课程类型：新授课—衔接课 年级：四年级上册 学科：数学
课程主题 第2单元 第2课时：商不变规律
知识点1：商的不变规律
【新知精讲】
被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变,若有余数，则商不变，余数同时乘或除以一个相同的数。如：A÷B=10 那么 A÷(B÷2)=10×2 A÷(B×2)=10÷2
14÷3=4……2 (同时乘以10) 100÷30=3……10（同时除以10）
140÷30=4……20 10÷3=3……1
15÷4=3……3 (同时乘以3) 88÷24=3……16 (同时除以4)
45÷12=3……9 22÷6=3……4
问：乘或除以的这个数为什么不能是0？
答：乘0或除以0，都会出现除数是0，这样的算式没有意义。
【典型例题】
例1、（2021四上·海安期末）甲数÷乙数=4……6，如果把甲、乙两数都扩大10倍，那么商和余数各是多少 答案分别是（ ）。
A. 4，6 B. 4，60 C. 40，6
【答案】 B
例2、（2021四上·玄武期末）三道除法算式86÷3，860÷30，8600÷300，除得的结果是（ ）。
A. 商和余数都不同 B. 商和余数都相同 C. 商相同，余数不同
【答案】 C
例3、（2020四上·惠山期中）38÷5=7……3，如果把被除数和除数同时乘100，那么商是（ ）。
A. 700……3 B. 7……300 C. 700……300
【答案】 B
例4、（2021四上·亭湖期末）如果A÷369=12；那么（A×3）÷369=_____；A÷（369÷3）=______。
【答案】 36；36
例5、（2021四上·相城期末）在横线上填上“＞”、“＜”或“=”。
8008毫升_____ 8升 780÷（20×3）_____ 780÷20÷3
80÷5_____400÷25 （350-70÷2）÷7____350-70÷2÷7
【答案】 ＞；=；=；＜
例6、（2020四上·泗洪期中）已知45÷6=7……3，那么4500÷600=______...….____。
【答案】 7；300
例7、（2020四上·淮安期中）★÷25=9……▲，被除数最大是________，最小是________。
【答案】 249；226
【课堂演练】
1、（2021四上·玄武期末）两数相除，商是15，若被除数不变，除数乘3，那现在的商是（ ）。
A. 5 B. 30 C. 15
【答案】 A
2、（2020四上·赣榆期中）A÷B＝3……2中，如果把A、B两数都扩大到原来的10倍，那么结果为（ ）。
A. 3……2 B. 3……20 C. 30……20
【答案】 B
3、（2021四上·相城期末）如果A÷B=35，那么（A×9）÷（B×9）=______，A÷（B×5）=______。 如果A×B=350，那么A×（B÷7）=______。
【答案】 35；7；50
4、（2021四上·玄武期末）珍珍计算一道除法算式，在被除数和除数后面同时去掉1个“０”后，算得的商和余数都是9，这道除法算式的商是_____，余数是______。
【答案】 9；90
5、（2020四上·沭阳期中）已知45÷6=7………3，那么4500÷600的商是______，余数是_______。
【答案】 7；300
6、（2020四上·沭阳期中）在横线上填上“>”“<”或“=”。
324÷60______324÷20 800÷8______800÷4÷4
35×99+35_____35×100 （21×A）÷（3×A）___ 7（A≠0）
【答案】 ＜；＞；=；=
7、（2020四上·兴化月考）A，B是两个整数，根据A÷B=14……9，写出下列算式的结果。
（1）（A÷4）÷（B÷4）=________
（2）（A×10）÷（B×10）=________
【答案】 （1）14······2.25
（2）14······90
知识点2：连除的实际应用
【新知精讲】
例：阅览室有两个书架，每个书架有4层，一共放了224本书。平均每个书架每层放多少本书？
方法一：224÷2÷4 方法二：224÷（2×4）
这样的问题从条件想起比较容易找到先求什么，再求什么；可以根据数量关系列综合算式解答；可以用“把得数代入原题法”或“另解法”检验。
【典型例题】
例1、（2021四上·相城期末）与720÷（45×2）相等的算式是（ ）。
A. 720÷45×2 B. 720÷2÷45 C. 720÷2×45
【答案】 B
例2、（2020四上·虎丘期中）水果店运进6箱芒果，每箱15千克，一共用去540元，每千克芒果的进价是多少元？ 列算式是：______或________.
