第一章勾股定理 复习测试 2021-2022学年北师大版八年级数学上册 (Word版含答案)

北师大版八年级数学上册第一章勾股定理 复习测试
一．选择题
1．下列各组线段不能构成直角三角形的是（　　）．
A．2，3，4 B．3，4，5 C．1，1， D．6，8，10
2．一个直角三角形两条直角边的长分别为6，8，则其斜边上的高为（ 　）．
A． B．13 C． D．25
3．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D，E是网格线交点，则∠BAC﹣∠DAE的度数为（　　）．
A．45° B．40° C．30° D．25°
4．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　　）．
A． ∠A+∠B=∠C B． ∠A：∠B：∠C=1：2：3
C． a2=c2﹣b2 D． a：b：c=3：4：6
5．如图，一棵大树在离地面3m，5m两处折成三段，中间一段AB恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部6m处，则大树折断前的高度是（　　）．
A．9m B．14m C．11m D．10m
6．如图，一块三角形木板，测得AB＝13，BC＝5，AC＝12，则三角形木板ABC的面积为（　　）．
A．60 B．30 C．65 D．不能确定
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在边BC上，AD＝BD，DE平分∠ADB交AB于点E．若AC＝12，BC＝16，则AE的长为（　　）．
A．6 B．8 C．10 D．12
8．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，这是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（　　）．
A． B． C． D．
9．国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口A处出发先往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再向北走到6km处往东拐，仅走了1km，就找到了宝藏，则门口A到藏宝点B的直线距离是（　　）．
A．20km B．14km C．11km D．10km
10．如图，桌面上的长方体长为8，宽为6，高为4，B为CD的中点．一只蚂蚁从A点出发沿长方体的表面到达B点，则它运动的最短路程为（　　）．
A． B． C．10 D．
二．填空题
11．若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积
为　 　cm2．
12．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝1m，将它往前推6m至C处时，水平距离CD＝6m，踏板离地的垂直高度CF＝4m，它的绳索始终拉直，则AC的长是　 　m．
在直角三角形ABC中，斜边AB=2，则AB2+AC2+BC2=______．
14．在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面　 　尺．
15．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时16nmile的速度沿北偏东30°方向航行，“海天”号以每小时12nmile的速度沿北偏西60°方向航行．一小时后，“远航”号、“海天”号分别位于Q，R处，则此时“远航”号与“海天”号的距离为 　 　nmile．
16．已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为 ．
17．如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为　 　dm．
18．如图，点D为△ABC的边AB上一点，且AD＝AC，∠B＝45°，过D作DE⊥AC于E，若AE＝3，四边形BDEC的面积为8，则BD的长度为　 　．
三．解答题
19．如图，某学校在美丽化校园施工过程中留下了一块空地，欲在空地上铺草坪，已知AD＝4米，CD＝3米，∠ADC＝90°，AB＝13米，BC＝12米，已知草坪每平方米100元，试问用该草坪铺满这块空地共需花费多少元？
20．如图，∠AOB=90°，OA=90cm，OB=30cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少
21．某小区将对广场一块三角形空地进行绿化，如图，等腰三角形ABC的底边BC长为10，点D是AC上的一点，BD＝8，CD＝6．
（1）求证：BD⊥AC；
（2）求线段AB的长．
22．一个25米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时的AO距离为24米，如果梯子的顶端A沿墙下滑4米，那么梯子底端B也外移4米，对吗？为什么？
23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝20cm，AC＝16cm，点P从点A出发，以每秒1cm的速度向点C运动，连接PB，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）BC＝　 　cm．
（2）当PA＝PB时，求t的值．
24．铁路上A，B两站（视为直线上的两点）相距50km，C，D为两村庄（视为两个点），DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B（如图）．已知DA=20km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产收购站E，使得C，D两村庄到收购站E的直线距离相等，请你设计出收购站的位置，并计算出收购站E到A站的距离．
