24.3正多边形和圆 同步练习2020-2021学年人教版数学九年级上册（word版含答案）

正多边形和圆
一、单选题
1．圆内接正三角形的边长是，则该圆的半径长是（ ）
A． B． C． D．
2．以半径为4的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（ ）．
A． B． C． D．
3．如图，正六边形内接于圆，半径为4，则这个正六边形的边心距为（ ）
A．2 B． C． D．
4．如图，边长为4的正六边形ABCDEF的中心与坐标原点O重合，AF∥x轴，将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转n次，每次旋转60°，当n＝2020时，顶点A的坐标为（ ）
A．（﹣2，2） B．（﹣2，﹣2） C．（2，﹣2） D．（2，2）
5．如图所示，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠ADE的度数是（ ）
A．60° B．45° C．36° D．30°
6．等边三角形的外接圆面积是内切圆面积的（ ）
A．3倍 B．5倍 C．4倍 D．2倍
7．若⊙O的内接正n边形的边长与⊙O的半径相等，则（ ）
A．6 B． C． D．4
8．如图，正六边形ABCDEF内接于，已知的 半径为2，则圆心O到边AB的距离是（ ）
A．2 B．1 C． D．
9．如图，△ABC是圆O的内接正三角形，弦EF过BC的中点D，且EF∥AB，若AB＝4，则DE的长为（ ）
A．1 B．﹣1 C． D．2
10．如图，与正五边形的两边相切于两点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，点，，在上，若，，分别是内接正三角形．正方形，正边形的一边，则（ ）
A．9 B．10 C．12 D．15
12．如图，正五边形内接于，点P为（点P与点D，点E不重合），连接，DG⊥PC，垂足为G，则等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．把圆分成n（n≥3）等份，________所得的多边形是这个圆的内接正n边形．
14．正多边形和圆的关系非常密切，只要把一个圆分成相等的一些____，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的_______．
15．已知⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，P为⊙O上除C、D外任意一点，则∠CPD的度数为________．
16．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点P是的一点，则∠CPD的度数是___________．
17．如图，若五边形是的内接正五边形，则_________，__________，__________，__________．
三、解答题
18．如图，已知，点在圆上，请以为一顶点作圆内接正方形．（保留作图痕迹，不写作法）
19．如图，要拧开一个边长的六角形螺帽，扳手张开的开口b至少要多少？
20．如图，有一个亭子，它的地基是半径为的正六边形，求地基的周长和面积（结果保留小数点后一位）．
21．如图，正方形内接于，为上的一点，连接，．
（1）求的度数；
（2）当点为的中点时，是的内接正边形的一边，求的值．
参考答案
1．B
解：如图，是边长为12的的内接正三角形．
连，，过点O作于点C，
是正三角形，
∴∠ADB＝60°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝120°，
又∵＝，
∴∠OAC＝∠OBC＝30°，
∵，，
，，
∵∠OAC＝30°，，
∴设OA＝x，则，
在Rt，，
∴，
解得：（舍负），
∴的半径，
故选：B．
2．C
解：如图1，
∵ 为圆内接正三角形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
如图2，
∵四边形 是圆内接正方形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，解得： ，
如图3，
∵正六边形为圆内接正六边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 该三角形的三边长分别为 ，
∵ ，
∴该三角形是直角三角形，
∴该三角形的面积为
故选：C
