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专题21.2 一元二次方程-针对训练
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分32分，每小题4分）
1．（4分）（2021春 西城区校级月考）给出下列关于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②（x﹣9）2＝1；③4x2+2x﹣1＝0；④x+3；其中一元二次方程的个数是（ ）21世纪教育网版权所有
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程求解即可．2·1·c·n·j·y
【解答】解：①a＝0时ax2+bx+c＝0是一元一次方程，
②（x﹣9）2＝1是一元二次方程，
③4x2+2x﹣1＝0是一元二次方程；
④x+3是分式方程．
故一元二次方程有2个，
故选：B．
【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
2．（4分）（2020秋 凤凰县期末）关于x的方程（a+1）x|a|+1﹣3x+4＝0是一元二次方程，则（ ）
A．a≠±1 B．a＝﹣1 C．a＝1 D．a＝±1
【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．直接利用一元二次方程的定义即可得出答案．www-2-1-cnjy-com
【解答】解：∵关于x的方程（a+1）x|a|+1﹣3x+4＝0是一元二次方程，
∴|a|+1＝2且a+1≠0，
∴a＝1，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是正确理解一元二次方程的定义，要注意二次项的系数不等于0．2-1-c-n-j-y
3．（4分）（2021春 余姚市校级期中）把一元二次方程y2+2（y﹣1）＝3y化成一般形式，正确的是（ ）
A．y2﹣y﹣2＝0 B．y2+5y﹣2＝0 C．y2﹣y﹣1＝0 D．y2﹣2y﹣1＝0
【分析】一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a≠0），将原方程化简即可．
【解答】解：y2+2（y﹣1）＝3y，
∴y2+2y﹣2﹣3y＝0，
∴y2﹣y﹣2＝0．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，属于简单题，注意一元二次方程的二次项系数不能为0．
4．（4分）（2020秋 马村区月考）将关于x的一元二次方程（2x+1）2﹣（x）（x）＝0化为一般形式后，其二次项系数为（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A．3 B．﹣3 C．4 D．﹣4
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．www.21-cn-jy.com
【解答】解：由（2x+1）2﹣（x）（x）＝0得到：3x2+4x+6＝0，其中二次项系数是3．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，去括号的过程中要注意符号的变化，以及注意不能漏乘，移项时要注意变号．注意在说明二次项，一次项，常数项时，一定要带上前面的符号．
5．（4分）（2020秋 巴南区期末）已知a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，则代数式2a2﹣4a的值应在（ ）
A．4和5之间 B．3和4之间 C．2和3之间 D．1和2之间
【分析】因为a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，所以a2﹣2a＝1，那么代数式2a2﹣4a﹣1可化为2（a2﹣2a）﹣1，然后把a2﹣2a＝1代入代数式2a2﹣4a，利用夹逼法求得无理数的取值范围．
【解答】解：∵a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，
∴a2﹣2a＝1，
∴2a2﹣4a
＝2（a2﹣2a）
＝2×1
＝2．
∵4＜5＜9，
∴23．
∴4＜25．
即代数式2a2﹣4a的值应在4和5之间．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及代数式求值，注意解题中的整体代入思想．
6．（4分）（2020秋 思明区校级期末）若x0是方程ax2+2x+c＝0（a≠0）的一个根，设M＝2﹣ac，N＝（ax0+1）2，则M与N的大小关系正确的为（ ）21教育网
A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．不确定
【分析】把x0代入方程ax2+2x+c＝0得ax02+2x0＝﹣c，作差法比较可得．
【解答】解：∵x0是方程ax2+2x+c＝0（a≠0）的一个根，
∴ax02+2x0+c＝0，即ax02+2x0＝﹣c，
则N﹣M＝（ax0+1）2﹣（2﹣ac）
＝a2x02+2ax0+1﹣2+ac
＝a（ax02+2x0）+ac﹣1
＝﹣ac+ac﹣1
＝﹣1，
∵﹣1＜0，
∴M＞N，
故选：A．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解得概念及作差法比较大小，熟练掌握能使方程成立的未知数的值叫做方程的解是根本，利用作差法比较大小是解题的关键．
7．（4分）（2021春 无为市月考）2020年是脱贫攻坚决胜之年，为落实“一户一策”精准帮扶方案，某地区2018年投入15亿元用于当地扶贫产业，之后投入的资金逐年增长，到2020年底三年累计投入54.6亿元，假设投入资金的年平均增长率为x，则下列根据题意所列方程正确的是（ ）
A．15（1+x）＝54.6
B．15（1+x）2＝54.6
C．15+15（1+x）2＝54.6