25．拖拉机行驶过程中会对周围产生较大的噪声影响．如图，有一台拖拉机沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150m和200m，又AB＝250m，拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域．
（1）学校C会受噪声影响吗？为什么？
（2）若拖拉机的行驶速度为每分钟50米，拖拉机噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？
北师大版八年级数学上册第一章勾股定理 复习测试答案提示
一．选择题
1．下列各组线段不能构成直角三角形的是（　　）选A．
A．2，3，4 B．3，4，5 C．1，1， D．6，8，10
2．一个直角三角形两条直角边的长分别为6，8，则其斜边上的高为（　）选C．
A． B．13 C． D．25
3．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D，E是网格线交点，则∠BAC﹣∠DAE的度数为（　　）选A．
A．45° B．40° C．30° D．25°
解：如图，连接CG、AG，
由勾股定理得：AC2＝AG2＝12+22＝5，CG2＝12+32＝10，
∴AC2+AG2＝CG2，
∴∠CAG＝90°，
∴△CAG是等腰直角三角形，
∴∠ACG＝45°，
∵CF∥AB，
∴∠ACF＝∠BAC，
在△CFG和△ADE中，
，
∴△CFG≌△ADE（SAS），
∴∠FCG＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAE＝∠ACF﹣∠FCG＝∠ACG＝45°，
故选：A．
4．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　　）选D．
A． ∠A+∠B=∠C B． ∠A：∠B：∠C=1：2：3
C． a2=c2﹣b2 D． a：b：c=3：4：6
5．如图，一棵大树在离地面3m，5m两处折成三段，中间一段AB恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部6m处，则大树折断前的高度是（　　）选D．
A．9m B．14m C．11m D．10m
6．如图，一块三角形木板，测得AB＝13，BC＝5，AC＝12，则三角形木板ABC的面积为（　　）选B．
A．60 B．30 C．65 D．不能确定
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在边BC上，AD＝BD，DE平分∠ADB交AB于点E．若AC＝12，BC＝16，则AE的长为（　　）选C．
A．6 B．8 C．10 D．12
8．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，这是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（　　）选D．
A． B． C． D．
9．国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口A处出发先往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再向北走到6km处往东拐，仅走了1km，就找到了宝藏，则门口A到藏宝点B的直线距离是（　　）选D．
A．20km B．14km C．11km D．10km
10．如图，桌面上的长方体长为8，宽为6，高为4，B为CD的中点．一只蚂蚁从A点出发沿长方体的表面到达B点，则它运动的最短路程为（　　）选C．
A． B． C．10 D．
解：如图1所示，
则AB＝＝2；
如图2所示，
AB＝＝10，
故它运动的最短路程为10，
故选：C．
二．填空题
11．若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积
为　 120　cm2．
12．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝1m，将它往前推6m至C处时，水平距离CD＝6m，踏板离地的垂直高度CF＝4m，它的绳索始终拉直，则AC的长是　 7．5 　m．
解：设秋千绳索AB的长度为xm，
由题意可得AC＝AB＝xm，
四边形DCFE为矩形，BE＝1m，DC＝6m，CF＝4m，DE＝CF＝4m，
∴DB＝DE﹣BE＝3m，AD＝AB﹣BD＝（x﹣3）m，
在Rt△ADC中，AD2+DC2＝AC2，
即（x﹣3）2+62＝x2，
解得x＝7．5，
即AC的长度为7．5m，
故答案为：7．5．
在直角三角形ABC中，斜边AB=2，则AB2+AC2+BC2=__8____．
14．在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面　 4．55 　尺．
15．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时16nmile的速度沿北偏东30°方向航行，“海天”号以每小时12nmile的速度沿北偏西60°方向航行．一小时后，“远航”号、“海天”号分别位于Q，R处，则此时“远航”号与“海天”号的距离为 　20　nmile．
解：由题意可得，∠RPQ＝60°+30°＝90°，
PQ＝16×1＝16，PR＝12×1＝12，
∴RQ＝＝20nmile，
故答案为：20．
16．已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为_5或 __．
17．如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为　 17 　dm．
解：三级台阶平面展开图为长方形，长为8dm，宽为（2+3）×3dm，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，
由勾股定理得：x2＝82+[（2+3）×3]2＝172，
解得x＝17．
故答案为：17．
