第一章勾股定理 复习测试 2021-2022学年北师大版八年级数学上册（Word版含答案）

北师大版八年级数学上册第一章勾股定理 复习测试
一．选择题
1．下列四组数据不能作为直角三角形的三边长的是（　　）．
A．9，12，15 B．7，24，25 C．15，36，39 D．12，15，20
2．一个圆桶底面直径为7cm，高24cm，则桶内所能容下的最长木棒为（　　）．
A．20cm B．25cm C．26cm D．30cm
3．已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足(a－6)2＋＝0，则三角形的形状是( )．
A． 底与腰不相等的等腰三角形 B． 等边三角形
C． 钝角三角形 D． 直角三角形
4．如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，AD⊥BC于D，则AD的长为（　　）．
A．1 B．2 C． D．
5．适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为（　　）．
①a＝32，b＝42，c＝52；②（c+b）（c﹣b）＝a；③∠A+∠B＝∠C；④a＝1，b＝，c＝．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4
6．图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，则图1中正方形顶点A、B在围成的正方体中的距离是（　　）．
A． 0 B． 1 C． D．
7．如图，四个全等的直角三角形和中间的小正方形可以拼成一个大正方形，若直角三角形的较长直角边长为a，较短直角边长为b，大正方形面积为S1，小正方形面积为S2，则（a+b）2可以表示为（　　）．
A．S1﹣S2 B．S1+S2 C．2S1﹣S2 D．S1+2S2
8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，BC＝8cm，AC＝6cm，则BD的长为（　　）．
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
9．△ABC的三边为a，b，c且（a+b）（a﹣b）＝c2，则该三角形是（　　）．
A．锐角三角形 B．以c为斜边的直角三角形
C．以b为斜边的直角三角形 D．以a为斜边的直角三角形
10．如图，有一个正方体盒子，棱长为1cm，一只蚂蚁要从盒底点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，蚂蚁爬行的最短路程是（　　）．
A．cm B．3cm C．cm D．2cm
11．如图，a，b，c是3×3正方形网格中的3条线段，它们端点都在格点上，则关于a，b，c大小关系的正确判断是（　　）．
A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a
12．△ABC中，AB＝17，AC＝10，高AD＝8，则△ABC的周长是（　　）．
A．54 B．44 C．36或48 D．54或33
二．填空题
13．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，分别以BC，AB，AC为边向外作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，若S2＝10，S3＝12，则S1＝　 　．
14．如图，两树高分别为10米和4米，相距8米，一只鸟从一树的树梢飞到另一树的树梢，则小鸟至少飞行　　米．
15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到斜边AB的距离是　　．
16．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为（滑轮部分忽略不计）为 　 　m．
17．一个三角形的三边的比是3：4：5，它的周长是36，则它的面积是　　．
18．如图，已知正方形ABCD的面积为4，正方形FHIJ的面积为3，点D、C、G、J、I在同一水平面上，则正方形BEFG的面积为　 　．
三．解答题
19．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝AD＝3，BC＝10，CD＝8，求四边形ABCD的面积．
20．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
（1）作线段AD，使其长度为；
（2）通过计算说明△ABC是直角三角形．
21．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16nmile，“海天”号每小时航行12nmile．它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30nmile．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
22．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，CD＝12，BD＝9．求AB与BC的长．
23．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”
题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'（如图）．水深和芦苇长各多少尺？
24．如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A，B到河岸的距离分别为AC＝400米，BD＝200米，CD＝800米，牧童从A处把牛牵到河边饮水后回家，问在何处饮水能使所走的总路程最短？最短路程是多少．
25．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．
（1）点P出发2秒后，求CP和BP的长．