D．15+15（1+x）+15（1+x）2＝54.6
【分析】设投入资金的年平均增长率为x，则该地区2019年投入15（1+x）亿元，2020年投入15（1+x）2亿元，根据三年累计投入54.6亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．21·世纪*教育网
【解答】解：设投入资金的年平均增长率为x，则该地区2019年投入15（1+x）亿元，2020年投入15（1+x）2亿元，
依题意得：15+15（1+x）+15（1+x）2＝54.6，
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．（4分）（2020秋 蓬江区期末）如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽x米，则可列方程为（ ）
A．32×20﹣32x﹣20x＝540 B．（32﹣x）（20﹣x）+x2＝540
C．32x+20x＝540 D．（32﹣x）（20﹣x）＝540
【分析】设道路的宽x米，则余下部分可合成长为（32﹣x）m，宽为（20﹣x）m的矩形，根据草坪的面积为540平方米，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设道路的宽x米，则余下部分可合成长为（32﹣x）m，宽为（20﹣x）m的矩形，
依题意得：（32﹣x）（20﹣x）＝540．
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
9．（4分）（2020春 南岗区校级月考）已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为 ．
【分析】直接利用一元二次方程的定义得出关于m的等式，进而得出答案．
【解答】解：∵关于x的方程是一元二次方程，
∴m2﹣1＝2且m0，
解得：m．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，注意未知数的最高次数是2是解题的关键．
10．（4分）（2020春 房县期末）已知关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣2x+a2﹣9＝0的常数项是0，则a＝ ﹣3 ．
【分析】由方程常数项为0求出a的值，检验即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣2x+a2﹣9＝0的常数项是0，
∴a2﹣9＝0，即a＝3或a＝﹣3，
当a＝3时，方程为﹣2x＝0，不符合题意，
则a＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，以及一元二次方程的定义，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
11．（4分）（2021春 汉寿县期中）若a是方程2x2+x﹣2＝0的根，则代数式2021﹣a2a的值是 2020 ．
【分析】直接把a的值代入得出2a2+a＝2，进而将原式变形得出答案．
【解答】解：∵a是方程2x2+x﹣2＝0的根，
∴2a2+a＝2，
∴2021﹣a2a＝2021（2a2+a）＝20212＝2020．
故答案为：2020．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解，正确将原式变形是解题关键．
12．（4分）（2020秋 石狮市期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2019，则关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）＝﹣2必有一根为 x＝2020 ．
【分析】对于一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+2＝0，设t＝x﹣1得到at2+bt+2＝0，利用at2+bt+2＝0有一个根为t＝2019得到x﹣1＝2019，从而可判断一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）＝﹣2必有一根为x＝2020．
【解答】解：对于一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+2＝0，
设t＝x﹣1，
所以at2+bt+2＝0，
而关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2019，
所以at2+bt+2＝0有一个根为t＝2019，
则x﹣1＝2019，
解得x＝2020，
所以一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）＝﹣2必有一根为x＝2020．
故答案是：x＝2020．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．21·cn·jy·com
13．（4分）（2020秋 宝应县月考）小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝1、b＝4，解出其中一个根是x＝﹣1．他核对时发现所抄的c比原方程的c值小1，则原方程的根为 x1＝x2＝﹣2 ．
【分析】把x＝﹣1代入ax2+bx+c﹣1＝0中计算求出
【解答】解：把x＝﹣1代入ax2+bx+c﹣1＝0得：a﹣b+c﹣1＝0，
把a＝1，b＝4代入得：1﹣4+c﹣1＝0，
解得：c＝4，
方程为x2+4x+4＝0，即（x+2）2＝0，
解得：x1＝x2＝﹣2．
故答案为：x1＝x2＝﹣2．
【点睛】此题考查了一元二次方程的解，确定出正确的c值是解本题的关键．
14．（4分）（2020秋 鼓楼区期末）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？设衬衫的单价降了x元，则可列方程为 （40﹣x）（20+2x）＝1250 ．【来源：21·世纪·教育·网】