18．如图，点D为△ABC的边AB上一点，且AD＝AC，∠B＝45°，过D作DE⊥AC于E，若AE＝3，四边形BDEC的面积为8，则BD的长度为　 2　．
解：过点C作CF⊥AB于点F，
∵DE⊥AC，
∴∠AFC＝∠BFC＝∠AED＝90°，
∵∠A＝∠A，AD＝AC，
∴△ADE≌△ACF（AAS），
∴AF＝AE＝3，
∴S△BFC＝四边形BDEC的面积＝8，
∵∠B＝45°，
∴△BFC是等腰直角三角形，
∴BF CF＝BF2＝8，
∴BF＝CF＝4，
∴AD＝AC＝5，
∴DF＝2，
∴BD＝2，
故答案为：2．
三．解答题
19．如图，某学校在美丽化校园施工过程中留下了一块空地，欲在空地上铺草坪，已知AD＝4米，CD＝3米，∠ADC＝90°，AB＝13米，BC＝12米，已知草坪每平方米100元，试问用该草坪铺满这块空地共需花费多少元？
解：连接AC，
在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，AD＝4米，CD＝3米，
由勾股定理得：AC＝＝5（米），
∵AC2+BC2＝52+122＝169，AB2＝132＝169，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
该区域面积S＝S△ACB﹣S△ADC＝5×123×4＝24（平方米），
即铺满这块空地共需花费＝24×100＝2400元．
20．如图，∠AOB=90°，OA=90cm，OB=30cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少
解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等 ∴BC=AC
设BC=AC=xcm ∴OC=（90－x）cm 在Rt△BOC中，
∴ 解得：x=50
答：机器人行走的路程BC为50cm
21．某小区将对广场一块三角形空地进行绿化，如图，等腰三角形ABC的底边BC长为10，点D是AC上的一点，BD＝8，CD＝6．
（1）求证：BD⊥AC；
（2）求线段AB的长．
（1）证明：∵BC＝10，BD＝8，CD＝6，
∴BD2+CD2＝82+62＝102＝BC2，
∴∠BDC＝90°，
∴BD⊥AC；
（2）解：设AB＝x，则AB＝AC＝x，
∵CD＝6，
∴AD＝x﹣6，
∵AB2＝BD2+AD2，
∴x2＝82+（x﹣6）2，
解得：x＝，
∴AB＝．
22．一个25米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时的AO距离为24米，如果梯子的顶端A沿墙下滑4米，那么梯子底端B也外移4米，对吗？为什么？
22．解：不对．
理由：如图，依题意可知
AB＝25(米)，AO＝24(米)，∠O＝90°，
∴ BO2＝AB2﹣AO2＝252﹣242 ，
∴ BO＝7(米)，
移动后，A＇O＝20(米)，B＇O2＝(A＇B＇)2﹣(A＇O)2＝252﹣202＝152,
∴ B＇O＝15(米)，
∴ BB＇＝B＇O－BO＝15－7＝8(米)．
23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝20cm，AC＝16cm，点P从点A出发，以每秒1cm的速度向点C运动，连接PB，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）BC＝　 　cm．
（2）当PA＝PB时，求t的值．
解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝20cm，AC＝16cm，
∴BC＝（cm）；
故答案为：12；
（2）设AP＝t，则PC＝16﹣t，
在Rt△PCB中，∵∠PCB＝90°，
由勾股定理，得：PC2+BC2＝PB2，
即（16﹣t）2+122＝t2，
解得：t＝12．5，
∴当点P运动到PA＝PB时，t的值为12．5．
24．铁路上A，B两站（视为直线上的两点）相距50km，C，D为两村庄（视为两个点），DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B（如图）．已知DA=20km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产收购站E，使得C，D两村庄到收购站E的直线距离相等，请你设计出收购站的位置，并计算出收购站E到A站的距离．
解：连接DE，CE，设AE=x km，则BE=(50﹣x) km ，
在Rt△ADE中， ，
∴
在Rt△BCE中， ，
∴CE2=102+（50﹣x）2 ，
又DE=CE，
∴202+x2=102+（50﹣x）2 ，
解得x=22
∴收购站E到A站的距离为22km。
25．拖拉机行驶过程中会对周围产生较大的噪声影响．如图，有一台拖拉机沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150m和200m，又AB＝250m，拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域．
（1）学校C会受噪声影响吗？为什么？
（2）若拖拉机的行驶速度为每分钟50米，拖拉机噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？
解：（1）学校C会受噪声影响．
理由：如图，过点C作CD⊥AB于D，
∵AC＝150m，BC＝200m，AB＝250m，
∴AC2+BC2＝AB2．
∴△ABC是直角三角形．
∴AC×BC＝CD×AB，
∴150×200＝250×CD，
∴CD＝＝120（m），
∵拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域，
∴学校C会受噪声影响．
（2）当EC＝130m，FC＝130m时，正好影响C学校，
∵ED＝50（m），
∴EF＝100（m），
∵拖拉机的行驶速度为每分钟50米，
∴100÷50＝2（分钟），
即拖拉机噪声影响该学校持续的时间有2分钟．