（2）问满足什么条件时（t的值或取值范围），△BCP为直角三角形？
北师大版八年级数学上册第一章勾股定理 复习测试答案提示
一．选择题
1．下列四组数据不能作为直角三角形的三边长的是（　　）选D．
A．9，12，15 B．7，24，25 C．15，36，39 D．12，15，20
2．一个圆桶底面直径为7cm，高24cm，则桶内所能容下的最长木棒为（　　）选B．
A．20cm B．25cm C．26cm D．30cm
3．已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足(a－6)2＋＝0，则三角形的形状是( )选D．
A． 底与腰不相等的等腰三角形 B． 等边三角形 C． 钝角三角形 D． 直角三角形
4．如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，AD⊥BC于D，则AD的长为（　　）选B．
A．1 B．2 C． D．
5．适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为（　　）选B．
①a＝32，b＝42，c＝52；②（c+b）（c﹣b）＝a；③∠A+∠B＝∠C；④a＝1，b＝，c＝．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4
6．图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，则图1中正方形顶点A、B在围成的正方体中的距离是（　　）选C．
A． 0 B． 1 C． D．
7．如图，四个全等的直角三角形和中间的小正方形可以拼成一个大正方形，若直角三角形的较长直角边长为a，较短直角边长为b，大正方形面积为S1，小正方形面积为S2，则（a+b）2可以表示为（　　）选C．
A．S1﹣S2 B．S1+S2 C．2S1﹣S2 D．S1+2S2
8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，BC＝8cm，AC＝6cm，则BD的长为（　　）选C．
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
解：过D作DE⊥AB于E，
在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8cm，AC＝6cm，
∴AB＝（cm），
∵，
∵AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，∠ACB＝90°，
∴DE＝CD，
∴，
∴CD＝3（cm），
∴BD＝BC﹣DC＝8﹣3＝5（cm），
故选：C．
9．△ABC的三边为a，b，c且（a+b）（a﹣b）＝c2，则该三角形是（　　）选D．
A．锐角三角形 B．以c为斜边的直角三角形
C．以b为斜边的直角三角形 D．以a为斜边的直角三角形
10．如图，有一个正方体盒子，棱长为1cm，一只蚂蚁要从盒底点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，蚂蚁爬行的最短路程是（　　）选A．
A．cm B．3cm C．cm D．2cm
解：如图，将正方体展开，
则线段AB即为最短的路线，
∵这个正方体的棱长为1cm，
∴AB＝＝（cm），
∴蚂蚁爬行的最短路程是cm．
故选：A．
11．如图，a，b，c是3×3正方形网格中的3条线段，它们端点都在格点上，则关于a，b，c大小关系的正确判断是（　　）选B．
A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a
12．△ABC中，AB＝17，AC＝10，高AD＝8，则△ABC的周长是（　　）选C．
A．54 B．44 C．36或48 D．54或33
解：分两种情况：
①如图1所示：
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴BD＝15，CD＝6，
∴BC＝BD+CD＝15+6＝21；
此时，△ABC的周长为：AB+BC+AC＝17+10+21＝48．
②如图2所示：
同①得：BD＝15，CD＝6，
∴BC＝BD﹣CD＝15﹣6＝9；
此时，△ABC的周长为：AB+BC+AC＝17+10+9＝36．
综上所述：△ABC的周长为48或36．
故选：C．
二．填空题
13．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，分别以BC，AB，AC为边向外作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，若S2＝10，S3＝12，则S1＝　2　．
解：∵△ABC中，∠ABC＝90°，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴BC2＝AC2﹣AB2，
∵BC2＝S1、AB2＝S2＝10，AC2＝S3＝12，
∴S1＝S3﹣S2＝12﹣10＝2．
故答案为：2．
14．如图，两树高分别为10米和4米，相距8米，一只鸟从一树的树梢飞到另一树的树梢，则小鸟至少飞行　10　米．
解：如图，设大树高为AB＝10m，小树高为CD＝4m，
过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，连接AC，
则EB＝4m，EC＝8m，AE＝AB﹣EB＝10﹣4＝6（m），
在Rt△AEC中，AC＝10（m），
答：小鸟至少飞行10米．
故答案为：10．
15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到斜边AB的距离是　7．2 　．
解：如图，设点C到斜边AB的距离是h，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，
∴AB＝15，
∵S△ABC＝AC BC＝AB h，
∴h＝＝＝7．2．
故答案为：7．2．