【分析】根据利润＝（售价﹣进价）×销售量，可以列出相应的一元二次方程，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
（40﹣x）（20+2x）＝1250，
故答案为：（40﹣x）（20+2x）＝1250．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
三．解答题（共6小题，满分44分）
15．（6分）（2020秋 扬州期中）向阳中学数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）（m﹣2）x﹣1＝0提出了下列问题：
（1）是否存在m的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出m的值，并解此方程；
（2）是否存在m的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出m的值，并解此方程．
【分析】（1）根据一元二次方程的定义可得，可求得m的值，进一步可求出方程的解；
（2）当m2+1＝1或m+1＝0时方程为一元一次方程，求出m的值，进一步解方程即可．
【解答】解：（1）根据一元二次方程的定义可得，解得m＝1，此时方程为2x2﹣x﹣1＝0，解得x1＝1，x2；
（2）由题可知m2+1＝1或m+1＝0或m2+1＝0时方程可能为一元一次方程
当m2+1＝1时，解得m＝0，此时方程为﹣x﹣1＝0，解得x＝﹣1，
当m+1＝0时，解得m＝﹣1，此时方程为﹣3x﹣1＝0，解得x．
当m2+1＝0时，方程无解．
【点睛】本题主要考查一元二次和一元一次方程的定义，对（2）中容易漏掉m2+1＝1的情况．
16．（6分）（2020秋 简阳市 月考）将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖线，记成，定义ad﹣bc．上述记法就叫做二阶行列式．那么22表示的方程是一元二次方程吗？请写出它的一般形式．21教育名师原创作品
【分析】根据二阶行列式计算方法列出方程．
【解答】解：根据题意，得：（x+1） 2x﹣（x+2）（x﹣2）＝22，
整理，得2x2+2x﹣x2+4＝22，
即：x2+2x﹣18＝0，
它符合一元二次方程的定义．
【点睛】考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的一般形式，有理数的混合运算，掌握新定义运算法则是解题的关键．
17．（8分）（2020秋 宜州区期末）已知x＝0是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+mx+4m2﹣4＝0的一个根，求直线y＝mx﹣2经过哪些象限．
【分析】把x＝0代入已知方程，列出关于m的新方程，通过解新方程来求m的值．从而确定直线y＝mx所经过的象限．
【解答】解：∵x＝0是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+mx+4m2﹣4＝0的一个根，
∴4m2﹣4＝0，
解得：m＝±1，
根据题意，得m﹣1≠0，
∴m≠1，
∴m＝﹣1＜0．
∴直线y＝mx﹣2经过的象限是第二、三、四象限．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．21cnjy.com
18．（8分）（2020秋 锦江区校级月考）先化简再求值：已知a是方程x2+2x﹣7＝0的解，求代数式（a+3）的值．21*cnjy*com
【分析】首先将代数式化简为，然后根据a是方程x2+2x﹣7＝0的解得到a2+2a﹣7＝0，从而得到a2+2a＝7，代人即可求得答案．【出处：21教育名师】
【解答】解：原式[]
，
∵a是方程x2+2x﹣7＝0的解，
∴a2+2a﹣7＝0，
∴a2+2a＝7，
∴原式．
【点睛】考查了一元二次方程的解集分式的混合运算的知识，解题的关键是对代数式进行正确的化简，难度不大．
19．（8分）（2019秋 巢湖市期末）数学课上，李老师布置的作业是图中小黑板所示的内容，丽丽同学看错了第②题※中的数，求得①的一个解x＝2，想想同学由于看错了第①题■中的数，求得②的一个解x＝3．
（1）请写出老师布置的作业① （x﹣1）2﹣1＝0 ；② x2﹣7x+12＝0 ．
（2）请解答老师布置的第②题作业．
【分析】将x＝2，代入（1）求出第（1）题中※中的数，然后将x＝3代入（2）求出第（2）题※中的数，然后分别解答即可．21*cnjy*com
【解答】解：将x＝2，代入①得：（2﹣1）2﹣＝0，
解得：＝1，
∴①（x﹣1）2﹣1＝0，
将x＝3代入②得：32﹣3※+12＝0，
解得：※＝7，
故答案为：①（x﹣1）2﹣1＝0； ②x2﹣7x+12＝0；
【点睛】此题考查了一元二次方程的解，解题的关键是：先分别求出未知部分，难度不大．
20．（8分）（2021春 淮北月考）若a是方程x2﹣2020x+1＝0的一个根，求代数式a2﹣2021a的值．
【分析】根据一元二次方程根的定义得到a2＝2020a﹣1，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵a是方程x2﹣2020x+1＝0的一个根，
∴a2﹣2020a+1＝0，
∴a2＝2020a﹣1，
∴a2﹣2021a2020a﹣1﹣2021a
＝﹣a+a﹣1
＝﹣1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了整体代入的方法．【版权所有：21教育】
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专题21.2 一元二次方程-针对训练
【人教版】
考试时间：45分钟；满分：100分
一．选择题（共8小题，满分32分，每小题4分）