【答案】 540÷6÷15=6（元）；540÷（6×15）=6（元）
例3、（2020四上·虎丘期中）小云用80元钱买了2束玫瑰花，每束有5枝；小兰用84元买了3束百合花，每束有4技，哪种花便宜？
【答案】 解：80÷2÷5=8（元）
84÷3÷4=7（元）
8>7
答：百合花便宜。
例4、（2020四上·赣榆期中）一种感冒药，一瓶装药液120毫升，下面有每次用量提示。小军10岁了，他喝完一瓶药至少要几天？
【答案】 解：8×3=24（毫升）
120÷24=5（天）
答：他喝完一瓶药至少要5天。
例5、（2020四上·无锡期末）一幢教学楼共有4层，每层有6间教室，学校买了192盆绿植准备布置这些教室 。平均每间教室放多少盆绿植？
【答案】 192÷4÷6
=48÷6
=8（盆）
答：平均每间教室放8盆绿植。
例6、花生糖每千克16元，玉米糖每千克11元，高粱糖每千克15元，把这三种糖取同样的质量混合成什锦糖出售，带378元可以购买多少千克这样的什锦糖？
【答案】 解：16＋11＋15＝42（元）
42÷3＝14（元）
378÷14＝27（千克）
答：可以购买27千克这样的什锦糖。
【课堂演练】
1、（2020四上·泗洪期中）计算540÷36时，比较简便的方法是（ ）。
A. 540÷9÷4 B. 540÷4×9 C. 540÷9×4
【答案】 A
2、（2020四上·江宁期中）学校图书室有20个书橱，每个书橱4层，估计每层放50本书。
（1）如果放满书，圈书室的存书大约有多少本？
（2）图书室又买回1200本书，大约要添几个同样的书橱？
【答案】 （1）解：50×4×20
=200×20
=4000（本）
答：圈书室的存书大约有4000本。
（2）解：1200÷（50×4）
=1200÷200
=6（个）
答：大约要添6个同样的书橱。
3、（2020四上·泰兴期末）4组同学去植树，每组12人，一共植树144棵，平均每人植树多少棵？
【答案】 解：144÷4÷12
=36÷12
=3（棵）
答：平均每人植树3棵。
4、（2019四上·常州期中）4组同学去植树，每组12人，一共植树144棵。平均每人植树多少棵？
（1）下面________的想法正确。
王芳：根据“4组同学”和“每组12人”可以先算一共有多少人。
张凡：根据“一共植树144棵”和“每组12人”可以先算平均每组植树多少棵。
（2）除了上面正确的想法外，你还想到什么方法解决这个问题，请列综合算式解答。
【答案】 （1）王芳
（2）144÷4÷12
=36÷12
=3（棵）
答：平均每人植树3棵。
5、三年级288人去参观蝴蝶展览。
【答案】 解：288÷（6×4）
=288÷24
＝12（人）
答：每个小组有12人。
知识点3：简单周期问题
【新知精讲】
1、定义：同一事物依次重复出现叫作周期现象。
2、按周期排列的物体总是一组一组出现的，至少观察两组物体才能发现规律，找到一个周期
3、用排一排、画一画、圈一圈的方法能很快发现规律。
4、用除法（含有余数）解决周期现象中的问题比较方便。
【典型例题】
例1、（2019四上·鼓楼期中）给甲、乙、丙、丁四人按顺序发扑克牌，第17张在_______的手中，这副扑克牌的最后一张在______的手中.（一副扑克牌有54张）
【答案】 甲；乙
例2、（2020四上·苏州期末）向阳小学一年级有5个班，学校将一年级新生编号后，按照上表的顺序进行分班。王辉是126号，他将分在______班；前126号的同学，有______人分在二班。
【答案】 五；25
【课堂演练】
1、（2019四上·鼓楼期中）一串彩灯按照红、黄、蓝、红、黄、蓝、…的顺序排列，第23盏灯是______色的.