16．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为（滑轮部分忽略不计）为 　17 　m．
解：设旗杆高度为xm，则AC＝AD＝xm，AB＝（x﹣2）m，BC＝8m，
在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，
即（x﹣2）2+82＝x2，
解得：x＝17，
即旗杆的高度为17米．
故答案为：17．
17．一个三角形的三边的比是3：4：5，它的周长是36，则它的面积是　54　．
解：设三角形的三边是3x：4x：5x，
∵（3x）2+（4x）2＝（5x）2，
∴此三角形是直角三角形，
∵它的周长是36，
∴3x+4x+5x＝36，
∴3x＝9，4x＝12，
∴三角形的面积＝×9×12＝54，
故答案为：54．
18．如图，已知正方形ABCD的面积为4，正方形FHIJ的面积为3，点D、C、G、J、I在同一水平面上，则正方形BEFG的面积为　 7　．
解：∵四边形ABCD、四边形FHIJ和四边形BEFG都是正方形，
∴∠BCG＝∠BGF＝∠GJF＝90°，BG＝GF，
∴∠CBG+∠BGC＝90°，∠JGF+∠BGC＝90°，
∴∠CBG＝∠JGF，
在△BCG和△GJF中，
，
∴△BCG≌△GJF（AAS），
∴BC＝GJ，
∵正方形ABCD的面积为4，正方形FHIJ的面积为3，
∴BC2＝4，FJ2＝3，
∴GJ2＝4，
在Rt△GJF中，由勾股定理得：
FG2＝GJ2+FJ2＝4+3＝7，
∴正方形BEFG的面积为7．
故答案为：7．
三．解答题
19．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝AD＝3，BC＝10，CD＝8，求四边形ABCD的面积．
解：连接BD，
∵∠A＝90°，AB＝AD＝3，
∴BD＝＝＝6，
∵BC＝10，CD＝8，
∴BD2+CD2＝BC2，
∴△BDC是直角三角形，且∠BDC＝90°，
∴四边形ABCD的面积S＝△ABD+S△BDC
＝
＝+
＝9+24
＝33．
20．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
（1）作线段AD，使其长度为；
（2）通过计算说明△ABC是直角三角形．
解：（1）如右图所示（点D的位置不唯一）；
（2）∵AB2＝12+22＝1+4＝5，AC2＝22+42＝4+16＝20，BC2＝32+42＝9+16＝25，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形．
21．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16nmile，“海天”号每小时航行12nmile．它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30nmile．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
解：由题意可得：RP＝18海里，PQ＝24海里，QR＝30海里，
∵182+242＝302，
∴△RPQ是直角三角形，
∴∠RPQ＝90°，
∵“远航”号沿北偏东45°方向航行
∴∠RPS＝45°，
∴“海天”号沿北偏西45°方向航行．
22．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，CD＝12，BD＝9．求AB与BC的长．
解：∵CD⊥AB，AC＝20，CD＝12，BD＝9，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
在Rt△CDB中，
由勾股定理得：BC＝15，
在Rt△ADC中，
由勾股定理得：AD＝16，
∴AB＝AD+DB＝16+9＝25．
答：AB的长为25，BC的长为15．
23．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”
题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'（如图）．水深和芦苇长各多少尺？
解：设水深x尺，则芦苇长（x+1）尺．
由题意得x2+52＝（x+1）2．
解得x＝12．
∴x+1＝13．
答：水深12尺；芦苇长13尺．
24．如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A，B到河岸的距离分别为AC＝400米，BD＝200米，CD＝800米，牧童从A处把牛牵到河边饮水后回家，问在何处饮水能使所走的总路程最短？最短路程是多少．
解：作点B关于河岸的对称点B′，连接AB′交CD于点P，过点B′作B′E⊥AC，垂足为E．
由轴对称的性质可知：PB＝PB′，DB′＝DB．
∴PA+PB＝AP+PB′．
由两点之间线段最短可知；当点A、P、B′在一条直线上时，PA+PB最短．
在Rt△AEB′中，AB′＝＝＝1000．
25．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．
（1）点P出发2秒后，求CP和BP的长．
（2）问满足什么条件时（t的值或取值范围），△BCP为直角三角形？
解：（1）∵∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，
∴AC＝4cm，
∵动点P从点C开始以每秒1cm的速度运动，
∴出发2秒后CP＝1×2＝2（cm），
∵∠C＝90°，
∴BP＝＝（cm），
（2）设运动时间为t秒，
∵AC＝4cm，动点P从点C开始按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，
∴当P在AC上运动时，△BCP为直角三角形，
∴0＜t≤4，
如图，当P在AB上时，CP⊥AB时，△BCP为直角三角形，
∵AB CP＝AC BC，
∴×5CP＝×3×4，
∴CP＝cm，
∴AP＝＝（cm），
∴AC+AP＝4+＝（cm），
∴t＝÷1＝（s），
综上所述，当0＜t≤4或 t＝时，△BCP为直角三角形．