1．（4分）（2021春 西城区校级月考）给出下列关于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②（x﹣9）2＝1；③4x2+2x﹣1＝0；④x+3；其中一元二次方程的个数是（ ）21cnjy.com
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（4分）（2020秋 凤凰县期末）关于x的方程（a+1）x|a|+1﹣3x+4＝0是一元二次方程，则（ ）
A．a≠±1 B．a＝﹣1 C．a＝1 D．a＝±1
3．（4分）（2021春 余姚市校级期中）把一元二次方程y2+2（y﹣1）＝3y化成一般形式，正确的是（ ）
A．y2﹣y﹣2＝0 B．y2+5y﹣2＝0 C．y2﹣y﹣1＝0 D．y2﹣2y﹣1＝0
4．（4分）（2020秋 马村区月考）将关于x的一元二次方程（2x+1）2﹣（x）（x）＝0化为一般形式后，其二次项系数为（ ）21教育网
A．3 B．﹣3 C．4 D．﹣4
5．（4分）（2020秋 巴南区期末）已知a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，则代数式2a2﹣4a的值应在（ ）
A．4和5之间 B．3和4之间 C．2和3之间 D．1和2之间
6．（4分）（2020秋 思明区校级期末）若x0是方程ax2+2x+c＝0（a≠0）的一个根，设M＝2﹣ac，N＝（ax0+1）2，则M与N的大小关系正确的为（ ）21·cn·jy·com
A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．不确定
7．（4分）（2021春 无为市月考）2020年是脱贫攻坚决胜之年，为落实“一户一策”精准帮扶方案，某地区2018年投入15亿元用于当地扶贫产业，之后投入的资金逐年增长，到2020年底三年累计投入54.6亿元，假设投入资金的年平均增长率为x，则下列根据题意所列方程正确的是（ ）2·1·c·n·j·y
A．15（1+x）＝54.6
B．15（1+x）2＝54.6
C．15+15（1+x）2＝54.6
D．15+15（1+x）+15（1+x）2＝54.6
8．（4分）（2020秋 蓬江区期末）如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽x米，则可列方程为（ ）
A．32×20﹣32x﹣20x＝540 B．（32﹣x）（20﹣x）+x2＝540
C．32x+20x＝540 D．（32﹣x）（20﹣x）＝540
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
9．（4分）（2020春 南岗区校级月考）已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为 ．www.21-cn-jy.com
10．（4分）（2020春 房县期末）已知关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣2x+a2﹣9＝0的常数项是0，则a＝ ．
11．（4分）（2021春 汉寿县期中）若a是方程2x2+x﹣2＝0的根，则代数式2021﹣a2a的值是 ．
12．（4分）（2020秋 石狮市期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2019，则关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）＝﹣2必有一根为 ．【来源：21·世纪·教育·网】
13．（4分）（2020秋 宝应县月考）小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝1、b＝4，解出其中一个根是x＝﹣1．他核对时发现所抄的c比原方程的c值小1，则原方程的根为 ．
14．（4分）（2020秋 鼓楼区期末）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？设衬衫的单价降了x元，则可列方程为 ．21世纪教育网版权所有
三．解答题（共6小题，满分44分）
15．（6分）（2020秋 扬州期中）向阳中学数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）（m﹣2）x﹣1＝0提出了下列问题：21·世纪*教育网
（1）是否存在m的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出m的值，并解此方程；
（2）是否存在m的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出m的值，并解此方程．
16．（6分）（2020秋 简阳市 月考）将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖线，记成，定义ad﹣bc．上述记法就叫做二阶行列式．那么22表示的方程是一元二次方程吗？请写出它的一般形式．www-2-1-cnjy-com
17．（8分）（2020秋 宜州区期末）已知x＝0是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+mx+4m2﹣4＝0的一个根，求直线y＝mx﹣2经过哪些象限．2-1-c-n-j-y
18．（8分）（2020秋 锦江区校级月考）先化简再求值：已知a是方程x2+2x﹣7＝0的解，求代数式（a+3）的值．21*cnjy*com
19．（8分）（2019秋 巢湖市期末）数学课上，李老师布置的作业是图中小黑板所示的内容，丽丽同学看错了第②题※中的数，求得①的一个解x＝2，想想同学由于看错了第①题■中的数，求得②的一个解x＝3．
请写出老师布置的作业① ；② ．
20．（8分）（2021春 淮北月考）若a是方程x2﹣2020x+1＝0的一个根，求代数式a2﹣2021a的值．
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