【答案】 黄
2、乐乐早上7时起床后，看到天是亮的，请问再过378时后是几时？此时乐乐看到的是白天，还是晚上？
【答案】 解：378+7=385（时）
385÷24=16（天）……1（时）
答：再过378时后是1时，此时乐乐看到的是晚上。
1、（2020四上·淮安期中）根据50×12＝600，610÷50的正确计算结果是（ ）
A. 12……1 B. 12……10 C. 9……10
【答案】 B
2、（2020四上·淮安期中）与560÷8÷2得数相等的算式是（ ）
A. 560÷（8÷2） B. 560÷8×2 C. 580÷（8×2）
【答案】 C
3、（2020四上·苏州期末）①把600本图书，②平均分给6个年级，③每个年级有5个班，根据②③两个条件可求出（ ）。
A. 每个年级分到多少本
B. 平均每个班分到多少本
C. 六个年级一共有多少个班
【答案】 C
4、（2020四上·南京期末）710÷20在计算时，可以看作71÷2，余数是1。（ ）
【答案】 错误
5、（2020四上·南通期末）被除数和除数同时乘一个相同的数，商不变。（ ）
【答案】 错误
6、（2020四上·虎丘期中）如果A÷B=12.…2，那么（A×4）÷（B×4）=________。
【答案】 12……8
7、（2020四上·虎丘期中）甲数÷乙数=12.……9，乙数最小是________，那此时的甲数是________.
【答案】 10；129
8、（2020四上·惠山期中）在横线上填“＞”“＜”或“＝”。
720÷30________720÷3 240÷60 ________240÷20÷3
560÷40________5600÷40 350÷50+20________350÷（50+20）
【答案】 ＜；＝；＜；＞
9、花店有615枝花，如果每次用28枝花制作花篮，能做_____个花篮，还余______枝花。
【答案】 21；27
10、（2020四上·南通期末）学校买来600本书，准备平均分给38个班级，至少还要添上______本，才能正好分完，每班分得_____本。
【答案】 8；16
11、（2019四上·宿迁期中）有249朵花，按照5朵红花、9朵黄花、13朵绿花的顺序排列，最后一朵花是________花，这249朵花中，绿花有________朵。
【答案】 黄；117
12、
【答案】 解：350÷65＝5（组）……25（元）
5×2＝10（套）
答：最多可以买10套。
13、（2020四上·苏州期末）庆庆和3个好朋友一起制作了3盒饼干，每盒12块，一共花去288元。平均每块巧克力多少元？
【答案】 解：288÷3÷12=8（元）
答：平均每块巧克力8元。
14、（2019四上·常州期中）下面方框中的递等式是淘气利用“商不变的规律”计算“150÷25”的过程，仔细观察计算的每一步，你受到什么启发？你能用这个方法计算右边的题目吗？
【答案】 400÷25
=（400×4）÷（25×4）
=1600÷100
=16
2000÷125
=（2000×8）÷（125×8）
=16000÷1000
=16（过程不唯一）
15、（2021四上·海安期末）育才小学220名少先队员在“爱心日”帮助养老院的老人做事情，这些少先队平均分成11队，每队分成4组。平均每组有多少名少先队员？
【答案】 解： 220÷11÷4
=20÷4
=5 （名）
答：平均每组有5名少先队员。
16、（2019四上·镇江期中）4只青蛙5天吃害虫840只，平均每只青蛙每天吃害虫多少只？
【答案】 解：840÷4÷5
=210÷5
=42（只）
答： 平均每只青蛙每天吃害虫42只。
【课后巩固】
】
PAGE课程类型：新授课—衔接课 年级：四年级上册 学科：数学
课程主题 第2单元 第2课时：商不变规律
知识点1：商的不变规律
【新知精讲】
被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变,若有余数，则商不变，余数同时乘或除以一个相同的数。如：A÷B=10 那么 A÷(B÷2)=10×2 A÷(B×2)=10÷2
