江苏省常熟市梅李中学物理必修一《2.2力的合成与分解》教案

【知识要点】
（一）力的合成与分解?
1．合力 作用的效果与几个 共同作用的效果相同（即所谓“等效”）。从作用效果上看，合力与分力可以相互替换。这里的等效实际上是力在改变物体运动状态这一作用效果的等效。
2．力的合成与分解都遵循 定则。计算时首先要根据题目要求按照力的平行四边形定则作出力的合成或分解的图示，再根据数学知识解三角形求解合力与分力。主要为求解直角三角形问题，对于较简单的斜三角形问题，也可利用正弦定理、余弦定理或相似三角形的知识求解，但不作为重点。
3．二力（F1、F2)合成的合力(F)的取值范围为： ?
在两个分力大小一定的情况下，随着两分力夹角的增大，合力逐渐减小。当两分力夹角为零时，合力 ： ；当两分力夹角为180°，合力 ：
4．把一个已知力分解为两个互成角度的分力，如果没有条件限制，可以分解为 对分力。要得到确定的答案，必须给出一些附加条件，如①已知两个分力的方向②已知一个分力的大小及方向等。
如何把一个力进行正确的分解？把一个力进行任意分解是毫无意义的，在实际分解中一般要根据力的实际作用效果进行分解，同一个力在不同的条件下产生的效果不同。把一个力根据其效果分解的基本方法是：①先根据力的实际作用效果确定 ；②再根据 作出力的平行四边形；③解三角形，计算出分力的大小和方向。三角形的边长代表力的大小，夹角表示方向。
另外一种常用的力的分解方法叫正交分解法，就是把物体受到的各个力都分解
到 的两个方向上去，然后分别求每个方向上的力的代数和。求出了两个正交的方向上的合力后，就可以根据平衡条件或牛顿定律进行列式计算。正交分解法是一种特殊的处理问题的方法，它的本质还是 。这种方法的突出优点是把复杂的力的矢量运算转化为互相垂直方向上的简单的代数运算。特别适用于多力（三个或三个以上的共点力）作用下的物体的平衡或加速问题。因此，对此方法应注意重点掌握。
（二）几点说明
1．将一个力分解为两个分力，由力的矢量三角形法则可知，有惟一解的有以下三种：
①两个分力方向已知；
②一个分力的大小和方向均已知；
③一个分力F1的大小已知,另一个分力F2的方向已知（F1、F2的夹角为θ），且满足F1＝F2sinθ。
应注意，与三条边决定一个三角形的情况不同，若二个分力F1 、F2的大小已知，且满足F1+F2＞F时，并不能惟一地确定力矢量三角形（从空间的角度讲，可能有无数个力矢量三角形）即没有惟一解，另外，在一个分力F1的大小已知，另一个分力F2的方向已知的情况下，若F1＞F2sinθ，力矢量三角形可能有两个，也可能只有一个，因此也没有惟一解
2．求合力或分力的主要方法有以下几种：
⑴平行四边形定则，合力F=；
⑵三角形定则，即不共线的两个共点力与它们的合力构成力三角形 。利用解直角三角形的方法或正弦、余弦定理、相似三角形的相似比相等等几何知识来分析求解相关问题，直观、简捷；
⑶正交分解法。这是一种万能之法，尤其适用于求多个力的合成情况。选取力分解方向的原则是：尽量减少需分解力的个数。
3．由力的作用效果对力进行分解是本讲的一个重点和难点。应注意通过实际例子（如马拉犁问题、三角支架问题、两股绳子悬挂重物问题等）结合自己的想象来提炼总结。正交分解法的灵活运用是本讲的又一个重点和难点。由于这是分析求解矢量问题的万能之法，因此，应在求解静平衡力问题及动力学问题过程中细加总结。
4．平行四边形定则虽然首先通过对力的等效转换研究，由实验确定，但它却是整个中学物理矢量运算的基本定则，物理学中的其他矢量如位移、速度、加速度、动量、冲量、电场强度、磁感强度等矢量合成与分解亦遵从平行四边形定则。
5．一条直线上的矢量加减是在矢量平行四边形关系中当两分矢量夹角为0°、 180°两种情况下的特例。在实际中很常见，因此应熟练掌握其运算方法：先规定正方向，将和正方向一致的矢量记作正，相反的矢量记作负，再直接加减。对未知矢量，可先假设其方向沿规定的正方向，若求解结果为正，表示其方向与规定的正方向一致，求解结果为负，则表示其方向与规定的正方向相反。
【典例精析】
例1.在已知的一个力的分解中，下列情况具有惟一解的是( )
A．已知两个分力的方向，并且不在同一直线上
B．已知一个分力的大小和方向
C．已知一个分力的大小和另一个分力的方向
D．已知两个分力的大小
例2.如图所示，把球夹在竖直墙AC和木板BC之间，不计摩擦，球对墙的压力为FN1，球对板的压力为FN2。在将板BC逐渐放至水平的过程中，下列说法中，正确的是（ ）
A．FN1和FN2都增大?
