
∴∠BAB′＝90° 68°＝22°，
即∠α＝22°．
故答案为：22°．
15．
如图，过点作交的延长线与点，则，
四边形是正方形，
，
,
设，则,
,
是等腰直角三角形，
；
故答案为：，．
16．45°，75°，165°
解：①如图1中，当DE∥AB时，
∴∠ABD=∠D=45°，∴旋转角α=45°
②如图2中，当DE∥BC时，
∴∠CBD=∠D=45°，
∴∠ABD=∠ABC+∠CBD=45°+30°=75°，
∴旋转角α=75°
③如图3中，当DE∥AC时，作BM∥AC，
则AC∥BM∥DE，
∴∠CBM=∠C=90°，∠DBM=∠D=45°，
∴∠ABD=30°+90°+45°=165°，
∴旋转角α=165°，
综上所述，满足条件的旋转角α为45°，75°，165°
故答案为45°，75°，165°．
17．80°
解：∵△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C，
∴∠BCB′=50°，
∵∠A′CB′=30°，
∴∠BCA′=∠BCB′+∠A′CB′=50°+30°=80°．
故答案为：80°．
18．
解：由旋转可知：，，
∴是等腰直角三角形，
∴当CP的长度最小时，周长即可取得最小值，
∵边AB上有一动点P，
∴当CP⊥AB时，CP取得最小值，
∵，，，
∴，
∵当CP⊥AB时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴在中，，
∴周长的最小值为，
故答案为：．
19．（1）BG=AE且BG⊥AE，理由见解析；（2）成立，理由见解析；（3）.
（1）BG=AE且BG⊥AE．理由如下：
如图1，∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，BD=CD=AD，
∴∠ADB=∠ADC=90°．
∵四边形DEFG是正方形，
∴DE=DG．
在△ADE和△BDG中，
∵DA＝DB，∠ADC＝∠ADB，DE＝DG，
∴△ADE≌△BDG（SAS），
∴BG=AE；
如图，延长EA交BG于点H，
∵△ADE≌△BDG，
∴∠BGA=∠AED，
又∵∠GAH=∠EAD，
∴∠GHA=∠ADE=90°，
∴EH⊥BG，
即AE⊥BG，
综上所述，BG=AE且BG⊥AE．
（2）成立．理由如下：
如图2，连接AD，
∵在Rt△BAC中，D为斜边BC中点，
∴AD=BD，AD⊥BC，
∴∠ADG+∠GDB=90°．
∵四边形EFGD为正方形，
∴DE=DG，且∠GDE=90°
∴∠ADG+∠ADE=90°，
∴∠BDG=∠ADE．
在△BDG和△ADE中，
∵BD＝AD，∠BDG＝∠ADE，GD＝ED，
∴△BDG≌△ADE（SAS）
∴BG=AE；
如图，延长EA交BG于点H，DG和AH交于点M，
∵△ADE≌△BDG，
∴∠BGD=∠AED，
又∵∠GMH=∠EMD，
∴∠GHA=∠GDE=90°，
∴EH⊥BG，
即AE⊥BG，
综上所述，BG=AE且BG⊥AE．
（3）∵BG=AE，
∴当BG取得最大值时，AE取得最大值．
如图3，当旋转角为90°时，AE取得最大值．
∵BC=DE=4，∴BG=2+4=6．
∴AE=6．
在Rt△AEF中，由勾股定理，得．
20．（1）线段BC为所求，图形见详解；（2）△AFG为所求，图形见详解；（3）点M（，0）．
解：（1）∵点A的坐标为（0，4）．将线段O看A沿x轴的正方向平移4个单位，
∴点C（4，4），点B（4，0），
在平面直角坐标系中描点B（4，0），C（4，4），
连结BC，
线段BC为所求；
（2）连结AC，OB，
∵OA∥BC，且OA=BC，
∴四边形AOBC为平行四边形，
∵AO⊥OB，
∴四边形AOBC为矩形，
又∵OB=BC=4，
∴四边形AOBC为正方形，
∴∠OAC=90°，OA=AC，
∵点D为线段BC的中点，
∴BD=CD=，点D（4，2），
∵点E为线段AB的中点，
∴点E的横坐标为x=，纵坐标为，
∴点E（2，2），
∵将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△AGF，
∴AG=AD，∠GAD=90°，
∵∠GAO+∠OAD=∠OAD+∠DAC=90°，
∴∠GAO=∠DAC，
在△GAO和△DAC中，
∵，
∴△GAO≌△DAC（SAS），
∴GO=CD=2，
点G（-2，0），
∵ED=4-2=2，DE⊥DC，
∴FG=ED=2，FG⊥GO，
点F（-2，2），
在平面直角坐标系中描点F（-2，2）,G（-2，0）
连结AF、FG、AG，
则△AFG为所求；
（3）∵△AMD沿AM折叠刚好与△AMG重合，
∴△AMD≌△AMG，
∴GM=MD，
设OM=x，OB=4-x,DM=GM=OG+OM=2+x，
在Rt△BMD中，
，即，
解得：，
∵点M在x轴上，
∴点M（，0）．
21．（1）见解析；（2）见解析；点C2的坐标为（﹣2，2）．
（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作，点C2的坐标为（﹣2，2）．