14÷3=4……2 (同时乘以10) 100÷30=3……10（同时除以10）
140÷30=4……20 10÷3=3……1
15÷4=3……3 (同时乘以3) 88÷24=3……16 (同时除以4)
45÷12=3……9 22÷6=3……4
问：乘或除以的这个数为什么不能是0？
答：乘0或除以0，都会出现除数是0，这样的算式没有意义。
【典型例题】
例1、（2021四上·海安期末）甲数÷乙数=4……6，如果把甲、乙两数都扩大10倍，那么商和余数各是多少 答案分别是（ ）。
A. 4，6 B. 4，60 C. 40，6
例2、（2021四上·玄武期末）三道除法算式86÷3，860÷30，8600÷300，除得的结果是（ ）。
A. 商和余数都不同 B. 商和余数都相同 C. 商相同，余数不同
例3、（2020四上·惠山期中）38÷5=7……3，如果把被除数和除数同时乘100，那么商是（ ）。
A. 700……3 B. 7……300 C. 700……300
例4、（2021四上·亭湖期末）如果A÷369=12；那么（A×3）÷369=_____；A÷（369÷3）=______。
例5、（2021四上·相城期末）在横线上填上“＞”、“＜”或“=”。
8008毫升_____ 8升 780÷（20×3）_____ 780÷20÷3
80÷5_____400÷25 （350-70÷2）÷7____350-70÷2÷7
例6、（2020四上·泗洪期中）已知45÷6=7……3，那么4500÷600=______...….____。
例7、（2020四上·淮安期中）★÷25=9……▲，被除数最大是________，最小是________。
【课堂演练】
1、（2021四上·玄武期末）两数相除，商是15，若被除数不变，除数乘3，那现在的商是（ ）。
A. 5 B. 30 C. 15
2、（2020四上·赣榆期中）A÷B＝3……2中，如果把A、B两数都扩大到原来的10倍，那么结果为（ ）。
A. 3……2 B. 3……20 C. 30……20
3、（2021四上·相城期末）如果A÷B=35，那么（A×9）÷（B×9）=______，A÷（B×5）=______。 如果A×B=350，那么A×（B÷7）=______。
4、（2021四上·玄武期末）珍珍计算一道除法算式，在被除数和除数后面同时去掉1个“０”后，算得的商和余数都是9，这道除法算式的商是_____，余数是______。
5、（2020四上·沭阳期中）已知45÷6=7………3，那么4500÷600的商是______，余数是_______。
6、（2020四上·沭阳期中）在横线上填上“>”“<”或“=”。
324÷60______324÷20 800÷8______800÷4÷4
35×99+35_____35×100 （21×A）÷（3×A）___ 7（A≠0）
7、（2020四上·兴化月考）A，B是两个整数，根据A÷B=14……9，写出下列算式的结果。
（1）（A÷4）÷（B÷4）=________
（2）（A×10）÷（B×10）=________
知识点2：连除的实际应用
【新知精讲】
例：阅览室有两个书架，每个书架有4层，一共放了224本书。平均每个书架每层放多少本书？
方法一：224÷2÷4 方法二：224÷（2×4）
这样的问题从条件想起比较容易找到先求什么，再求什么；可以根据数量关系列综合算式解答；可以用“把得数代入原题法”或“另解法”检验。
【典型例题】
例1、（2021四上·相城期末）与720÷（45×2）相等的算式是（ ）。
A. 720÷45×2 B. 720÷2÷45 C. 720÷2×45
例2、（2020四上·虎丘期中）水果店运进6箱芒果，每箱15千克，一共用去540元，每千克芒果的进价是多少元？ 列算式是：______或________.