B．FN1和FN2都减小
C．FN1增大，FN2减小?
D．FN1减小，FN2增大
例3.水平横梁的一端A插在墙壁内，另一端装有一小滑轮B，一轻绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过光滑滑轮后悬挂一质量为m=10kg的物体，如图所示。∠ABC=30°,则滑轮受到绳子的作用力大小为 。(g取10m/s2)
例4.如图所示，楔形物倾角为θ=30°，放在水平地面上，轻质硬杆下端带有滑轮，上端顶有1000N的物体，则当作用于楔形物上的水平推力多大时，才能将重物顶起？并讨论此装置能省力的条件。（不计竖直槽与硬杆之间的摩擦及滑轮与楔形物间的摩擦）
例5.如图所示，一直角斜槽（两槽面间夹角为90°)对水平面的倾角为θ，一个横截面为正方形的物块恰能沿此斜槽匀速下滑，假定两槽面的材料和槽面的情况相同，求物块和槽面之间的滑动摩擦系数μ。?
例6. 在光滑的斜面上有一个重力为G的物体，当沿斜面向上和沿水平方向向右各加一个大小都等于F = 的力作用于这个物体时，物体正好处于静止状态，如图2-6-3所示．求斜面的倾角及斜面所受的压力．
【随堂训练】
1．物体受共点力F1、F2、F3作用而做匀速直线运动，则这三个力可能选取的数值为( )
A．15 N、5 N、6 N B．3 N、6 N、4 N
C．1 N、2 N、10 N D．1 N、6 N、 8N?
2．如图所示，物体静止于光滑水平面M上，力F作用于物体O 点，现要使物体沿着OO′方向做加速运动（F和OO′都在M水平面内）.那么，必须同时再加一个力F′，这个力的最小值是（ ）
A．Fcosθ B．Fsinθ? C．Ftanθ D．Fcotθ
3．压榨机如图所示，B为固定铰链，A为活动铰链。在A处作用一水平力F，C块就以比F大得多的力压D。已知L=0.5 m，h=0.1 m， F=200 N，C与左壁接触面光滑，求D受到的压力。
?
4．重G的光滑小球静止在固定斜面和竖直挡板之间。若挡板逆时针缓慢转到水平位置，在该过程中，斜面和挡板对小球的弹力的大小F1、F2各如何变化？
【巩固提高】
1.如图所示为两个大小不变、夹角θ变化的力的合力的大小F与θ角之间的关系图象，下列说法中正确的是（ ）
A.合力大小的变化范围是2N≤F≤14N
B.合力大小的变化范围是2N≤F≤10N
C.两个分力的大小分别为6N和8N
D.两个分力的大小分别为2N和8N
2.在如图所示装置中，两物体质量分别为m1、m2，悬点a、b间的距离远大于滑轮的直径，不计一切摩擦，整个装置处于静止状态．由图可知 （ ）
A．α一定等于β B．m1一定大于m2
C．m1一定小于2m2 D．m1可能大于2m2
3.如图所示，A、B为竖直墙面上等高的两点，AO、BO为长度相等的两根轻绳，CO为一根轻杆．转轴C在AB中点D的正下方，AOB在同一水平面内．∠AOB=120°，∠COD=60°．若在O点处悬挂一个质量为m的物体，则平衡后绳AO所受的拉力和杆OC所受的压力分别为（ ）
A. B. 　
C. 　 　D.
4．如图所示的装置，用两根细绳拉住一个小球，两细绳间的夹角为θ，细绳AC呈水平状态．现将整个装置在纸面内顺时针缓慢转动，共转过90°．在转动的过程中，CA绳中的拉力F1和CB绳中的拉力F2的大小发生变化，则（ ）
Ａ．F1先变小后变大 Ｂ．F1先变大后变小
Ｃ．F2逐渐减小 Ｄ．F2最后减小到零
5.杂技表演的安全网如图甲所示，网绳的结构为正方形格子，O、a、b、c、d……等为网绳的结点，安全网水平张紧后，若质量为m的运动员从高处落下，并恰好落在O点上，该处下凹至最低点时，网绳dOe，bOg均为120° 张角，如图乙所示，此时O点受到向下的冲击力大小为2F，则这时O点周围每根网绳承受的张力大小为（ ）
A．F B．
C． D．
6.如图所示，轻杆BC的C点用光滑铰链与墙壁固定，杆的B点通过水平细绳AB使杆与竖直墙壁保持30°的夹角．若在B点悬挂一个定滑轮（不计重力），某人用它匀速地提起重物．已知重物的质量m=30kg，人的质量M=50kg，g取10 m/s2．试求：
（1）此时地面对人的支持力；
（2）轻杆BC和绳AB所受的力．
2.2参考答案
【知识要点】
一、力的合成与分解?
