2021—2022学年度上学期九年级第一次教学质量调研考试
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1~5 BCCCD 6~10 BBCCB
填空题（每小题3分，共计15分）
12、 13、5 14、 15、或
解答题
16（4+4=8分）（1）解：．
=8++(3-1)=8++3-1=10+
17、（8分）解：
.（且且）
当时， 原式．
18、（4+5=9分）
解：∵ 一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴ 解得：且．
结合可知，
∴ 方程，解得：，．
当时，有，解得：；
当时，有，解得：．
故的值为或．
19、（2+5+2=9分）（1） ,
∵ ，∴ ，即，
∴ ，则或，
解得（舍去，不合题意），.
由②得，代入①得：，化简得：，
解得：或，故或.
故方程组的解为：
20、（2+3+5=10分）（1）,
，∴ ，
则，即，解得．
延长至使，连接与交于，连接，
当到位置时，，即为的最小值，
即的最小值，
过作的平行线与的延长线交于，
，，四边形为平行四边形，，，
，，，
，，
在中，，
的最小值为．
21、（5+5=10分）解：，.
，，．
设，则．由得：，
，，，．
22、（5+5=10分）解：存在．
假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为、，则
由①得：③，把③代入②得：，解得，.
所以存在，且减半的矩形的长和宽分别是和.
不存在．
因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为时，面积比必定是，
所以正方形不存在“减半”正方形．
另：（1）设矩形长为x，则宽为4-x
设矩形长为x，则宽为a-x， 则有x（a-x）=a2/2
即2x2-2ax+a2=0，此时△=（-2a）2-4×2×a2=-4a2＜0，此方程无解，即不存在边长为的正方形存在“减半”正方形
23、（3+5+3=11分）解：设，则
.
即黄金分割数为.
设，则，，
，
由勾股定理得，
，
，∴ ，
∴ 点是线段的黄金分割点.
如图所示：
设，
，又，
所以.
故答案为：2021-2022学年河南省部分学校联考九年级（上）第一次调研数学试卷
一、选择题（下面各题均有四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的序号填涂在答题卡相应位置。每小题3分，共30分）
1．下列二次根式，化简后能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
2．在①，②，③，④中最简二次根式是（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．①④
3．在函数y中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣1 B．x＞﹣1且x
C．x≥﹣1且x D．x≤﹣1且x
4．下列方程属于一元二次方程的是（ ）
A．x2+y﹣2＝0 B．x+y＝3 C．x2+2x＝3 D．x5
5．若，则下列变形错误的是（ ）
A． B． C．3a＝2b D．2a＝3b
6．下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．a＝1，b＝3，c＝2，d＝4 B．a＝2，b＝4，c＝3，d＝6
C．a＝4，b＝5，c＝6，d＝10 D．a＝2，b＝3，c＝4，d＝5
7．如图，直线a∥b∥c，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F，若AB＝2，BC＝4，DE＝3，则DF的长是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
8．已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣1）x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k B．k C．k且k≠0 D．k且k≠0
9．已知y＝kx+k﹣1的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2﹣x﹣k2﹣k＝0的根的情况是（ ）
A．无实数根
B．有两个相等或不相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．有两个相等的实数根
10．如图，一般书本的纸张是在原纸张多次对开得到的．矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCDAB沿MN对开，依此类推．若各种开本的矩形都相似，那么等于（ ）
A．0.618 B． C． D．2
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．已知m是的小数部分，则 ．
12．若y1，则x﹣y＝ ．
13．已知三角形的两边长分别是4和7，第三边是方程x2﹣16x+55＝0的根，则第三边长是 ．
14．某种型号的电脑，原售价6000元/台，经连续两次降价后，现售价为4860元/台，设平均每次降价的百分率为x，由题意列方程得 ．
15．如图，正方形ABCD的对角线AC上有一动点P，作PN⊥CD于点N，连接BP，BN，若AB＝3，BP，则BN的长为 ．
三、解答题{共75分）
16．计算．
（1）；
（2）（）2+（1）（1）．
17．先化简，再求值：（x﹣1），从“1、﹣1、0、2、1”中选一个合适的实数x代入求值．
18．已知一元二次方程（k﹣2）x2﹣4x+2＝0有两个不相等的实数．
（1）求k的取值范围；
（2）定义：如果两个一元二次方程有且仅有一个相同的实数根，则称这两个方程为“友好方程”，若一元二次方程x2﹣4x+k＝0与x2+mx﹣1＝0是友好方程，且k是符合（1）中条件的最大整数，求此时m的值．
19．我们知道，解一元二次方程，可以把它转化为两个一元一次方程来解，其实用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程，例如一元三次方程x3+x2﹣2x＝0，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x﹣2）＝0，通过解方程x＝0和x2+x﹣2x＝0，可得方程x3+x2﹣2x＝0的解．
（1）方程x3+x2﹣2x＝0的解是x1＝0，x2＝ ，x3＝ ．
（2）用“转化”的思想求方程x的解．
（3）试直接写出方程组的解．
20．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝2，CD＝6，BC＝6，P是BC上任一点，设BP＝x．
（1）直接写出线段AP＝ ，DP＝ ；（用含x的式子表示）
（2）当AP＝DP时，求x的值；
（3）利用“数形结合”的思想，结合此图求代数式的最小值．
21．如图，在△ABC中，DF∥AC，DE∥BC．
（1）求证：；
（2）若AE＝4，EC＝2，BC＝10，求BF和CF长．
22．阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图，矩形A1B1C1D1是矩形ABCD的“减半”矩形．请你解决下列问题：
（1）当矩形的长和宽分别为1，7时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并说明理由；
（2）边长为a的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，请说明理由．
23．请阅读下列材料，并完成相应的任务：
公元前300年前后，欧几里得撰写的《几何原本》系统地论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著．黄金分割（goldensection）是指把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值．
如图①，在线段AB上找一个点C，C把AB分为AC和CB两段，其中AC是较小的一段，如果AC：CB＝CB：AB，那么称线段AB被C点黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与CB的比值叫
做黄金分割数．
为简单起见，设AB＝1，CB＝x，则AC＝1﹣x．
∵AC：CB＝CB：AB
∴……
任务：
（1）请根据上面的部分解题过程，求黄金分割数．
（2）如图②，采用如下方法可以得到黄金分割点：
①设AB是已知线段，过点B作BD⊥AB且使BDAB；
②连结DA，在DA上截取DE＝DB；
③在AB上截取AC＝AE；
则点C即为线段AB黄金分割点．你能说说其中的道理吗？
（3）已知线段AB＝1，点C，D是线段AB上的两个黄金分割点，则线段CD的长是 ．