3．B
解：连接，如图所示：
则，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴
∴，
故选：B．
4．B
解：连接OA，
∠AOH=30°，AH=2，
∴OH=，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴点A的坐标为（-2，2），点F的坐标为（2，2），点E的坐标为（4，0），点D的坐标为（2，-2），点C的坐标为（-2，-2），点B的坐标为（-4，0），
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转6次回到原位置，
2020÷6=336…4，
∴当n=2020时，顶点A与顶点C重合，
∴此时顶点A的坐标为（-2，-2），
故选：B．
5．C
解：略
6．C
解：设是等边三角形的内心，连接，，延长交于，
是等边三角形，
也是的外心，，，
，
等边的外接圆的面积是，
等边的内切圆的面积是，
等边的外接圆面积是内切圆面积的4倍，
故选：C．
7．C
解：∵⊙O的半径与这个正n边形的边长相等，
∴⊙O的两条半径与正n边形的一条边长构成等边三角形，
∵等边三角形的一个内角的度数是60°，
∴这个多边形的中心角＝60°，
∴＝60°，
∴n＝6，
∴，
故选：C．
8．C
解：过O作OH⊥AB于H，
在正六边形ABCDEF中，∠AOB= =60°，
∵OA=OB，
∴∠AOH=30°，AH=AB=1，
∴OH=AH=，
故选C．
9．B
解：如图，连接交于点,连接，，，
△ABC是圆O的内接正三角形，
,，
，
，
是BC的中点，
，
，
，
是BC的中点，AB＝4，
，
设，则（），
，
即，
解得，
，
，
，
在中
，
．
故选B．
10．A
解： ∵AE、CD切⊙O于点A、C，
∴∠OAE＝90°，∠OCD＝90°，
∴正五边形ABCDE的每个内角的度数为： ，
∴∠AOC＝540° 90° 90° 108° 108°＝144°，
故选：A．
11．C
解：分别连接OB、OA、OC，如图所示
∵是内接正三角形的一边
∴∠BOC=
同理，可得：∠AOB=90°
∴∠AOC=∠BOC ∠AOB=30°
∵是正边形的一边
∴
∴n=12
故选：C．
12．B
解：连接OC，OD．
在正五边形ABCDE中，∠COD==72°，
∴∠CPD=∠COD=36°，
∵DG⊥PC，
∴∠PGD=90°，
∴∠PDG=90°-36°=54°，
故选：B．
13．顺次连接各分点
解：略
14．弧 外接圆
解：略
15．30°或150°
解：连接OC、OD，如图，
∵⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，
∴∠COD=60°，
当P点在弧CAD上时，∠CPD=∠COD=30°，
当P点在弧CD上时，∠CPD=180°-30°=150°，
综上所述，∠CPD的度数为30°或150°．
故答案为：30°或150°．
16．36°
解：如图，连接OC，OD，
ABCDE是正五边形，
∠COD ＝ ，
∠CPD=∠COD= 36°，
故答案为： 36°．
17．
解：五边形是的内接正五边形，
，
又正五边形的内角和为，
，，
，
又，，
．
故答案为：；；；
18．见详解
解：如图，正方形ABCD为所作．
19．扳手张开的开口b至少要12mm．
解：如图所示，由题意得：六边形为正六边形，
六边形的六条边相等，每个内角为
过点A作AG⊥BF，垂足为点G，
因为∠BAF＝120°，
所以∠BAG＝60°，
所以∠ABG＝30°，
在Rt△ABG中，AB＝12mm，∠AGB＝90°，∠ABG＝30°，
所以AG＝AB＝×12＝6(mm)，
由勾股定理得BG＝＝＝6(mm)，
即b＝BF＝2BG＝2×6＝12 (mm).
答：扳手张开的开口b至少要12mm．
20．亭子地基的周长为24m，地基的面积为41.6m2．
解：如图，连接．因为六边形是正六边形，所以它的中心角∠BOC等于是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径．
因此，亭子地基的周长．
作，垂足为P．在中，∠POC=90°-60°=30°
∴，
利用勾股定理，可得边心距．
亭子地基的面积．
21．（1）45°；（2）8
解：（1）连接，，
∵正方形内接于，
∴．
∴；
（2）连接，，
∵正方形内接于，
∴．
∵点为的中点，
∴，
∴∠COP=∠BOP，
∵∠COP+∠BOP=∠COB=90°，
∴，
∴．