1．合力单独作用的效果与几个分力共同作用的效果相同（即所谓“等效”）。从作用效果上看，合力与分力可以相互替换。这里的等效实际上是力在改变物体运动状态这一作用效果的等效。
2．力的合成与分解都遵循平行四边形定则。计算时首先要根据题目要求按照力的平行四边形定则作出力的合成或分解的图示，再根据数学知识解三角形求解合力与分力。主要为求解直角三角形问题，对于较简单的斜三角形问题，也可利用正弦定理、余弦定理或相似三角形的知识求解，但不作为重点。
3．二力（F1、F2)合成的合力(F)的取值范围为：｜F1－F2｜≤F≤（F1＋F2）.?
在两个分力大小一定的情况下，随着两分力夹角的增大，合力逐渐减小。当两分力夹角为零时，合力最大：Fmax=F1+F2；当两分力夹角为180°，合力最小：Fmin=｜F1-F2｜。
4．把一个已知力分解为两个互成角度的分力，如果没有条件限制，可以分解为无数对分力。要得到确定的答案，必须给出一些附加条件，如已知两个分力的方向、已知一个分力的大小及方向等。
如何把一个力进行正确的分解？把一个力进行任意分解是毫无意义的，在实际分解中一般要根据力的实际作用效果进行分解，同一个力在不同的条件下产生的效果不同。把一个力根据其效果分解的基本方法是：①先根据力的实际作用效果确定两个分力的方向；②再根据两个分力的方向作出力的平行四边形；③解三角形，计算出分力的大小和方向。三角形的边长代表力的大小，夹角表示方向。
另外一种常用的力的分解方法叫正交分解法，就是把物体受到的各个力都分解到互相垂直的两个方向上去，然后分别求每个方向上的力的代数和。求出了两个正交的方向上的合力后，就可以根据平衡条件或牛顿定律进行列式计算。正交分解法是一种特殊的处理问题的方法，它的本质还是等效替代。这种方法的突出优点是把复杂的力的矢量运算转化为互相垂直方向上的简单的代数运算。特别适用于多力（三个或三个以上的共点力）作用下的物体的平衡或加速问题。因此，对此方法应注意重点掌握。
二、几点说明
1．将一个力分解为两个分力，由力的矢量三角形法则可知，有惟一解的有以下三种：
①两个分力方向已知；
②一个分力的大小和方向均已知；
③一个分力F1的大小已知,另一个分力F2的方向已知（F1、F2的夹角为θ），且满足F1＝F2sinθ。
应注意，与三条边决定一个三角形的情况不同，若二个分力F1 、F2的大小已知，且满足F1+F2＞F时，并不能惟一地确定力矢量三角形（从空间的角度讲，可能有无数个力矢量三角形）即没有惟一解，另外，在一个分力F1的大小已知，另一个分力F2的方向已知的情况下，若F1＞F2sinθ，力矢量三角形可能有两个，也可能只有一个，因此也没有惟一解（想一想，为什么？）。
2．求合力或分力的主要方法有以下几种：
⑴平行四边形定则，合力F=；
⑵三角形定则，即不共线的两个共点力与它们的合力构成力三角形 。利用解直角三角形的方法或正弦、余弦定理、相似三角形的相似比相等等几何知识来分析求解相关问题，直观、简捷；
⑶正交分解法。这是一种万能之法，尤其适用于求多个力的合成情况。选取力分解方向的原则是：尽量减少需分解力的个数。
3．由力的作用效果对力进行分解是本讲的一个重点和难点。应注意通过实际例子（如马拉犁问题、三角支架问题、两股绳子悬挂重物问题等）结合自己的想象来提炼总结。正交分解法的灵活运用是本讲的又一个重点和难点。由于这是分析求解矢量问题的万能之法，因此，应在求解静平衡力问题及动力学问题过程中细加总结。
4．平行四边形定则虽然首先通过对力的等效转换研究，由实验确定，但它却是整个中学物理矢量运算的基本定则，物理学中的其他矢量如位移、速度、加速度、动量、冲量、电场强度、磁感强度等矢量合成与分解亦遵从平行四边形定则。
5．一条直线上的矢量加减是在矢量平行四边形关系中当两分矢量夹角为0°、 180°两种情况下的特例。在实际中很常见，因此应熟练掌握其运算方法：先规定正方向，将和正方向一致的矢量记作正，相反的矢量记作负，再直接加减。对未知矢量，可先假设其方向沿规定的正方向，若求解结果为正，表示其方向与规定的正方向一致，求解结果为负，则表示其方向与规定的正方向相反。