例3、（2020四上·虎丘期中）小云用80元钱买了2束玫瑰花，每束有5枝；小兰用84元买了3束百合花，每束有4技，哪种花便宜？
例4、（2020四上·赣榆期中）一种感冒药，一瓶装药液120毫升，下面有每次用量提示。小军10岁了，他喝完一瓶药至少要几天？
例5、（2020四上·无锡期末）一幢教学楼共有4层，每层有6间教室，学校买了192盆绿植准备布置这些教室 。平均每间教室放多少盆绿植？
例6、花生糖每千克16元，玉米糖每千克11元，高粱糖每千克15元，把这三种糖取同样的质量混合成什锦糖出售，带378元可以购买多少千克这样的什锦糖？
【课堂演练】
1、（2020四上·泗洪期中）计算540÷36时，比较简便的方法是（ ）。
A. 540÷9÷4 B. 540÷4×9 C. 540÷9×4
2、（2020四上·江宁期中）学校图书室有20个书橱，每个书橱4层，估计每层放50本书。
（1）如果放满书，圈书室的存书大约有多少本？
（2）图书室又买回1200本书，大约要添几个同样的书橱？
3、（2020四上·泰兴期末）4组同学去植树，每组12人，一共植树144棵，平均每人植树多少棵？
4、（2019四上·常州期中）4组同学去植树，每组12人，一共植树144棵。平均每人植树多少棵？
（1）下面________的想法正确。
王芳：根据“4组同学”和“每组12人”可以先算一共有多少人。
张凡：根据“一共植树144棵”和“每组12人”可以先算平均每组植树多少棵。
（2）除了上面正确的想法外，你还想到什么方法解决这个问题，请列综合算式解答。
5、三年级288人去参观蝴蝶展览。
知识点3：简单周期问题
【新知精讲】
1、定义：同一事物依次重复出现叫作周期现象。
2、按周期排列的物体总是一组一组出现的，至少观察两组物体才能发现规律，找到一个周期
3、用排一排、画一画、圈一圈的方法能很快发现规律。
4、用除法（含有余数）解决周期现象中的问题比较方便。
【典型例题】
例1、（2019四上·鼓楼期中）给甲、乙、丙、丁四人按顺序发扑克牌，第17张在_______的手中，这副扑克牌的最后一张在______的手中.（一副扑克牌有54张）
例2、（2020四上·苏州期末）向阳小学一年级有5个班，学校将一年级新生编号后，按照上表的顺序进行分班。王辉是126号，他将分在______班；前126号的同学，有______人分在二班。
【课堂演练】
1、（2019四上·鼓楼期中）一串彩灯按照红、黄、蓝、红、黄、蓝、…的顺序排列，第23盏灯是______色的.
2、乐乐早上7时起床后，看到天是亮的，请问再过378时后是几时？此时乐乐看到的是白天，还是晚上？
1、（2020四上·淮安期中）根据50×12＝600，610÷50的正确计算结果是（ ）
A. 12……1 B. 12……10 C. 9……10
2、（2020四上·淮安期中）与560÷8÷2得数相等的算式是（ ）
A. 560÷（8÷2） B. 560÷8×2 C. 580÷（8×2）
3、（2020四上·苏州期末）①把600本图书，②平均分给6个年级，③每个年级有5个班，根据②③两个条件可求出（ ）。
A. 每个年级分到多少本
B. 平均每个班分到多少本
C. 六个年级一共有多少个班
4、（2020四上·南京期末）710÷20在计算时，可以看作71÷2，余数是1。（ ）
5、（2020四上·南通期末）被除数和除数同时乘一个相同的数，商不变。（ ）
6、（2020四上·虎丘期中）如果A÷B=12.…2，那么（A×4）÷（B×4）=________。
7、（2020四上·虎丘期中）甲数÷乙数=12.……9，乙数最小是________，那此时的甲数是________.
8、（2020四上·惠山期中）在横线上填“＞”“＜”或“＝”。
720÷30________720÷3 240÷60 ________240÷20÷3
560÷40________5600÷40 350÷50+20________350÷（50+20）
9、花店有615枝花，如果每次用28枝花制作花篮，能做_____个花篮，还余______枝花。
10、（2020四上·南通期末）学校买来600本书，准备平均分给38个班级，至少还要添上______本，才能正好分完，每班分得_____本。
11、（2019四上·宿迁期中）有249朵花，按照5朵红花、9朵黄花、13朵绿花的顺序排列，最后一朵花是________花，这249朵花中，绿花有________朵。
12、
13、（2020四上·苏州期末）庆庆和3个好朋友一起制作了3盒饼干，每盒12块，一共花去288元。平均每块巧克力多少元？
14、（2019四上·常州期中）下面方框中的递等式是淘气利用“商不变的规律”计算“150÷25”的过程，仔细观察计算的每一步，你受到什么启发？你能用这个方法计算右边的题目吗？
15、（2021四上·海安期末）育才小学220名少先队员在“爱心日”帮助养老院的老人做事情，这些少先队平均分成11队，每队分成4组。平均每组有多少名少先队员？
16、（2019四上·镇江期中）4只青蛙5天吃害虫840只，平均每只青蛙每天吃害虫多少只？
【课后巩固】
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