【典例精析】
AB
B 解析：虽然题目中的FN１和FN2涉及的是墙和木板的受力情况，但研究对象还只能取球。由于球处于一个动态平衡过程，FN１和FN2都是变力，画受力图可以先画开始时刻的，然后再根据各力的关系定性或定量地讨论某力的变化规律。
球所受的重力G产生的效果有两个：对墙的压力FN１和对板的压力FN2。根据G产生的效果将其分解.如图所示，则F1＝FN１，F2＝FN2。从图中不难看出，当板BC逐渐被放平的过程中，FN1的方向保持不变而大小逐渐减小，FN2与G的夹角逐渐变小，其大小也逐渐减小。因此本题的正确答案为B。
100N
解析：对滑轮处进行受力分析，滑轮受到竖直向下的拉力，大小等于mg；受到倾斜绳的拉力，大小也为mg，故滑轮对绳子的作用力必沿两绳所张角的角平分线斜向右上方。从三角关系易知，三力互成120°，故滑轮对绳子的作用力大小也为mg，再根据牛顿第三定律可知，滑轮对绳子的作用力也为mg，即100N。
（说明：本题中是一根轻绳绕过定滑轮，由于滑轮的存在使同一根绳子由竖直变为倾斜方向，故绳中拉力的大小是相等的。同时使得这里的杆子产生的不是拉伸形变，而是弯曲形变，因而产生一种往斜向上挑的力，这一点很多同学易产生误解。同时，本题中涉及到互成120°的三个力合力为零的特殊平衡情形，希望同学们能记住：互成120°的三个大小相等的力的合力为零这一结论。）
Gtanθ；θ<45°（先对硬质杆及下面滑轮进行受力分析，受上端物体的压力，大小等于物体的重力G，斜面的支持力N=G/cosθ，及槽水平向右的作用力F=Gtanθ。再对楔形物进行受力分析，易知所求推力的大小和竖直槽水平向右的作用力F相等。）
tanθ
解析： 设左右槽面作用于物块的支持力分别为FN1、FN2，由于对称性，FN1=FN2它们的合力FN垂直于槽底线，且?
FN= ①?
相应的左、右二槽面作用于物块的滑动摩擦力Ff1和Ff2相等，它们的合力Ff平行于槽底线，且Ff=2Ff1=2μFN1 ②?
根据平衡条件：?Ff=mgsinθ? FN=mgcosθ?
从上面两个方程得?＝tanθ ③?
①、②代入③可得：μ=tanθ?
例6. 〖解析〗以物体为研究对象，进行受力分析，重力G，竖直向下；弹力FN，垂直于斜面向上，及以推力F，以平行斜面方向和垂直于斜面方面建立直角坐标系，可建立平衡方程：F + Fcosθ = Gsinθ；FN = Fsinθ + Gcosθ其中F = 0.5G，代入方程整理得：2sinθ = cosθ + 1，解这个关于θ的方程得到θ = arctang4/3．则FN = G．
〖点评〗本题采用正交分解，并借助等量代换解题，此外，对解三角方程的数学要求较一些．
【随堂训练】
1．B （物体在F1、F2、F3作用下而做匀速直线运动，则三个力的合力必定为零，只有B选项中的三个力的合力可能为零，故选B。）
2．B （为使物体在水平面内沿着OO′做加速运动，则F与F′的合力方向应沿着OO′，为使F′最小，F′应与OO′垂直，如图所示，故F′的最小值为F′=Fsinθ，B选项正确。）
3．500 N?
解析：根据水平力产生的效果，它可分解为沿杆的两个分力F1、F2，如图a所示。
而沿AC杆的分力F1又产生了两个效果：对墙壁的水平推力F3和对D的压力F4，如图b所示，则可求得F4=500 N?
4．F1逐渐变小，F2先变小后变大
解：由于挡板是缓慢转动的，可以认为每个时刻小球都处于静止状态，因此所受合力为零。应用三角形定则，G、F1、F2三个矢量应组成封闭三角形，其中G的大小、方向始终保持不变；F1的方向不变；F2的起点在G的终点处，而终点必须在F1所在的直线上，由作图可知，挡板逆时针转动
90°过程，F2矢量也逆时针转动90°，因此F1逐渐变小，F2先变小后变大.（当F2⊥F1，即挡板与斜面垂直时，F2最小）
【巩固提高】
1.AC 2.AC 3.A 4.BCD 5.A
6.（1）FN=200N
（2）FAB=200N；FBC=400N；
F/N
0.5 1.0 1.5
θ/π
10
8
6
4
2
O
A
C
B
A
B
C
O
m
M
30°
G
F2
F1